HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  dmdmd Unicode version

Theorem dmdmd 23760
Description: The dual modular pair property expressed in terms of the modular pair property, that hold in Hilbert lattices. Remark 29.6 of [MaedaMaeda] p. 130. (Contributed by NM, 27-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
dmdmd  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A  MH*  B  <->  ( _|_ `  A )  MH  ( _|_ `  B
) ) )

Proof of Theorem dmdmd
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq1 3333 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( _|_ `  x
)  ->  ( y  C_  ( _|_ `  B
)  <->  ( _|_ `  x
)  C_  ( _|_ `  B ) ) )
2 oveq1 6051 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( _|_ `  x
)  ->  ( y  vH  ( _|_ `  A
) )  =  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) ) )
32ineq1d 3505 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( _|_ `  x
)  ->  ( (
y  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( ( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) ) )
4 oveq1 6051 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( _|_ `  x
)  ->  ( y  vH  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) )  =  ( ( _|_ `  x )  vH  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) )
53, 4eqeq12d 2422 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( _|_ `  x
)  ->  ( (
( y  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) )  <->  ( (
( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) ) )
61, 5imbi12d 312 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( _|_ `  x
)  ->  ( (
y  C_  ( _|_ `  B )  ->  (
( y  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) )  <-> 
( ( _|_ `  x
)  C_  ( _|_ `  B )  ->  (
( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) ) ) )
76rspccv 3013 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  CH  ( y 
C_  ( _|_ `  B
)  ->  ( (
y  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) )  ->  ( ( _|_ `  x )  e.  CH  ->  ( ( _|_ `  x
)  C_  ( _|_ `  B )  ->  (
( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) ) ) )
8 choccl 22765 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  CH  ->  ( _|_ `  x )  e. 
CH )
98imim1i 56 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( _|_ `  x
)  e.  CH  ->  ( ( _|_ `  x
)  C_  ( _|_ `  B )  ->  (
( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) ) )  ->  ( x  e.  CH  ->  ( ( _|_ `  x )  C_  ( _|_ `  B )  ->  ( ( ( _|_ `  x )  vH  ( _|_ `  A
) )  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( ( _|_ `  x )  vH  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) ) ) )
109com12 29 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CH  ->  (
( ( _|_ `  x
)  e.  CH  ->  ( ( _|_ `  x
)  C_  ( _|_ `  B )  ->  (
( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) ) )  ->  ( ( _|_ `  x )  C_  ( _|_ `  B )  ->  ( ( ( _|_ `  x )  vH  ( _|_ `  A
) )  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( ( _|_ `  x )  vH  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) ) ) )
1110adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  x  e.  CH )  ->  ( ( ( _|_ `  x )  e.  CH  ->  ( ( _|_ `  x
)  C_  ( _|_ `  B )  ->  (
( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) ) )  ->  ( ( _|_ `  x )  C_  ( _|_ `  B )  ->  ( ( ( _|_ `  x )  vH  ( _|_ `  A
) )  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( ( _|_ `  x )  vH  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) ) ) )
12 chsscon3 22959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH )  ->  ( B  C_  x  <->  ( _|_ `  x ) 
C_  ( _|_ `  B
) ) )
1312biimpd 199 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH )  ->  ( B  C_  x  ->  ( _|_ `  x
)  C_  ( _|_ `  B ) ) )
1413adantll 695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  x  e.  CH )  ->  ( B  C_  x  ->  ( _|_ `  x
)  C_  ( _|_ `  B ) ) )
15 fveq2 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) )  -> 
( _|_ `  (
( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) ) )  =  ( _|_ `  (
( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) ) )
16 choccl 22765 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  CH  ->  ( _|_ `  A )  e. 
CH )
17 chjcl 22816 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( _|_ `  x
)  e.  CH  /\  ( _|_ `  A )  e.  CH )  -> 
( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  e. 
CH )
188, 16, 17syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  CH  /\  A  e.  CH )  ->  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  e. 
CH )
19 chdmm3 22986 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  e. 
CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( _|_ `  ( ( ( _|_ `  x )  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) ) )  =  ( ( _|_ `  (
( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) ) )  vH  B ) )
2018, 19sylan 458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  CH  /\  A  e.  CH )  /\  B  e.  CH )  ->  ( _|_ `  (
( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) ) )  =  ( ( _|_ `  (
( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) ) )  vH  B ) )
21 chdmj4 22991 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CH  /\  A  e.  CH )  ->  ( _|_ `  (
( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) ) )  =  ( x  i^i 
A ) )
2221adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  CH  /\  A  e.  CH )  /\  B  e.  CH )  ->  ( _|_ `  (
( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) ) )  =  ( x  i^i 
A ) )
2322oveq1d 6059 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  CH  /\  A  e.  CH )  /\  B  e.  CH )  ->  ( ( _|_ `  (
( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) ) )  vH  B )  =  ( ( x  i^i 
A )  vH  B
) )
2420, 23eqtrd 2440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  CH  /\  A  e.  CH )  /\  B  e.  CH )  ->  ( _|_ `  (
( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) ) )  =  ( ( x  i^i 
A )  vH  B
) )
2524anasss 629 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CH  /\  ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )
)  ->  ( _|_ `  ( ( ( _|_ `  x )  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) ) )  =  ( ( x  i^i 
A )  vH  B
) )
26 choccl 22765 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  CH  ->  ( _|_ `  B )  e. 
CH )
27 chincl 22958 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( _|_ `  A
)  e.  CH  /\  ( _|_ `  B )  e.  CH )  -> 
( ( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) )  e. 
CH )
2816, 26, 27syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) )  e. 
CH )
29 chdmj2 22989 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CH  /\  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) )  e. 
CH )  ->  ( _|_ `  ( ( _|_ `  x )  vH  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) )  =  ( x  i^i  ( _|_ `  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) ) )
3028, 29sylan2 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CH  /\  ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )
)  ->  ( _|_ `  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) )  =  ( x  i^i  ( _|_ `  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) ) )
31 chdmm4 22987 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( _|_ `  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) )  =  ( A  vH  B ) )
3231adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CH  /\  ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )
)  ->  ( _|_ `  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) )  =  ( A  vH  B ) )
3332ineq2d 3506 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CH  /\  ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )
)  ->  ( x  i^i  ( _|_ `  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) )
3430, 33eqtrd 2440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CH  /\  ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )
)  ->  ( _|_ `  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B
) ) )
3525, 34eqeq12d 2422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CH  /\  ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )
)  ->  ( ( _|_ `  ( ( ( _|_ `  x )  vH  ( _|_ `  A
) )  i^i  ( _|_ `  B ) ) )  =  ( _|_ `  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) )  <-> 
( ( x  i^i 
A )  vH  B
)  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) ) )
3635ancoms 440 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  x  e.  CH )  ->  ( ( _|_ `  (
( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) ) )  =  ( _|_ `  (
( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) )  <-> 
( ( x  i^i 
A )  vH  B
)  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) ) )
3715, 36syl5ib 211 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  x  e.  CH )  ->  ( ( ( ( _|_ `  x )  vH  ( _|_ `  A
) )  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( ( _|_ `  x )  vH  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) )  ->  ( ( x  i^i  A )  vH  B )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) ) )
3814, 37imim12d 70 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  x  e.  CH )  ->  ( ( ( _|_ `  x )  C_  ( _|_ `  B )  -> 
( ( ( _|_ `  x )  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) )  ->  ( B  C_  x  ->  ( ( x  i^i  A )  vH  B )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) )
3911, 38syld 42 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  x  e.  CH )  ->  ( ( ( _|_ `  x )  e.  CH  ->  ( ( _|_ `  x
)  C_  ( _|_ `  B )  ->  (
( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) ) )  ->  ( B  C_  x  ->  ( (
x  i^i  A )  vH  B )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) )
4039ex 424 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( x  e.  CH  ->  ( ( ( _|_ `  x )  e.  CH  ->  ( ( _|_ `  x
)  C_  ( _|_ `  B )  ->  (
( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) ) )  ->  ( B  C_  x  ->  ( (
x  i^i  A )  vH  B )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) ) )
4140com23 74 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( ( ( _|_ `  x )  e.  CH  ->  ( ( _|_ `  x
)  C_  ( _|_ `  B )  ->  (
( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) ) )  ->  ( x  e.  CH  ->  ( B  C_  x  ->  ( (
x  i^i  A )  vH  B )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) ) )
427, 41syl5 30 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A. y  e. 
CH  ( y  C_  ( _|_ `  B )  ->  ( ( y  vH  ( _|_ `  A
) )  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) )  ->  ( x  e.  CH  ->  ( B  C_  x  ->  ( (
x  i^i  A )  vH  B )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) ) )
4342ralrimdv 2759 . . 3  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A. y  e. 
CH  ( y  C_  ( _|_ `  B )  ->  ( ( y  vH  ( _|_ `  A
) )  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) )  ->  A. x  e.  CH  ( B  C_  x  ->  ( ( x  i^i  A )  vH  B )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) )
44 sseq2 3334 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( _|_ `  y
)  ->  ( B  C_  x  <->  B  C_  ( _|_ `  y ) ) )
45 ineq1 3499 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( _|_ `  y
)  ->  ( x  i^i  A )  =  ( ( _|_ `  y
)  i^i  A )
)
4645oveq1d 6059 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( _|_ `  y
)  ->  ( (
x  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( ( _|_ `  y
)  i^i  A )  vH  B ) )
47 ineq1 3499 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( _|_ `  y
)  ->  ( x  i^i  ( A  vH  B
) )  =  ( ( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) )
4846, 47eqeq12d 2422 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( _|_ `  y
)  ->  ( (
( x  i^i  A
)  vH  B )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B
) )  <->  ( (
( _|_ `  y
)  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) ) )
4944, 48imbi12d 312 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( _|_ `  y
)  ->  ( ( B  C_  x  ->  (
( x  i^i  A
)  vH  B )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B
) ) )  <->  ( B  C_  ( _|_ `  y
)  ->  ( (
( _|_ `  y
)  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) )
5049rspccv 3013 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  CH  ( B 
C_  x  ->  (
( x  i^i  A
)  vH  B )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B
) ) )  -> 
( ( _|_ `  y
)  e.  CH  ->  ( B  C_  ( _|_ `  y )  ->  (
( ( _|_ `  y
)  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) )
51 choccl 22765 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  CH  ->  ( _|_ `  y )  e. 
CH )
5251imim1i 56 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( _|_ `  y
)  e.  CH  ->  ( B  C_  ( _|_ `  y )  ->  (
( ( _|_ `  y
)  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) ) )  ->  ( y  e.  CH  ->  ( B  C_  ( _|_ `  y
)  ->  ( (
( _|_ `  y
)  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) )
5352com12 29 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  CH  ->  (
( ( _|_ `  y
)  e.  CH  ->  ( B  C_  ( _|_ `  y )  ->  (
( ( _|_ `  y
)  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) ) )  ->  ( B  C_  ( _|_ `  y
)  ->  ( (
( _|_ `  y
)  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) )
5453adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  y  e.  CH )  ->  ( ( ( _|_ `  y )  e.  CH  ->  ( B  C_  ( _|_ `  y )  -> 
( ( ( _|_ `  y )  i^i  A
)  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y )  i^i  ( A  vH  B ) ) ) )  ->  ( B  C_  ( _|_ `  y
)  ->  ( (
( _|_ `  y
)  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) )
55 chsscon2 22961 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  CH  /\  y  e.  CH )  ->  ( B  C_  ( _|_ `  y )  <->  y  C_  ( _|_ `  B ) ) )
5655biimprd 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  CH  /\  y  e.  CH )  ->  ( y  C_  ( _|_ `  B )  ->  B  C_  ( _|_ `  y
) ) )
5756adantll 695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  y  e.  CH )  ->  ( y  C_  ( _|_ `  B )  ->  B  C_  ( _|_ `  y
) ) )
58 fveq2 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( _|_ `  y
)  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) )  -> 
( _|_ `  (
( ( _|_ `  y
)  i^i  A )  vH  B ) )  =  ( _|_ `  (
( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) ) )
59 chincl 22958 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( _|_ `  y
)  e.  CH  /\  A  e.  CH )  ->  ( ( _|_ `  y
)  i^i  A )  e.  CH )
6051, 59sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  CH  /\  A  e.  CH )  ->  ( ( _|_ `  y
)  i^i  A )  e.  CH )
61 chdmj1 22988 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( _|_ `  y
)  i^i  A )  e.  CH  /\  B  e. 
CH )  ->  ( _|_ `  ( ( ( _|_ `  y )  i^i  A )  vH  B ) )  =  ( ( _|_ `  (
( _|_ `  y
)  i^i  A )
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) )
6260, 61sylan 458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  CH  /\  A  e.  CH )  /\  B  e.  CH )  ->  ( _|_ `  (
( ( _|_ `  y
)  i^i  A )  vH  B ) )  =  ( ( _|_ `  (
( _|_ `  y
)  i^i  A )
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) )
63 chdmm2 22985 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  CH  /\  A  e.  CH )  ->  ( _|_ `  (
( _|_ `  y
)  i^i  A )
)  =  ( y  vH  ( _|_ `  A
) ) )
6463adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  e.  CH  /\  A  e.  CH )  /\  B  e.  CH )  ->  ( _|_ `  (
( _|_ `  y
)  i^i  A )
)  =  ( y  vH  ( _|_ `  A
) ) )
6564ineq1d 3505 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  CH  /\  A  e.  CH )  /\  B  e.  CH )  ->  ( ( _|_ `  (
( _|_ `  y
)  i^i  A )
)  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( ( y  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B ) ) )
6662, 65eqtrd 2440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  CH  /\  A  e.  CH )  /\  B  e.  CH )  ->  ( _|_ `  (
( ( _|_ `  y
)  i^i  A )  vH  B ) )  =  ( ( y  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B ) ) )
6766anasss 629 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  CH  /\  ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )
)  ->  ( _|_ `  ( ( ( _|_ `  y )  i^i  A
)  vH  B )
)  =  ( ( y  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) ) )
68 chjcl 22816 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A  vH  B
)  e.  CH )
69 chdmm2 22985 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  CH  /\  ( A  vH  B )  e.  CH )  -> 
( _|_ `  (
( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) )  =  ( y  vH  ( _|_ `  ( A  vH  B ) ) ) )
7068, 69sylan2 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  CH  /\  ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )
)  ->  ( _|_ `  ( ( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) )  =  ( y  vH  ( _|_ `  ( A  vH  B ) ) ) )
71 chdmj1 22988 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( _|_ `  ( A  vH  B ) )  =  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B ) ) )
7271adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  CH  /\  ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )
)  ->  ( _|_ `  ( A  vH  B
) )  =  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) )
7372oveq2d 6060 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  CH  /\  ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )
)  ->  ( y  vH  ( _|_ `  ( A  vH  B ) ) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) )
7470, 73eqtrd 2440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  CH  /\  ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )
)  ->  ( _|_ `  ( ( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) )
7567, 74eqeq12d 2422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  CH  /\  ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )
)  ->  ( ( _|_ `  ( ( ( _|_ `  y )  i^i  A )  vH  B ) )  =  ( _|_ `  (
( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) )  <-> 
( ( y  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( y  vH  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) ) )
7675ancoms 440 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  y  e.  CH )  ->  ( ( _|_ `  (
( ( _|_ `  y
)  i^i  A )  vH  B ) )  =  ( _|_ `  (
( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) )  <-> 
( ( y  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( y  vH  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) ) )
7758, 76syl5ib 211 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  y  e.  CH )  ->  ( ( ( ( _|_ `  y )  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) )  -> 
( ( y  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( y  vH  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) ) )
7857, 77imim12d 70 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  y  e.  CH )  ->  ( ( B  C_  ( _|_ `  y )  ->  ( ( ( _|_ `  y )  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) )  ->  ( y  C_  ( _|_ `  B )  ->  ( ( y  vH  ( _|_ `  A
) )  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) ) ) )
7954, 78syld 42 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  y  e.  CH )  ->  ( ( ( _|_ `  y )  e.  CH  ->  ( B  C_  ( _|_ `  y )  -> 
( ( ( _|_ `  y )  i^i  A
)  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y )  i^i  ( A  vH  B ) ) ) )  ->  (
y  C_  ( _|_ `  B )  ->  (
( y  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) ) ) )
8079ex 424 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( y  e.  CH  ->  ( ( ( _|_ `  y )  e.  CH  ->  ( B  C_  ( _|_ `  y )  -> 
( ( ( _|_ `  y )  i^i  A
)  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y )  i^i  ( A  vH  B ) ) ) )  ->  (
y  C_  ( _|_ `  B )  ->  (
( y  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) ) ) ) )
8180com23 74 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( ( ( _|_ `  y )  e.  CH  ->  ( B  C_  ( _|_ `  y )  -> 
( ( ( _|_ `  y )  i^i  A
)  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y )  i^i  ( A  vH  B ) ) ) )  ->  (
y  e.  CH  ->  ( y  C_  ( _|_ `  B )  ->  (
( y  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) ) ) ) )
8250, 81syl5 30 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A. x  e. 
CH  ( B  C_  x  ->  ( ( x  i^i  A )  vH  B )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) )  ->  ( y  e.  CH  ->  ( y  C_  ( _|_ `  B
)  ->  ( (
y  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) ) ) ) )
8382ralrimdv 2759 . . 3  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A. x  e. 
CH  ( B  C_  x  ->  ( ( x  i^i  A )  vH  B )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) )  ->  A. y  e.  CH  ( y  C_  ( _|_ `  B )  ->  ( ( y  vH  ( _|_ `  A
) )  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) ) ) )
8443, 83impbid 184 . 2  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A. y  e. 
CH  ( y  C_  ( _|_ `  B )  ->  ( ( y  vH  ( _|_ `  A
) )  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) )  <->  A. x  e.  CH  ( B  C_  x  -> 
( ( x  i^i 
A )  vH  B
)  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) )
85 mdbr 23754 . . 3  |-  ( ( ( _|_ `  A
)  e.  CH  /\  ( _|_ `  B )  e.  CH )  -> 
( ( _|_ `  A
)  MH  ( _|_ `  B )  <->  A. y  e.  CH  ( y  C_  ( _|_ `  B )  ->  ( ( y  vH  ( _|_ `  A
) )  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) ) ) )
8616, 26, 85syl2an 464 . 2  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( ( _|_ `  A
)  MH  ( _|_ `  B )  <->  A. y  e.  CH  ( y  C_  ( _|_ `  B )  ->  ( ( y  vH  ( _|_ `  A
) )  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) ) ) )
87 dmdbr 23759 . 2  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A  MH*  B  <->  A. x  e.  CH  ( B  C_  x  ->  (
( x  i^i  A
)  vH  B )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B
) ) ) ) )
8884, 86, 873bitr4rd 278 1  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A  MH*  B  <->  ( _|_ `  A )  MH  ( _|_ `  B
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2670    i^i cin 3283    C_ wss 3284   class class class wbr 4176   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   CHcch 22389   _|_cort 22390    vH chj 22393    MH cmd 22426    MH* cdmd 22427
This theorem is referenced by:  mddmd  23761  ssdmd1  23773  mdsldmd1i  23791  cvdmd  23797  dmdsym  23873  cmdmdi  23877
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-inf2 7556  ax-cc 8275  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027  ax-pre-sup 9028  ax-addf 9029  ax-mulf 9030  ax-hilex 22459  ax-hfvadd 22460  ax-hvcom 22461  ax-hvass 22462  ax-hv0cl 22463  ax-hvaddid 22464  ax-hfvmul 22465  ax-hvmulid 22466  ax-hvmulass 22467  ax-hvdistr1 22468  ax-hvdistr2 22469  ax-hvmul0 22470  ax-hfi 22538  ax-his1 22541  ax-his2 22542  ax-his3 22543  ax-his4 22544  ax-hcompl 22661
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-iin 4060  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-se 4506  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-of 6268  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-omul 6692  df-er 6868  df-map 6983  df-pm 6984  df-ixp 7027  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-fi 7378  df-sup 7408  df-oi 7439  df-card 7786  df-acn 7789  df-cda 8008  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-4 10020  df-5 10021  df-6 10022  df-7 10023  df-8 10024  df-9 10025  df-10 10026  df-n0 10182  df-z 10243  df-dec 10343  df-uz 10449  df-q 10535  df-rp 10573  df-xneg 10670  df-xadd 10671  df-xmul 10672  df-ioo 10880  df-ico 10882  df-icc 10883  df-fz 11004  df-fzo 11095  df-fl 11161  df-seq 11283  df-exp 11342  df-hash 11578  df-cj 11863  df-re 11864  df-im 11865  df-sqr 11999  df-abs 12000  df-clim 12241  df-rlim 12242  df-sum 12439  df-struct 13430  df-ndx 13431  df-slot 13432  df-base 13433  df-sets 13434  df-ress 13435  df-plusg 13501  df-mulr 13502  df-starv 13503  df-sca 13504  df-vsca 13505  df-tset 13507  df-ple 13508  df-ds 13510  df-unif 13511  df-hom 13512  df-cco 13513  df-rest 13609  df-topn 13610  df-topgen 13626  df-pt 13627  df-prds 13630  df-xrs 13685  df-0g 13686  df-gsum 13687  df-qtop 13692  df-imas 13693  df-xps 13695  df-mre 13770  df-mrc 13771  df-acs 13773  df-mnd 14649  df-submnd 14698  df-mulg 14774  df-cntz 15075  df-cmn 15373  df-psmet 16653  df-xmet 16654  df-met 16655  df-bl 16656  df-mopn 16657  df-fbas 16658  df-fg 16659  df-cnfld 16663  df-top 16922  df-bases 16924  df-topon 16925  df-topsp 16926  df-cld 17042  df-ntr 17043  df-cls 17044  df-nei 17121  df-cn 17249  df-cnp 17250  df-lm 17251  df-haus 17337  df-tx 17551  df-hmeo 17744  df-fil 17835  df-fm 17927  df-flim 17928  df-flf 17929  df-xms 18307  df-ms 18308  df-tms 18309  df-cfil 19165  df-cau 19166  df-cmet 19167  df-grpo 21736  df-gid 21737  df-ginv 21738  df-gdiv 21739  df-ablo 21827  df-subgo 21847  df-vc 21982  df-nv 22028  df-va 22031  df-ba 22032  df-sm 22033  df-0v 22034  df-vs 22035  df-nmcv 22036  df-ims 22037  df-dip 22154  df-ssp 22178  df-ph 22271  df-cbn 22322  df-hnorm 22428  df-hba 22429  df-hvsub 22431  df-hlim 22432  df-hcau 22433  df-sh 22666  df-ch 22681  df-oc 22711  df-ch0 22712  df-shs 22767  df-chj 22769  df-md 23740  df-dmd 23741
  Copyright terms: Public domain W3C validator