Theorem dmdmd 23760

Description: The dual modular pair property expressed in terms of the modular pair property, that hold in Hilbert lattices. Remark 29.6 of [MaedaMaeda] p. 130. (Contributed by NM, 27-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
dmdmd	|- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( A MH* B <-> ( _|_ ` A ) MH ( _|_ ` B ) ) )

Proof of Theorem dmdmd

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3333	. . . . . . 7 |- ( y = ( _|_ ` x ) -> ( y C_ ( _|_ ` B ) <-> ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) ) )
2		oveq1 6051	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( _|_ ` x ) -> ( y vH ( _|_ ` A ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) )
3	2	ineq1d 3505	. . . . . . . 8 |- ( y = ( _|_ ` x ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) )
4		oveq1 6051	. . . . . . . 8 |- ( y = ( _|_ ` x ) -> ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) )
5	3, 4	eqeq12d 2422	. . . . . . 7 |- ( y = ( _|_ ` x ) -> ( ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) <-> ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) )
6	1, 5	imbi12d 312	. . . . . 6 |- ( y = ( _|_ ` x ) -> ( ( y C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) <-> ( ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) )
7	6	rspccv 3013	. . . . 5 |- ( A. y e. CH ( y C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) -> ( ( _|_ ` x ) e. CH -> ( ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) )
8		choccl 22765	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CH -> ( _|_ ` x ) e. CH )
9	8	imim1i 56	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( _|_ ` x ) e. CH -> ( ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) -> ( x e. CH -> ( ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) )
10	9	com12 29	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CH -> ( ( ( _|_ ` x ) e. CH -> ( ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) -> ( ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) )
11	10	adantl 453	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CH /\ B e. CH ) /\ x e. CH ) -> ( ( ( _|_ ` x ) e. CH -> ( ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) -> ( ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) )
12		chsscon3 22959	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. CH /\ x e. CH ) -> ( B C_ x <-> ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) ) )
13	12	biimpd 199	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. CH /\ x e. CH ) -> ( B C_ x -> ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) ) )
14	13	adantll 695	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CH /\ B e. CH ) /\ x e. CH ) -> ( B C_ x -> ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) ) )
15		fveq2 5691	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) -> ( _|_ ` ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) = ( _|_ ` ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) )
16		choccl 22765	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. CH -> ( _|_ ` A ) e. CH )
17		chjcl 22816	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( _|_ ` x ) e. CH /\ ( _|_ ` A ) e. CH ) -> ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) e. CH )
18	8, 16, 17	syl2an 464	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. CH /\ A e. CH ) -> ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) e. CH )
19		chdmm3 22986	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) e. CH /\ B e. CH ) -> ( _|_ ` ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) = ( ( _|_ ` ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) ) vH B ) )
20	18, 19	sylan 458	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. CH /\ A e. CH ) /\ B e. CH ) -> ( _|_ ` ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) = ( ( _|_ ` ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) ) vH B ) )
21		chdmj4 22991	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. CH /\ A e. CH ) -> ( _|_ ` ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) ) = ( x i^i A ) )
22	21	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. CH /\ A e. CH ) /\ B e. CH ) -> ( _|_ ` ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) ) = ( x i^i A ) )
23	22	oveq1d 6059	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. CH /\ A e. CH ) /\ B e. CH ) -> ( ( _|_ ` ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) ) vH B ) = ( ( x i^i A ) vH B ) )
24	20, 23	eqtrd 2440	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. CH /\ A e. CH ) /\ B e. CH ) -> ( _|_ ` ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) = ( ( x i^i A ) vH B ) )
25	24	anasss 629	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. CH /\ ( A e. CH /\ B e. CH ) ) -> ( _|_ ` ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) = ( ( x i^i A ) vH B ) )
26		choccl 22765	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( B e. CH -> ( _|_ ` B ) e. CH )
27		chincl 22958	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( _|_ ` A ) e. CH /\ ( _|_ ` B ) e. CH ) -> ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) e. CH )
28	16, 26, 27	syl2an 464	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) e. CH )
29		chdmj2 22989	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. CH /\ ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) e. CH ) -> ( _|_ ` ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) = ( x i^i ( _|_ ` ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) )
30	28, 29	sylan2 461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. CH /\ ( A e. CH /\ B e. CH ) ) -> ( _|_ ` ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) = ( x i^i ( _|_ ` ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) )
31		chdmm4 22987	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( _|_ ` ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) = ( A vH B ) )
32	31	adantl 453	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. CH /\ ( A e. CH /\ B e. CH ) ) -> ( _|_ ` ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) = ( A vH B ) )
33	32	ineq2d 3506	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. CH /\ ( A e. CH /\ B e. CH ) ) -> ( x i^i ( _|_ ` ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) = ( x i^i ( A vH B ) ) )
34	30, 33	eqtrd 2440	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. CH /\ ( A e. CH /\ B e. CH ) ) -> ( _|_ ` ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) = ( x i^i ( A vH B ) ) )
35	25, 34	eqeq12d 2422	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CH /\ ( A e. CH /\ B e. CH ) ) -> ( ( _|_ ` ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) = ( _|_ ` ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) <-> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) )
36	35	ancoms 440	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CH /\ B e. CH ) /\ x e. CH ) -> ( ( _|_ ` ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) = ( _|_ ` ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) <-> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) )
37	15, 36	syl5ib 211	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CH /\ B e. CH ) /\ x e. CH ) -> ( ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) -> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) )
38	14, 37	imim12d 70	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CH /\ B e. CH ) /\ x e. CH ) -> ( ( ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) -> ( B C_ x -> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) ) )
39	11, 38	syld 42	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CH /\ B e. CH ) /\ x e. CH ) -> ( ( ( _|_ ` x ) e. CH -> ( ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) -> ( B C_ x -> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) ) )
40	39	ex 424	. . . . . 6 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( x e. CH -> ( ( ( _|_ ` x ) e. CH -> ( ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) -> ( B C_ x -> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) ) ) )
41	40	com23 74	. . . . 5 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( ( ( _|_ ` x ) e. CH -> ( ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) -> ( x e. CH -> ( B C_ x -> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) ) ) )
42	7, 41	syl5 30	. . . 4 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( A. y e. CH ( y C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) -> ( x e. CH -> ( B C_ x -> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) ) ) )
43	42	ralrimdv 2759	. . 3 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( A. y e. CH ( y C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) -> A. x e. CH ( B C_ x -> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) ) )
44		sseq2 3334	. . . . . . 7 |- ( x = ( _|_ ` y ) -> ( B C_ x <-> B C_ ( _|_ ` y ) ) )
45		ineq1 3499	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( _|_ ` y ) -> ( x i^i A ) = ( ( _|_ ` y ) i^i A ) )
46	45	oveq1d 6059	. . . . . . . 8 |- ( x = ( _|_ ` y ) -> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) )
47		ineq1 3499	. . . . . . . 8 |- ( x = ( _|_ ` y ) -> ( x i^i ( A vH B ) ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) )
48	46, 47	eqeq12d 2422	. . . . . . 7 |- ( x = ( _|_ ` y ) -> ( ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) <-> ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) )
49	44, 48	imbi12d 312	. . . . . 6 |- ( x = ( _|_ ` y ) -> ( ( B C_ x -> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) <-> ( B C_ ( _|_ ` y ) -> ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) ) )
50	49	rspccv 3013	. . . . 5 |- ( A. x e. CH ( B C_ x -> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) -> ( ( _|_ ` y ) e. CH -> ( B C_ ( _|_ ` y ) -> ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) ) )
51		choccl 22765	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. CH -> ( _|_ ` y ) e. CH )
52	51	imim1i 56	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( _|_ ` y ) e. CH -> ( B C_ ( _|_ ` y ) -> ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) ) -> ( y e. CH -> ( B C_ ( _|_ ` y ) -> ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) ) )
53	52	com12 29	. . . . . . . . 9 |- ( y e. CH -> ( ( ( _|_ ` y ) e. CH -> ( B C_ ( _|_ ` y ) -> ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) ) -> ( B C_ ( _|_ ` y ) -> ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) ) )
54	53	adantl 453	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CH /\ B e. CH ) /\ y e. CH ) -> ( ( ( _|_ ` y ) e. CH -> ( B C_ ( _|_ ` y ) -> ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) ) -> ( B C_ ( _|_ ` y ) -> ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) ) )
55		chsscon2 22961	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. CH /\ y e. CH ) -> ( B C_ ( _|_ ` y ) <-> y C_ ( _|_ ` B ) ) )
56	55	biimprd 215	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. CH /\ y e. CH ) -> ( y C_ ( _|_ ` B ) -> B C_ ( _|_ ` y ) ) )
57	56	adantll 695	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CH /\ B e. CH ) /\ y e. CH ) -> ( y C_ ( _|_ ` B ) -> B C_ ( _|_ ` y ) ) )
58		fveq2 5691	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) -> ( _|_ ` ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) ) = ( _|_ ` ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) )
59		chincl 22958	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( _|_ ` y ) e. CH /\ A e. CH ) -> ( ( _|_ ` y ) i^i A ) e. CH )
60	51, 59	sylan 458	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. CH /\ A e. CH ) -> ( ( _|_ ` y ) i^i A ) e. CH )
61		chdmj1 22988	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) e. CH /\ B e. CH ) -> ( _|_ ` ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) ) = ( ( _|_ ` ( ( _|_ ` y ) i^i A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) )
62	60, 61	sylan 458	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y e. CH /\ A e. CH ) /\ B e. CH ) -> ( _|_ ` ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) ) = ( ( _|_ ` ( ( _|_ ` y ) i^i A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) )
63		chdmm2 22985	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. CH /\ A e. CH ) -> ( _|_ ` ( ( _|_ ` y ) i^i A ) ) = ( y vH ( _|_ ` A ) ) )
64	63	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( y e. CH /\ A e. CH ) /\ B e. CH ) -> ( _|_ ` ( ( _|_ ` y ) i^i A ) ) = ( y vH ( _|_ ` A ) ) )
65	64	ineq1d 3505	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y e. CH /\ A e. CH ) /\ B e. CH ) -> ( ( _|_ ` ( ( _|_ ` y ) i^i A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) )
66	62, 65	eqtrd 2440	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y e. CH /\ A e. CH ) /\ B e. CH ) -> ( _|_ ` ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) ) = ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) )
67	66	anasss 629	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. CH /\ ( A e. CH /\ B e. CH ) ) -> ( _|_ ` ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) ) = ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) )
68		chjcl 22816	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( A vH B ) e. CH )
69		chdmm2 22985	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. CH /\ ( A vH B ) e. CH ) -> ( _|_ ` ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) = ( y vH ( _|_ ` ( A vH B ) ) ) )
70	68, 69	sylan2 461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. CH /\ ( A e. CH /\ B e. CH ) ) -> ( _|_ ` ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) = ( y vH ( _|_ ` ( A vH B ) ) ) )
71		chdmj1 22988	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( _|_ ` ( A vH B ) ) = ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) )
72	71	adantl 453	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. CH /\ ( A e. CH /\ B e. CH ) ) -> ( _|_ ` ( A vH B ) ) = ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) )
73	72	oveq2d 6060	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. CH /\ ( A e. CH /\ B e. CH ) ) -> ( y vH ( _|_ ` ( A vH B ) ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) )
74	70, 73	eqtrd 2440	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. CH /\ ( A e. CH /\ B e. CH ) ) -> ( _|_ ` ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) )
75	67, 74	eqeq12d 2422	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. CH /\ ( A e. CH /\ B e. CH ) ) -> ( ( _|_ ` ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) ) = ( _|_ ` ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) <-> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) )
76	75	ancoms 440	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CH /\ B e. CH ) /\ y e. CH ) -> ( ( _|_ ` ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) ) = ( _|_ ` ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) <-> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) )
77	58, 76	syl5ib 211	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CH /\ B e. CH ) /\ y e. CH ) -> ( ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) )
78	57, 77	imim12d 70	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CH /\ B e. CH ) /\ y e. CH ) -> ( ( B C_ ( _|_ ` y ) -> ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) -> ( y C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) )
79	54, 78	syld 42	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CH /\ B e. CH ) /\ y e. CH ) -> ( ( ( _|_ ` y ) e. CH -> ( B C_ ( _|_ ` y ) -> ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) ) -> ( y C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) )
80	79	ex 424	. . . . . 6 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( y e. CH -> ( ( ( _|_ ` y ) e. CH -> ( B C_ ( _|_ ` y ) -> ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) ) -> ( y C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) ) )
81	80	com23 74	. . . . 5 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( ( ( _|_ ` y ) e. CH -> ( B C_ ( _|_ ` y ) -> ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) ) -> ( y e. CH -> ( y C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) ) )
82	50, 81	syl5 30	. . . 4 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( A. x e. CH ( B C_ x -> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) -> ( y e. CH -> ( y C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) ) )
83	82	ralrimdv 2759	. . 3 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( A. x e. CH ( B C_ x -> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) -> A. y e. CH ( y C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) )
84	43, 83	impbid 184	. 2 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( A. y e. CH ( y C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) <-> A. x e. CH ( B C_ x -> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) ) )
85		mdbr 23754	. . 3 |- ( ( ( _|_ ` A ) e. CH /\ ( _|_ ` B ) e. CH ) -> ( ( _|_ ` A ) MH ( _|_ ` B ) <-> A. y e. CH ( y C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) )
86	16, 26, 85	syl2an 464	. 2 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( ( _|_ ` A ) MH ( _|_ ` B ) <-> A. y e. CH ( y C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) )
87		dmdbr 23759	. 2 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( A MH* B <-> A. x e. CH ( B C_ x -> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) ) )
88	84, 86, 87	3bitr4rd 278	1 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( A MH* B <-> ( _|_ ` A ) MH ( _|_ ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   A.wral 2670   i^i cin 3283   C_ wss 3284   class class class wbr 4176   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   CHcch 22389   _|_cort 22390   vH chj 22393   MH cmd 22426   MH* cdmd 22427

This theorem is referenced by:  mddmd  23761  ssdmd1  23773  mdsldmd1i  23791  cvdmd  23797  dmdsym  23873  cmdmdi  23877

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-inf2 7556  ax-cc 8275  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027  ax-pre-sup 9028  ax-addf 9029  ax-mulf 9030  ax-hilex 22459  ax-hfvadd 22460  ax-hvcom 22461  ax-hvass 22462  ax-hv0cl 22463  ax-hvaddid 22464  ax-hfvmul 22465  ax-hvmulid 22466  ax-hvmulass 22467  ax-hvdistr1 22468  ax-hvdistr2 22469  ax-hvmul0 22470  ax-hfi 22538  ax-his1 22541  ax-his2 22542  ax-his3 22543  ax-his4 22544  ax-hcompl 22661

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-iin 4060  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-se 4506  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-of 6268  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-omul 6692  df-er 6868  df-map 6983  df-pm 6984  df-ixp 7027  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-fi 7378  df-sup 7408  df-oi 7439  df-card 7786  df-acn 7789  df-cda 8008  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-4 10020  df-5 10021  df-6 10022  df-7 10023  df-8 10024  df-9 10025  df-10 10026  df-n0 10182  df-z 10243  df-dec 10343  df-uz 10449  df-q 10535  df-rp 10573  df-xneg 10670  df-xadd 10671  df-xmul 10672  df-ioo 10880  df-ico 10882  df-icc 10883  df-fz 11004  df-fzo 11095  df-fl 11161  df-seq 11283  df-exp 11342  df-hash 11578  df-cj 11863  df-re 11864  df-im 11865  df-sqr 11999  df-abs 12000  df-clim 12241  df-rlim 12242  df-sum 12439  df-struct 13430  df-ndx 13431  df-slot 13432  df-base 13433  df-sets 13434  df-ress 13435  df-plusg 13501  df-mulr 13502  df-starv 13503  df-sca 13504  df-vsca 13505  df-tset 13507  df-ple 13508  df-ds 13510  df-unif 13511  df-hom 13512  df-cco 13513  df-rest 13609  df-topn 13610  df-topgen 13626  df-pt 13627  df-prds 13630  df-xrs 13685  df-0g 13686  df-gsum 13687  df-qtop 13692  df-imas 13693  df-xps 13695  df-mre 13770  df-mrc 13771  df-acs 13773  df-mnd 14649  df-submnd 14698  df-mulg 14774  df-cntz 15075  df-cmn 15373  df-psmet 16653  df-xmet 16654  df-met 16655  df-bl 16656  df-mopn 16657  df-fbas 16658  df-fg 16659  df-cnfld 16663  df-top 16922  df-bases 16924  df-topon 16925  df-topsp 16926  df-cld 17042  df-ntr 17043  df-cls 17044  df-nei 17121  df-cn 17249  df-cnp 17250  df-lm 17251  df-haus 17337  df-tx 17551  df-hmeo 17744  df-fil 17835  df-fm 17927  df-flim 17928  df-flf 17929  df-xms 18307  df-ms 18308  df-tms 18309  df-cfil 19165  df-cau 19166  df-cmet 19167  df-grpo 21736  df-gid 21737  df-ginv 21738  df-gdiv 21739  df-ablo 21827  df-subgo 21847  df-vc 21982  df-nv 22028  df-va 22031  df-ba 22032  df-sm 22033  df-0v 22034  df-vs 22035  df-nmcv 22036  df-ims 22037  df-dip 22154  df-ssp 22178  df-ph 22271  df-cbn 22322  df-hnorm 22428  df-hba 22429  df-hvsub 22431  df-hlim 22432  df-hcau 22433  df-sh 22666  df-ch 22681  df-oc 22711  df-ch0 22712  df-shs 22767  df-chj 22769  df-md 23740  df-dmd 23741