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Theorem dmdmd 22882
Description: The dual modular pair property expressed in terms of the modular pair property, that hold in Hilbert lattices. Remark 29.6 of [MaedaMaeda] p. 130. (Contributed by NM, 27-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
dmdmd  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A  MH*  B  <->  ( _|_ `  A )  MH  ( _|_ `  B
) ) )

Proof of Theorem dmdmd
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq1 3201 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( _|_ `  x
)  ->  ( y  C_  ( _|_ `  B
)  <->  ( _|_ `  x
)  C_  ( _|_ `  B ) ) )
2 oveq1 5867 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( _|_ `  x
)  ->  ( y  vH  ( _|_ `  A
) )  =  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) ) )
32ineq1d 3371 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( _|_ `  x
)  ->  ( (
y  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( ( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) ) )
4 oveq1 5867 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( _|_ `  x
)  ->  ( y  vH  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) )  =  ( ( _|_ `  x )  vH  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) )
53, 4eqeq12d 2299 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( _|_ `  x
)  ->  ( (
( y  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) )  <->  ( (
( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) ) )
61, 5imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( _|_ `  x
)  ->  ( (
y  C_  ( _|_ `  B )  ->  (
( y  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) )  <-> 
( ( _|_ `  x
)  C_  ( _|_ `  B )  ->  (
( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) ) ) )
76rspccv 2883 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  CH  ( y 
C_  ( _|_ `  B
)  ->  ( (
y  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) )  ->  ( ( _|_ `  x )  e.  CH  ->  ( ( _|_ `  x
)  C_  ( _|_ `  B )  ->  (
( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) ) ) )
8 choccl 21887 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  CH  ->  ( _|_ `  x )  e. 
CH )
98imim1i 54 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( _|_ `  x
)  e.  CH  ->  ( ( _|_ `  x
)  C_  ( _|_ `  B )  ->  (
( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) ) )  ->  ( x  e.  CH  ->  ( ( _|_ `  x )  C_  ( _|_ `  B )  ->  ( ( ( _|_ `  x )  vH  ( _|_ `  A
) )  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( ( _|_ `  x )  vH  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) ) ) )
109com12 27 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CH  ->  (
( ( _|_ `  x
)  e.  CH  ->  ( ( _|_ `  x
)  C_  ( _|_ `  B )  ->  (
( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) ) )  ->  ( ( _|_ `  x )  C_  ( _|_ `  B )  ->  ( ( ( _|_ `  x )  vH  ( _|_ `  A
) )  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( ( _|_ `  x )  vH  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) ) ) )
1110adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  x  e.  CH )  ->  ( ( ( _|_ `  x )  e.  CH  ->  ( ( _|_ `  x
)  C_  ( _|_ `  B )  ->  (
( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) ) )  ->  ( ( _|_ `  x )  C_  ( _|_ `  B )  ->  ( ( ( _|_ `  x )  vH  ( _|_ `  A
) )  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( ( _|_ `  x )  vH  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) ) ) )
12 chsscon3 22081 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH )  ->  ( B  C_  x  <->  ( _|_ `  x ) 
C_  ( _|_ `  B
) ) )
1312biimpd 198 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH )  ->  ( B  C_  x  ->  ( _|_ `  x
)  C_  ( _|_ `  B ) ) )
1413adantll 694 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  x  e.  CH )  ->  ( B  C_  x  ->  ( _|_ `  x
)  C_  ( _|_ `  B ) ) )
15 fveq2 5527 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) )  -> 
( _|_ `  (
( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) ) )  =  ( _|_ `  (
( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) ) )
16 choccl 21887 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  CH  ->  ( _|_ `  A )  e. 
CH )
17 chjcl 21938 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( _|_ `  x
)  e.  CH  /\  ( _|_ `  A )  e.  CH )  -> 
( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  e. 
CH )
188, 16, 17syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  CH  /\  A  e.  CH )  ->  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  e. 
CH )
19 chdmm3 22108 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  e. 
CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( _|_ `  ( ( ( _|_ `  x )  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) ) )  =  ( ( _|_ `  (
( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) ) )  vH  B ) )
2018, 19sylan 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  CH  /\  A  e.  CH )  /\  B  e.  CH )  ->  ( _|_ `  (
( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) ) )  =  ( ( _|_ `  (
( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) ) )  vH  B ) )
21 chdmj4 22113 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CH  /\  A  e.  CH )  ->  ( _|_ `  (
( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) ) )  =  ( x  i^i 
A ) )
2221adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  CH  /\  A  e.  CH )  /\  B  e.  CH )  ->  ( _|_ `  (
( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) ) )  =  ( x  i^i 
A ) )
2322oveq1d 5875 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  CH  /\  A  e.  CH )  /\  B  e.  CH )  ->  ( ( _|_ `  (
( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) ) )  vH  B )  =  ( ( x  i^i 
A )  vH  B
) )
2420, 23eqtrd 2317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  CH  /\  A  e.  CH )  /\  B  e.  CH )  ->  ( _|_ `  (
( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) ) )  =  ( ( x  i^i 
A )  vH  B
) )
2524anasss 628 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CH  /\  ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )
)  ->  ( _|_ `  ( ( ( _|_ `  x )  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) ) )  =  ( ( x  i^i 
A )  vH  B
) )
26 choccl 21887 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  CH  ->  ( _|_ `  B )  e. 
CH )
27 chincl 22080 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( _|_ `  A
)  e.  CH  /\  ( _|_ `  B )  e.  CH )  -> 
( ( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) )  e. 
CH )
2816, 26, 27syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) )  e. 
CH )
29 chdmj2 22111 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CH  /\  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) )  e. 
CH )  ->  ( _|_ `  ( ( _|_ `  x )  vH  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) )  =  ( x  i^i  ( _|_ `  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) ) )
3028, 29sylan2 460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CH  /\  ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )
)  ->  ( _|_ `  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) )  =  ( x  i^i  ( _|_ `  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) ) )
31 chdmm4 22109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( _|_ `  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) )  =  ( A  vH  B ) )
3231adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CH  /\  ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )
)  ->  ( _|_ `  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) )  =  ( A  vH  B ) )
3332ineq2d 3372 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CH  /\  ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )
)  ->  ( x  i^i  ( _|_ `  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) )
3430, 33eqtrd 2317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CH  /\  ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )
)  ->  ( _|_ `  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B
) ) )
3525, 34eqeq12d 2299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CH  /\  ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )
)  ->  ( ( _|_ `  ( ( ( _|_ `  x )  vH  ( _|_ `  A
) )  i^i  ( _|_ `  B ) ) )  =  ( _|_ `  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) )  <-> 
( ( x  i^i 
A )  vH  B
)  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) ) )
3635ancoms 439 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  x  e.  CH )  ->  ( ( _|_ `  (
( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) ) )  =  ( _|_ `  (
( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) )  <-> 
( ( x  i^i 
A )  vH  B
)  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) ) )
3715, 36syl5ib 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  x  e.  CH )  ->  ( ( ( ( _|_ `  x )  vH  ( _|_ `  A
) )  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( ( _|_ `  x )  vH  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) )  ->  ( ( x  i^i  A )  vH  B )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) ) )
3814, 37imim12d 68 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  x  e.  CH )  ->  ( ( ( _|_ `  x )  C_  ( _|_ `  B )  -> 
( ( ( _|_ `  x )  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) )  ->  ( B  C_  x  ->  ( ( x  i^i  A )  vH  B )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) )
3911, 38syld 40 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  x  e.  CH )  ->  ( ( ( _|_ `  x )  e.  CH  ->  ( ( _|_ `  x
)  C_  ( _|_ `  B )  ->  (
( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) ) )  ->  ( B  C_  x  ->  ( (
x  i^i  A )  vH  B )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) )
4039ex 423 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( x  e.  CH  ->  ( ( ( _|_ `  x )  e.  CH  ->  ( ( _|_ `  x
)  C_  ( _|_ `  B )  ->  (
( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) ) )  ->  ( B  C_  x  ->  ( (
x  i^i  A )  vH  B )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) ) )
4140com23 72 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( ( ( _|_ `  x )  e.  CH  ->  ( ( _|_ `  x
)  C_  ( _|_ `  B )  ->  (
( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) ) )  ->  ( x  e.  CH  ->  ( B  C_  x  ->  ( (
x  i^i  A )  vH  B )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) ) )
427, 41syl5 28 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A. y  e. 
CH  ( y  C_  ( _|_ `  B )  ->  ( ( y  vH  ( _|_ `  A
) )  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) )  ->  ( x  e.  CH  ->  ( B  C_  x  ->  ( (
x  i^i  A )  vH  B )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) ) )
4342ralrimdv 2634 . . 3  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A. y  e. 
CH  ( y  C_  ( _|_ `  B )  ->  ( ( y  vH  ( _|_ `  A
) )  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) )  ->  A. x  e.  CH  ( B  C_  x  ->  ( ( x  i^i  A )  vH  B )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) )
44 sseq2 3202 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( _|_ `  y
)  ->  ( B  C_  x  <->  B  C_  ( _|_ `  y ) ) )
45 ineq1 3365 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( _|_ `  y
)  ->  ( x  i^i  A )  =  ( ( _|_ `  y
)  i^i  A )
)
4645oveq1d 5875 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( _|_ `  y
)  ->  ( (
x  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( ( _|_ `  y
)  i^i  A )  vH  B ) )
47 ineq1 3365 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( _|_ `  y
)  ->  ( x  i^i  ( A  vH  B
) )  =  ( ( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) )
4846, 47eqeq12d 2299 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( _|_ `  y
)  ->  ( (
( x  i^i  A
)  vH  B )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B
) )  <->  ( (
( _|_ `  y
)  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) ) )
4944, 48imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( _|_ `  y
)  ->  ( ( B  C_  x  ->  (
( x  i^i  A
)  vH  B )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B
) ) )  <->  ( B  C_  ( _|_ `  y
)  ->  ( (
( _|_ `  y
)  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) )
5049rspccv 2883 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  CH  ( B 
C_  x  ->  (
( x  i^i  A
)  vH  B )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B
) ) )  -> 
( ( _|_ `  y
)  e.  CH  ->  ( B  C_  ( _|_ `  y )  ->  (
( ( _|_ `  y
)  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) )
51 choccl 21887 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  CH  ->  ( _|_ `  y )  e. 
CH )
5251imim1i 54 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( _|_ `  y
)  e.  CH  ->  ( B  C_  ( _|_ `  y )  ->  (
( ( _|_ `  y
)  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) ) )  ->  ( y  e.  CH  ->  ( B  C_  ( _|_ `  y
)  ->  ( (
( _|_ `  y
)  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) )
5352com12 27 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  CH  ->  (
( ( _|_ `  y
)  e.  CH  ->  ( B  C_  ( _|_ `  y )  ->  (
( ( _|_ `  y
)  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) ) )  ->  ( B  C_  ( _|_ `  y
)  ->  ( (
( _|_ `  y
)  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) )
5453adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  y  e.  CH )  ->  ( ( ( _|_ `  y )  e.  CH  ->  ( B  C_  ( _|_ `  y )  -> 
( ( ( _|_ `  y )  i^i  A
)  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y )  i^i  ( A  vH  B ) ) ) )  ->  ( B  C_  ( _|_ `  y
)  ->  ( (
( _|_ `  y
)  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) )
55 chsscon2 22083 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  CH  /\  y  e.  CH )  ->  ( B  C_  ( _|_ `  y )  <->  y  C_  ( _|_ `  B ) ) )
5655biimprd 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  CH  /\  y  e.  CH )  ->  ( y  C_  ( _|_ `  B )  ->  B  C_  ( _|_ `  y
) ) )
5756adantll 694 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  y  e.  CH )  ->  ( y  C_  ( _|_ `  B )  ->  B  C_  ( _|_ `  y
) ) )
58 fveq2 5527 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( _|_ `  y
)  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) )  -> 
( _|_ `  (
( ( _|_ `  y
)  i^i  A )  vH  B ) )  =  ( _|_ `  (
( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) ) )
59 chincl 22080 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( _|_ `  y
)  e.  CH  /\  A  e.  CH )  ->  ( ( _|_ `  y
)  i^i  A )  e.  CH )
6051, 59sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  CH  /\  A  e.  CH )  ->  ( ( _|_ `  y
)  i^i  A )  e.  CH )
61 chdmj1 22110 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( _|_ `  y
)  i^i  A )  e.  CH  /\  B  e. 
CH )  ->  ( _|_ `  ( ( ( _|_ `  y )  i^i  A )  vH  B ) )  =  ( ( _|_ `  (
( _|_ `  y
)  i^i  A )
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) )
6260, 61sylan 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  CH  /\  A  e.  CH )  /\  B  e.  CH )  ->  ( _|_ `  (
( ( _|_ `  y
)  i^i  A )  vH  B ) )  =  ( ( _|_ `  (
( _|_ `  y
)  i^i  A )
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) )
63 chdmm2 22107 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  CH  /\  A  e.  CH )  ->  ( _|_ `  (
( _|_ `  y
)  i^i  A )
)  =  ( y  vH  ( _|_ `  A
) ) )
6463adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  e.  CH  /\  A  e.  CH )  /\  B  e.  CH )  ->  ( _|_ `  (
( _|_ `  y
)  i^i  A )
)  =  ( y  vH  ( _|_ `  A
) ) )
6564ineq1d 3371 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  CH  /\  A  e.  CH )  /\  B  e.  CH )  ->  ( ( _|_ `  (
( _|_ `  y
)  i^i  A )
)  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( ( y  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B ) ) )
6662, 65eqtrd 2317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  CH  /\  A  e.  CH )  /\  B  e.  CH )  ->  ( _|_ `  (
( ( _|_ `  y
)  i^i  A )  vH  B ) )  =  ( ( y  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B ) ) )
6766anasss 628 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  CH  /\  ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )
)  ->  ( _|_ `  ( ( ( _|_ `  y )  i^i  A
)  vH  B )
)  =  ( ( y  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) ) )
68 chjcl 21938 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A  vH  B
)  e.  CH )
69 chdmm2 22107 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  CH  /\  ( A  vH  B )  e.  CH )  -> 
( _|_ `  (
( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) )  =  ( y  vH  ( _|_ `  ( A  vH  B ) ) ) )
7068, 69sylan2 460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  CH  /\  ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )
)  ->  ( _|_ `  ( ( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) )  =  ( y  vH  ( _|_ `  ( A  vH  B ) ) ) )
71 chdmj1 22110 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( _|_ `  ( A  vH  B ) )  =  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B ) ) )
7271adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  CH  /\  ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )
)  ->  ( _|_ `  ( A  vH  B
) )  =  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) )
7372oveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  CH  /\  ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )
)  ->  ( y  vH  ( _|_ `  ( A  vH  B ) ) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) )
7470, 73eqtrd 2317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  CH  /\  ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )
)  ->  ( _|_ `  ( ( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) )
7567, 74eqeq12d 2299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  CH  /\  ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )
)  ->  ( ( _|_ `  ( ( ( _|_ `  y )  i^i  A )  vH  B ) )  =  ( _|_ `  (
( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) )  <-> 
( ( y  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( y  vH  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) ) )
7675ancoms 439 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  y  e.  CH )  ->  ( ( _|_ `  (
( ( _|_ `  y
)  i^i  A )  vH  B ) )  =  ( _|_ `  (
( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) )  <-> 
( ( y  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( y  vH  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) ) )
7758, 76syl5ib 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  y  e.  CH )  ->  ( ( ( ( _|_ `  y )  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) )  -> 
( ( y  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( y  vH  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) ) )
7857, 77imim12d 68 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  y  e.  CH )  ->  ( ( B  C_  ( _|_ `  y )  ->  ( ( ( _|_ `  y )  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) )  ->  ( y  C_  ( _|_ `  B )  ->  ( ( y  vH  ( _|_ `  A
) )  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) ) ) )
7954, 78syld 40 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  y  e.  CH )  ->  ( ( ( _|_ `  y )  e.  CH  ->  ( B  C_  ( _|_ `  y )  -> 
( ( ( _|_ `  y )  i^i  A
)  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y )  i^i  ( A  vH  B ) ) ) )  ->  (
y  C_  ( _|_ `  B )  ->  (
( y  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) ) ) )
8079ex 423 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( y  e.  CH  ->  ( ( ( _|_ `  y )  e.  CH  ->  ( B  C_  ( _|_ `  y )  -> 
( ( ( _|_ `  y )  i^i  A
)  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y )  i^i  ( A  vH  B ) ) ) )  ->  (
y  C_  ( _|_ `  B )  ->  (
( y  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) ) ) ) )
8180com23 72 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( ( ( _|_ `  y )  e.  CH  ->  ( B  C_  ( _|_ `  y )  -> 
( ( ( _|_ `  y )  i^i  A
)  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y )  i^i  ( A  vH  B ) ) ) )  ->  (
y  e.  CH  ->  ( y  C_  ( _|_ `  B )  ->  (
( y  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) ) ) ) )
8250, 81syl5 28 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A. x  e. 
CH  ( B  C_  x  ->  ( ( x  i^i  A )  vH  B )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) )  ->  ( y  e.  CH  ->  ( y  C_  ( _|_ `  B
)  ->  ( (
y  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) ) ) ) )
8382ralrimdv 2634 . . 3  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A. x  e. 
CH  ( B  C_  x  ->  ( ( x  i^i  A )  vH  B )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) )  ->  A. y  e.  CH  ( y  C_  ( _|_ `  B )  ->  ( ( y  vH  ( _|_ `  A
) )  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) ) ) )
8443, 83impbid 183 . 2  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A. y  e. 
CH  ( y  C_  ( _|_ `  B )  ->  ( ( y  vH  ( _|_ `  A
) )  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) )  <->  A. x  e.  CH  ( B  C_  x  -> 
( ( x  i^i 
A )  vH  B
)  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) )
85 mdbr 22876 . . 3  |-  ( ( ( _|_ `  A
)  e.  CH  /\  ( _|_ `  B )  e.  CH )  -> 
( ( _|_ `  A
)  MH  ( _|_ `  B )  <->  A. y  e.  CH  ( y  C_  ( _|_ `  B )  ->  ( ( y  vH  ( _|_ `  A
) )  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) ) ) )
8616, 26, 85syl2an 463 . 2  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( ( _|_ `  A
)  MH  ( _|_ `  B )  <->  A. y  e.  CH  ( y  C_  ( _|_ `  B )  ->  ( ( y  vH  ( _|_ `  A
) )  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) ) ) )
87 dmdbr 22881 . 2  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A  MH*  B  <->  A. x  e.  CH  ( B  C_  x  ->  (
( x  i^i  A
)  vH  B )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B
) ) ) ) )
8884, 86, 873bitr4rd 277 1  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A  MH*  B  <->  ( _|_ `  A )  MH  ( _|_ `  B
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1625    e. wcel 1686   A.wral 2545    i^i cin 3153    C_ wss 3154   class class class wbr 4025   ` cfv 5257  (class class class)co 5860   CHcch 21511   _|_cort 21512    vH chj 21515    MH cmd 21548    MH* cdmd 21549
This theorem is referenced by:  mddmd  22883  ssdmd1  22895  mdsldmd1i  22913  cvdmd  22919  dmdsym  22995  cmdmdi  22999
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-inf2 7344  ax-cc 8063  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817  ax-addf 8818  ax-mulf 8819  ax-hilex 21581  ax-hfvadd 21582  ax-hvcom 21583  ax-hvass 21584  ax-hv0cl 21585  ax-hvaddid 21586  ax-hfvmul 21587  ax-hvmulid 21588  ax-hvmulass 21589  ax-hvdistr1 21590  ax-hvdistr2 21591  ax-hvmul0 21592  ax-hfi 21660  ax-his1 21663  ax-his2 21664  ax-his3 21665  ax-his4 21666  ax-hcompl 21783
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-iin 3910  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-se 4355  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-isom 5266  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-of 6080  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-2o 6482  df-oadd 6485  df-omul 6486  df-er 6662  df-map 6776  df-pm 6777  df-ixp 6820  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869  df-fi 7167  df-sup 7196  df-oi 7227  df-card 7574  df-acn 7577  df-cda 7796  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-4 9808  df-5 9809  df-6 9810  df-7 9811  df-8 9812  df-9 9813  df-10 9814  df-n0 9968  df-z 10027  df-dec 10127  df-uz 10233  df-q 10319  df-rp 10357  df-xneg 10454  df-xadd 10455  df-xmul 10456  df-ioo 10662  df-ico 10664  df-icc 10665  df-fz 10785  df-fzo 10873  df-fl 10927  df-seq 11049  df-exp 11107  df-hash 11340  df-cj 11586  df-re 11587  df-im 11588  df-sqr 11722  df-abs 11723  df-clim 11964  df-rlim 11965  df-sum 12161  df-struct 13152  df-ndx 13153  df-slot 13154  df-base 13155  df-sets 13156  df-ress 13157  df-plusg 13223  df-mulr 13224  df-starv 13225  df-sca 13226  df-vsca 13227  df-tset 13229  df-ple 13230  df-ds 13232  df-hom 13234  df-cco 13235  df-rest 13329  df-topn 13330  df-topgen 13346  df-pt 13347  df-prds 13350  df-xrs 13405  df-0g 13406  df-gsum 13407  df-qtop 13412  df-imas 13413  df-xps 13415  df-mre 13490  df-mrc 13491  df-acs 13493  df-mnd 14369  df-submnd 14418  df-mulg 14494  df-cntz 14795  df-cmn 15093  df-xmet 16375  df-met 16376  df-bl 16377  df-mopn 16378  df-cnfld 16380  df-top 16638  df-bases 16640  df-topon 16641  df-topsp 16642  df-cld 16758  df-ntr 16759  df-cls 16760  df-nei 16837  df-cn 16959  df-cnp 16960  df-lm 16961  df-haus 17045  df-tx 17259  df-hmeo 17448  df-fbas 17522  df-fg 17523  df-fil 17543  df-fm 17635  df-flim 17636  df-flf 17637  df-xms 17887  df-ms 17888  df-tms 17889  df-cfil 18683  df-cau 18684  df-cmet 18685  df-grpo 20860  df-gid 20861  df-ginv 20862  df-gdiv 20863  df-ablo 20951  df-subgo 20971  df-vc 21104  df-nv 21150  df-va 21153  df-ba 21154  df-sm 21155  df-0v 21156  df-vs 21157  df-nmcv 21158  df-ims 21159  df-dip 21276  df-ssp 21300  df-ph 21393  df-cbn 21444  df-hnorm 21550  df-hba 21551  df-hvsub 21553  df-hlim 21554  df-hcau 21555  df-sh 21788  df-ch 21803  df-oc 21833  df-ch0 21834  df-shs 21889  df-chj 21891  df-md 22862  df-dmd 22863
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