Theorem dmdmd 23795

Description: The dual modular pair property expressed in terms of the modular pair property, that hold in Hilbert lattices. Remark 29.6 of [MaedaMaeda] p. 130. (Contributed by NM, 27-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
dmdmd	|- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( A MH* B <-> ( _|_ ` A ) MH ( _|_ ` B ) ) )

Proof of Theorem dmdmd

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3361	. . . . . . 7 |- ( y = ( _|_ ` x ) -> ( y C_ ( _|_ ` B ) <-> ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) ) )
2		oveq1 6080	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( _|_ ` x ) -> ( y vH ( _|_ ` A ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) )
3	2	ineq1d 3533	. . . . . . . 8 |- ( y = ( _|_ ` x ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) )
4		oveq1 6080	. . . . . . . 8 |- ( y = ( _|_ ` x ) -> ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) )
5	3, 4	eqeq12d 2449	. . . . . . 7 |- ( y = ( _|_ ` x ) -> ( ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) <-> ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) )
6	1, 5	imbi12d 312	. . . . . 6 |- ( y = ( _|_ ` x ) -> ( ( y C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) <-> ( ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) )
7	6	rspccv 3041	. . . . 5 |- ( A. y e. CH ( y C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) -> ( ( _|_ ` x ) e. CH -> ( ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) )
8		choccl 22800	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CH -> ( _|_ ` x ) e. CH )
9	8	imim1i 56	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( _|_ ` x ) e. CH -> ( ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) -> ( x e. CH -> ( ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) )
10	9	com12 29	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CH -> ( ( ( _|_ ` x ) e. CH -> ( ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) -> ( ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) )
11	10	adantl 453	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CH /\ B e. CH ) /\ x e. CH ) -> ( ( ( _|_ ` x ) e. CH -> ( ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) -> ( ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) )
12		chsscon3 22994	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. CH /\ x e. CH ) -> ( B C_ x <-> ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) ) )
13	12	biimpd 199	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. CH /\ x e. CH ) -> ( B C_ x -> ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) ) )
14	13	adantll 695	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CH /\ B e. CH ) /\ x e. CH ) -> ( B C_ x -> ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) ) )
15		fveq2 5720	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) -> ( _|_ ` ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) = ( _|_ ` ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) )
16		choccl 22800	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. CH -> ( _|_ ` A ) e. CH )
17		chjcl 22851	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( _|_ ` x ) e. CH /\ ( _|_ ` A ) e. CH ) -> ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) e. CH )
18	8, 16, 17	syl2an 464	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. CH /\ A e. CH ) -> ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) e. CH )
19		chdmm3 23021	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) e. CH /\ B e. CH ) -> ( _|_ ` ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) = ( ( _|_ ` ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) ) vH B ) )
20	18, 19	sylan 458	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. CH /\ A e. CH ) /\ B e. CH ) -> ( _|_ ` ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) = ( ( _|_ ` ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) ) vH B ) )
21		chdmj4 23026	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. CH /\ A e. CH ) -> ( _|_ ` ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) ) = ( x i^i A ) )
22	21	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. CH /\ A e. CH ) /\ B e. CH ) -> ( _|_ ` ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) ) = ( x i^i A ) )
23	22	oveq1d 6088	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. CH /\ A e. CH ) /\ B e. CH ) -> ( ( _|_ ` ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) ) vH B ) = ( ( x i^i A ) vH B ) )
24	20, 23	eqtrd 2467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. CH /\ A e. CH ) /\ B e. CH ) -> ( _|_ ` ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) = ( ( x i^i A ) vH B ) )
25	24	anasss 629	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. CH /\ ( A e. CH /\ B e. CH ) ) -> ( _|_ ` ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) = ( ( x i^i A ) vH B ) )
26		choccl 22800	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( B e. CH -> ( _|_ ` B ) e. CH )
27		chincl 22993	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( _|_ ` A ) e. CH /\ ( _|_ ` B ) e. CH ) -> ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) e. CH )
28	16, 26, 27	syl2an 464	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) e. CH )
29		chdmj2 23024	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. CH /\ ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) e. CH ) -> ( _|_ ` ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) = ( x i^i ( _|_ ` ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) )
30	28, 29	sylan2 461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. CH /\ ( A e. CH /\ B e. CH ) ) -> ( _|_ ` ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) = ( x i^i ( _|_ ` ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) )
31		chdmm4 23022	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( _|_ ` ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) = ( A vH B ) )
32	31	adantl 453	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. CH /\ ( A e. CH /\ B e. CH ) ) -> ( _|_ ` ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) = ( A vH B ) )
33	32	ineq2d 3534	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. CH /\ ( A e. CH /\ B e. CH ) ) -> ( x i^i ( _|_ ` ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) = ( x i^i ( A vH B ) ) )
34	30, 33	eqtrd 2467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. CH /\ ( A e. CH /\ B e. CH ) ) -> ( _|_ ` ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) = ( x i^i ( A vH B ) ) )
35	25, 34	eqeq12d 2449	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CH /\ ( A e. CH /\ B e. CH ) ) -> ( ( _|_ ` ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) = ( _|_ ` ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) <-> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) )
36	35	ancoms 440	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CH /\ B e. CH ) /\ x e. CH ) -> ( ( _|_ ` ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) = ( _|_ ` ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) <-> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) )
37	15, 36	syl5ib 211	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CH /\ B e. CH ) /\ x e. CH ) -> ( ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) -> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) )
38	14, 37	imim12d 70	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CH /\ B e. CH ) /\ x e. CH ) -> ( ( ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) -> ( B C_ x -> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) ) )
39	11, 38	syld 42	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CH /\ B e. CH ) /\ x e. CH ) -> ( ( ( _|_ ` x ) e. CH -> ( ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) -> ( B C_ x -> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) ) )
40	39	ex 424	. . . . . 6 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( x e. CH -> ( ( ( _|_ ` x ) e. CH -> ( ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) -> ( B C_ x -> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) ) ) )
41	40	com23 74	. . . . 5 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( ( ( _|_ ` x ) e. CH -> ( ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) -> ( x e. CH -> ( B C_ x -> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) ) ) )
42	7, 41	syl5 30	. . . 4 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( A. y e. CH ( y C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) -> ( x e. CH -> ( B C_ x -> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) ) ) )
43	42	ralrimdv 2787	. . 3 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( A. y e. CH ( y C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) -> A. x e. CH ( B C_ x -> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) ) )
44		sseq2 3362	. . . . . . 7 |- ( x = ( _|_ ` y ) -> ( B C_ x <-> B C_ ( _|_ ` y ) ) )
45		ineq1 3527	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( _|_ ` y ) -> ( x i^i A ) = ( ( _|_ ` y ) i^i A ) )
46	45	oveq1d 6088	. . . . . . . 8 |- ( x = ( _|_ ` y ) -> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) )
47		ineq1 3527	. . . . . . . 8 |- ( x = ( _|_ ` y ) -> ( x i^i ( A vH B ) ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) )
48	46, 47	eqeq12d 2449	. . . . . . 7 |- ( x = ( _|_ ` y ) -> ( ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) <-> ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) )
49	44, 48	imbi12d 312	. . . . . 6 |- ( x = ( _|_ ` y ) -> ( ( B C_ x -> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) <-> ( B C_ ( _|_ ` y ) -> ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) ) )
50	49	rspccv 3041	. . . . 5 |- ( A. x e. CH ( B C_ x -> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) -> ( ( _|_ ` y ) e. CH -> ( B C_ ( _|_ ` y ) -> ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) ) )
51		choccl 22800	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. CH -> ( _|_ ` y ) e. CH )
52	51	imim1i 56	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( _|_ ` y ) e. CH -> ( B C_ ( _|_ ` y ) -> ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) ) -> ( y e. CH -> ( B C_ ( _|_ ` y ) -> ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) ) )
53	52	com12 29	. . . . . . . . 9 |- ( y e. CH -> ( ( ( _|_ ` y ) e. CH -> ( B C_ ( _|_ ` y ) -> ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) ) -> ( B C_ ( _|_ ` y ) -> ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) ) )
54	53	adantl 453	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CH /\ B e. CH ) /\ y e. CH ) -> ( ( ( _|_ ` y ) e. CH -> ( B C_ ( _|_ ` y ) -> ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) ) -> ( B C_ ( _|_ ` y ) -> ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) ) )
55		chsscon2 22996	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. CH /\ y e. CH ) -> ( B C_ ( _|_ ` y ) <-> y C_ ( _|_ ` B ) ) )
56	55	biimprd 215	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. CH /\ y e. CH ) -> ( y C_ ( _|_ ` B ) -> B C_ ( _|_ ` y ) ) )
57	56	adantll 695	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CH /\ B e. CH ) /\ y e. CH ) -> ( y C_ ( _|_ ` B ) -> B C_ ( _|_ ` y ) ) )
58		fveq2 5720	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) -> ( _|_ ` ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) ) = ( _|_ ` ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) )
59		chincl 22993	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( _|_ ` y ) e. CH /\ A e. CH ) -> ( ( _|_ ` y ) i^i A ) e. CH )
60	51, 59	sylan 458	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. CH /\ A e. CH ) -> ( ( _|_ ` y ) i^i A ) e. CH )
61		chdmj1 23023	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) e. CH /\ B e. CH ) -> ( _|_ ` ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) ) = ( ( _|_ ` ( ( _|_ ` y ) i^i A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) )
62	60, 61	sylan 458	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y e. CH /\ A e. CH ) /\ B e. CH ) -> ( _|_ ` ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) ) = ( ( _|_ ` ( ( _|_ ` y ) i^i A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) )
63		chdmm2 23020	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. CH /\ A e. CH ) -> ( _|_ ` ( ( _|_ ` y ) i^i A ) ) = ( y vH ( _|_ ` A ) ) )
64	63	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( y e. CH /\ A e. CH ) /\ B e. CH ) -> ( _|_ ` ( ( _|_ ` y ) i^i A ) ) = ( y vH ( _|_ ` A ) ) )
65	64	ineq1d 3533	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y e. CH /\ A e. CH ) /\ B e. CH ) -> ( ( _|_ ` ( ( _|_ ` y ) i^i A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) )
66	62, 65	eqtrd 2467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y e. CH /\ A e. CH ) /\ B e. CH ) -> ( _|_ ` ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) ) = ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) )
67	66	anasss 629	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. CH /\ ( A e. CH /\ B e. CH ) ) -> ( _|_ ` ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) ) = ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) )
68		chjcl 22851	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( A vH B ) e. CH )
69		chdmm2 23020	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. CH /\ ( A vH B ) e. CH ) -> ( _|_ ` ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) = ( y vH ( _|_ ` ( A vH B ) ) ) )
70	68, 69	sylan2 461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. CH /\ ( A e. CH /\ B e. CH ) ) -> ( _|_ ` ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) = ( y vH ( _|_ ` ( A vH B ) ) ) )
71		chdmj1 23023	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( _|_ ` ( A vH B ) ) = ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) )
72	71	adantl 453	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. CH /\ ( A e. CH /\ B e. CH ) ) -> ( _|_ ` ( A vH B ) ) = ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) )
73	72	oveq2d 6089	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. CH /\ ( A e. CH /\ B e. CH ) ) -> ( y vH ( _|_ ` ( A vH B ) ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) )
74	70, 73	eqtrd 2467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. CH /\ ( A e. CH /\ B e. CH ) ) -> ( _|_ ` ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) )
75	67, 74	eqeq12d 2449	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. CH /\ ( A e. CH /\ B e. CH ) ) -> ( ( _|_ ` ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) ) = ( _|_ ` ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) <-> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) )
76	75	ancoms 440	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CH /\ B e. CH ) /\ y e. CH ) -> ( ( _|_ ` ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) ) = ( _|_ ` ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) <-> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) )
77	58, 76	syl5ib 211	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CH /\ B e. CH ) /\ y e. CH ) -> ( ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) )
78	57, 77	imim12d 70	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CH /\ B e. CH ) /\ y e. CH ) -> ( ( B C_ ( _|_ ` y ) -> ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) -> ( y C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) )
79	54, 78	syld 42	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CH /\ B e. CH ) /\ y e. CH ) -> ( ( ( _|_ ` y ) e. CH -> ( B C_ ( _|_ ` y ) -> ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) ) -> ( y C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) )
80	79	ex 424	. . . . . 6 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( y e. CH -> ( ( ( _|_ ` y ) e. CH -> ( B C_ ( _|_ ` y ) -> ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) ) -> ( y C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) ) )
81	80	com23 74	. . . . 5 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( ( ( _|_ ` y ) e. CH -> ( B C_ ( _|_ ` y ) -> ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) ) -> ( y e. CH -> ( y C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) ) )
82	50, 81	syl5 30	. . . 4 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( A. x e. CH ( B C_ x -> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) -> ( y e. CH -> ( y C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) ) )
83	82	ralrimdv 2787	. . 3 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( A. x e. CH ( B C_ x -> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) -> A. y e. CH ( y C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) )
84	43, 83	impbid 184	. 2 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( A. y e. CH ( y C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) <-> A. x e. CH ( B C_ x -> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) ) )
85		mdbr 23789	. . 3 |- ( ( ( _|_ ` A ) e. CH /\ ( _|_ ` B ) e. CH ) -> ( ( _|_ ` A ) MH ( _|_ ` B ) <-> A. y e. CH ( y C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) )
86	16, 26, 85	syl2an 464	. 2 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( ( _|_ ` A ) MH ( _|_ ` B ) <-> A. y e. CH ( y C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) )
87		dmdbr 23794	. 2 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( A MH* B <-> A. x e. CH ( B C_ x -> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) ) )
88	84, 86, 87	3bitr4rd 278	1 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( A MH* B <-> ( _|_ ` A ) MH ( _|_ ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   = wceq 1652   e. wcel 1725   A.wral 2697   i^i cin 3311   C_ wss 3312   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CHcch 22424   _|_cort 22425   vH chj 22428   MH cmd 22461   MH* cdmd 22462

This theorem is referenced by:  mddmd  23796  ssdmd1  23808  mdsldmd1i  23826  cvdmd  23832  dmdsym  23908  cmdmdi  23912

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cc 8307  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062  ax-hilex 22494  ax-hfvadd 22495  ax-hvcom 22496  ax-hvass 22497  ax-hv0cl 22498  ax-hvaddid 22499  ax-hfvmul 22500  ax-hvmulid 22501  ax-hvmulass 22502  ax-hvdistr1 22503  ax-hvdistr2 22504  ax-hvmul0 22505  ax-hfi 22573  ax-his1 22576  ax-his2 22577  ax-his3 22578  ax-his4 22579  ax-hcompl 22696

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-omul 6721  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-acn 7821  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ioo 10912  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-hom 13545  df-cco 13546  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-prds 13663  df-xrs 13718  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-qtop 13725  df-imas 13726  df-xps 13728  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-mulg 14807  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-cnfld 16696  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-nei 17154  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-lm 17285  df-haus 17371  df-tx 17586  df-hmeo 17779  df-fil 17870  df-fm 17962  df-flim 17963  df-flf 17964  df-xms 18342  df-ms 18343  df-tms 18344  df-cfil 19200  df-cau 19201  df-cmet 19202  df-grpo 21771  df-gid 21772  df-ginv 21773  df-gdiv 21774  df-ablo 21862  df-subgo 21882  df-vc 22017  df-nv 22063  df-va 22066  df-ba 22067  df-sm 22068  df-0v 22069  df-vs 22070  df-nmcv 22071  df-ims 22072  df-dip 22189  df-ssp 22213  df-ph 22306  df-cbn 22357  df-hnorm 22463  df-hba 22464  df-hvsub 22466  df-hlim 22467  df-hcau 22468  df-sh 22701  df-ch 22716  df-oc 22746  df-ch0 22747  df-shs 22802  df-chj 22804  df-md 23775  df-dmd 23776