Theorem dmdmd 22841

Description: The dual modular pair property expressed in terms of the modular pair property, that hold in Hilbert lattices. Remark 29.6 of [MaedaMaeda] p. 130. (Contributed by NM, 27-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
dmdmd	|- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( A MH* B <-> ( _|_ ` A ) MH ( _|_ ` B ) ) )

Proof of Theorem dmdmd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3174	. . . . . . 7 |- ( y = ( _|_ ` x ) -> ( y C_ ( _|_ ` B ) <-> ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) ) )
2		oveq1 5799	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( _|_ ` x ) -> ( y vH ( _|_ ` A ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) )
3	2	ineq1d 3344	. . . . . . . 8 |- ( y = ( _|_ ` x ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) )
4		oveq1 5799	. . . . . . . 8 |- ( y = ( _|_ ` x ) -> ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) )
5	3, 4	eqeq12d 2272	. . . . . . 7 |- ( y = ( _|_ ` x ) -> ( ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) <-> ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) )
6	1, 5	imbi12d 313	. . . . . 6 |- ( y = ( _|_ ` x ) -> ( ( y C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) <-> ( ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) )
7	6	rcla4cv 2856	. . . . 5 |- ( A. y e. CH ( y C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) -> ( ( _|_ ` x ) e. CH -> ( ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) )
8		choccl 21846	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CH -> ( _|_ ` x ) e. CH )
9	8	imim1i 56	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( _|_ ` x ) e. CH -> ( ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) -> ( x e. CH -> ( ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) )
10	9	com12 29	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CH -> ( ( ( _|_ ` x ) e. CH -> ( ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) -> ( ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) )
11	10	adantl 454	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CH /\ B e. CH ) /\ x e. CH ) -> ( ( ( _|_ ` x ) e. CH -> ( ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) -> ( ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) )
12		chsscon3 22040	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. CH /\ x e. CH ) -> ( B C_ x <-> ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) ) )
13	12	biimpd 200	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. CH /\ x e. CH ) -> ( B C_ x -> ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) ) )
14	13	adantll 697	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CH /\ B e. CH ) /\ x e. CH ) -> ( B C_ x -> ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) ) )
15		fveq2 5458	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) -> ( _|_ ` ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) = ( _|_ ` ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) )
16		choccl 21846	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. CH -> ( _|_ ` A ) e. CH )
17		chjcl 21897	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( _|_ ` x ) e. CH /\ ( _|_ ` A ) e. CH ) -> ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) e. CH )
18	8, 16, 17	syl2an 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. CH /\ A e. CH ) -> ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) e. CH )
19		chdmm3 22067	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) e. CH /\ B e. CH ) -> ( _|_ ` ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) = ( ( _|_ ` ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) ) vH B ) )
20	18, 19	sylan 459	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. CH /\ A e. CH ) /\ B e. CH ) -> ( _|_ ` ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) = ( ( _|_ ` ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) ) vH B ) )
21		chdmj4 22072	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. CH /\ A e. CH ) -> ( _|_ ` ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) ) = ( x i^i A ) )
22	21	adantr 453	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. CH /\ A e. CH ) /\ B e. CH ) -> ( _|_ ` ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) ) = ( x i^i A ) )
23	22	oveq1d 5807	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. CH /\ A e. CH ) /\ B e. CH ) -> ( ( _|_ ` ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) ) vH B ) = ( ( x i^i A ) vH B ) )
24	20, 23	eqtrd 2290	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. CH /\ A e. CH ) /\ B e. CH ) -> ( _|_ ` ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) = ( ( x i^i A ) vH B ) )
25	24	anasss 631	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. CH /\ ( A e. CH /\ B e. CH ) ) -> ( _|_ ` ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) = ( ( x i^i A ) vH B ) )
26		choccl 21846	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( B e. CH -> ( _|_ ` B ) e. CH )
27		chincl 22039	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( _|_ ` A ) e. CH /\ ( _|_ ` B ) e. CH ) -> ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) e. CH )
28	16, 26, 27	syl2an 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) e. CH )
29		chdmj2 22070	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. CH /\ ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) e. CH ) -> ( _|_ ` ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) = ( x i^i ( _|_ ` ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) )
30	28, 29	sylan2 462	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. CH /\ ( A e. CH /\ B e. CH ) ) -> ( _|_ ` ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) = ( x i^i ( _|_ ` ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) )
31		chdmm4 22068	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( _|_ ` ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) = ( A vH B ) )
32	31	adantl 454	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. CH /\ ( A e. CH /\ B e. CH ) ) -> ( _|_ ` ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) = ( A vH B ) )
33	32	ineq2d 3345	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. CH /\ ( A e. CH /\ B e. CH ) ) -> ( x i^i ( _|_ ` ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) = ( x i^i ( A vH B ) ) )
34	30, 33	eqtrd 2290	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. CH /\ ( A e. CH /\ B e. CH ) ) -> ( _|_ ` ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) = ( x i^i ( A vH B ) ) )
35	25, 34	eqeq12d 2272	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CH /\ ( A e. CH /\ B e. CH ) ) -> ( ( _|_ ` ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) = ( _|_ ` ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) <-> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) )
36	35	ancoms 441	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CH /\ B e. CH ) /\ x e. CH ) -> ( ( _|_ ` ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) = ( _|_ ` ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) <-> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) )
37	15, 36	syl5ib 212	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CH /\ B e. CH ) /\ x e. CH ) -> ( ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) -> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) )
38	14, 37	imim12d 70	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CH /\ B e. CH ) /\ x e. CH ) -> ( ( ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) -> ( B C_ x -> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) ) )
39	11, 38	syld 42	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CH /\ B e. CH ) /\ x e. CH ) -> ( ( ( _|_ ` x ) e. CH -> ( ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) -> ( B C_ x -> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) ) )
40	39	ex 425	. . . . . 6 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( x e. CH -> ( ( ( _|_ ` x ) e. CH -> ( ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) -> ( B C_ x -> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) ) ) )
41	40	com23 74	. . . . 5 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( ( ( _|_ ` x ) e. CH -> ( ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) -> ( x e. CH -> ( B C_ x -> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) ) ) )
42	7, 41	syl5 30	. . . 4 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( A. y e. CH ( y C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) -> ( x e. CH -> ( B C_ x -> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) ) ) )
43	42	ralrimdv 2607	. . 3 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( A. y e. CH ( y C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) -> A. x e. CH ( B C_ x -> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) ) )
44		sseq2 3175	. . . . . . 7 |- ( x = ( _|_ ` y ) -> ( B C_ x <-> B C_ ( _|_ ` y ) ) )
45		ineq1 3338	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( _|_ ` y ) -> ( x i^i A ) = ( ( _|_ ` y ) i^i A ) )
46	45	oveq1d 5807	. . . . . . . 8 |- ( x = ( _|_ ` y ) -> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) )
47		ineq1 3338	. . . . . . . 8 |- ( x = ( _|_ ` y ) -> ( x i^i ( A vH B ) ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) )
48	46, 47	eqeq12d 2272	. . . . . . 7 |- ( x = ( _|_ ` y ) -> ( ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) <-> ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) )
49	44, 48	imbi12d 313	. . . . . 6 |- ( x = ( _|_ ` y ) -> ( ( B C_ x -> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) <-> ( B C_ ( _|_ ` y ) -> ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) ) )
50	49	rcla4cv 2856	. . . . 5 |- ( A. x e. CH ( B C_ x -> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) -> ( ( _|_ ` y ) e. CH -> ( B C_ ( _|_ ` y ) -> ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) ) )
51		choccl 21846	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. CH -> ( _|_ ` y ) e. CH )
52	51	imim1i 56	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( _|_ ` y ) e. CH -> ( B C_ ( _|_ ` y ) -> ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) ) -> ( y e. CH -> ( B C_ ( _|_ ` y ) -> ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) ) )
53	52	com12 29	. . . . . . . . 9 |- ( y e. CH -> ( ( ( _|_ ` y ) e. CH -> ( B C_ ( _|_ ` y ) -> ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) ) -> ( B C_ ( _|_ ` y ) -> ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) ) )
54	53	adantl 454	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CH /\ B e. CH ) /\ y e. CH ) -> ( ( ( _|_ ` y ) e. CH -> ( B C_ ( _|_ ` y ) -> ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) ) -> ( B C_ ( _|_ ` y ) -> ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) ) )
55		chsscon2 22042	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. CH /\ y e. CH ) -> ( B C_ ( _|_ ` y ) <-> y C_ ( _|_ ` B ) ) )
56	55	biimprd 216	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. CH /\ y e. CH ) -> ( y C_ ( _|_ ` B ) -> B C_ ( _|_ ` y ) ) )
57	56	adantll 697	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CH /\ B e. CH ) /\ y e. CH ) -> ( y C_ ( _|_ ` B ) -> B C_ ( _|_ ` y ) ) )
58		fveq2 5458	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) -> ( _|_ ` ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) ) = ( _|_ ` ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) )
59		chincl 22039	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( _|_ ` y ) e. CH /\ A e. CH ) -> ( ( _|_ ` y ) i^i A ) e. CH )
60	51, 59	sylan 459	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. CH /\ A e. CH ) -> ( ( _|_ ` y ) i^i A ) e. CH )
61		chdmj1 22069	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) e. CH /\ B e. CH ) -> ( _|_ ` ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) ) = ( ( _|_ ` ( ( _|_ ` y ) i^i A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) )
62	60, 61	sylan 459	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y e. CH /\ A e. CH ) /\ B e. CH ) -> ( _|_ ` ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) ) = ( ( _|_ ` ( ( _|_ ` y ) i^i A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) )
63		chdmm2 22066	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. CH /\ A e. CH ) -> ( _|_ ` ( ( _|_ ` y ) i^i A ) ) = ( y vH ( _|_ ` A ) ) )
64	63	adantr 453	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( y e. CH /\ A e. CH ) /\ B e. CH ) -> ( _|_ ` ( ( _|_ ` y ) i^i A ) ) = ( y vH ( _|_ ` A ) ) )
65	64	ineq1d 3344	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y e. CH /\ A e. CH ) /\ B e. CH ) -> ( ( _|_ ` ( ( _|_ ` y ) i^i A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) )
66	62, 65	eqtrd 2290	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y e. CH /\ A e. CH ) /\ B e. CH ) -> ( _|_ ` ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) ) = ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) )
67	66	anasss 631	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. CH /\ ( A e. CH /\ B e. CH ) ) -> ( _|_ ` ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) ) = ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) )
68		chjcl 21897	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( A vH B ) e. CH )
69		chdmm2 22066	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. CH /\ ( A vH B ) e. CH ) -> ( _|_ ` ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) = ( y vH ( _|_ ` ( A vH B ) ) ) )
70	68, 69	sylan2 462	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. CH /\ ( A e. CH /\ B e. CH ) ) -> ( _|_ ` ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) = ( y vH ( _|_ ` ( A vH B ) ) ) )
71		chdmj1 22069	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( _|_ ` ( A vH B ) ) = ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) )
72	71	adantl 454	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. CH /\ ( A e. CH /\ B e. CH ) ) -> ( _|_ ` ( A vH B ) ) = ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) )
73	72	oveq2d 5808	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. CH /\ ( A e. CH /\ B e. CH ) ) -> ( y vH ( _|_ ` ( A vH B ) ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) )
74	70, 73	eqtrd 2290	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. CH /\ ( A e. CH /\ B e. CH ) ) -> ( _|_ ` ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) )
75	67, 74	eqeq12d 2272	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. CH /\ ( A e. CH /\ B e. CH ) ) -> ( ( _|_ ` ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) ) = ( _|_ ` ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) <-> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) )
76	75	ancoms 441	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CH /\ B e. CH ) /\ y e. CH ) -> ( ( _|_ ` ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) ) = ( _|_ ` ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) <-> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) )
77	58, 76	syl5ib 212	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CH /\ B e. CH ) /\ y e. CH ) -> ( ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) )
78	57, 77	imim12d 70	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CH /\ B e. CH ) /\ y e. CH ) -> ( ( B C_ ( _|_ ` y ) -> ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) -> ( y C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) )
79	54, 78	syld 42	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CH /\ B e. CH ) /\ y e. CH ) -> ( ( ( _|_ ` y ) e. CH -> ( B C_ ( _|_ ` y ) -> ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) ) -> ( y C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) )
80	79	ex 425	. . . . . 6 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( y e. CH -> ( ( ( _|_ ` y ) e. CH -> ( B C_ ( _|_ ` y ) -> ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) ) -> ( y C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) ) )
81	80	com23 74	. . . . 5 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( ( ( _|_ ` y ) e. CH -> ( B C_ ( _|_ ` y ) -> ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) ) -> ( y e. CH -> ( y C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) ) )
82	50, 81	syl5 30	. . . 4 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( A. x e. CH ( B C_ x -> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) -> ( y e. CH -> ( y C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) ) )
83	82	ralrimdv 2607	. . 3 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( A. x e. CH ( B C_ x -> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) -> A. y e. CH ( y C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) )
84	43, 83	impbid 185	. 2 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( A. y e. CH ( y C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) <-> A. x e. CH ( B C_ x -> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) ) )
85		mdbr 22835	. . 3 |- ( ( ( _|_ ` A ) e. CH /\ ( _|_ ` B ) e. CH ) -> ( ( _|_ ` A ) MH ( _|_ ` B ) <-> A. y e. CH ( y C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) )
86	16, 26, 85	syl2an 465	. 2 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( ( _|_ ` A ) MH ( _|_ ` B ) <-> A. y e. CH ( y C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) )
87		dmdbr 22840	. 2 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( A MH* B <-> A. x e. CH ( B C_ x -> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) ) )
88	84, 86, 87	3bitr4rd 279	1 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( A MH* B <-> ( _|_ ` A ) MH ( _|_ ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 6   <-> wb 178   /\ wa 360   = wceq 1619   e. wcel 1621   A.wral 2518   i^i cin 3126   C_ wss 3127   class class class wbr 3997   ` cfv 4673  (class class class)co 5792   CHcch 21470   _|_cort 21471   vH chj 21474   MH cmd 21507   MH* cdmd 21508

This theorem is referenced by:  mddmd  22842  ssdmd1  22854  mdsldmd1i  22872  cvdmd  22878  dmdsym  22954  cmdmdi  22958

This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-inf2 7310  ax-cc 8029  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782  ax-pre-sup 8783  ax-addf 8784  ax-mulf 8785  ax-hilex 21540  ax-hfvadd 21541  ax-hvcom 21542  ax-hvass 21543  ax-hv0cl 21544  ax-hvaddid 21545  ax-hfvmul 21546  ax-hvmulid 21547  ax-hvmulass 21548  ax-hvdistr1 21549  ax-hvdistr2 21550  ax-hvmul0 21551  ax-hfi 21619  ax-his1 21622  ax-his2 21623  ax-his3 21624  ax-his4 21625  ax-hcompl 21742

This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-iin 3882  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-se 4325  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-isom 4690  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-of 6012  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-2o 6448  df-oadd 6451  df-omul 6452  df-er 6628  df-map 6742  df-pm 6743  df-ixp 6786  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-fin 6835  df-fi 7133  df-sup 7162  df-oi 7193  df-card 7540  df-acn 7543  df-cda 7762  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-n 9715  df-2 9772  df-3 9773  df-4 9774  df-5 9775  df-6 9776  df-7 9777  df-8 9778  df-9 9779  df-10 9780  df-n0 9934  df-z 9993  df-dec 10093  df-uz 10199  df-q 10285  df-rp 10323  df-xneg 10420  df-xadd 10421  df-xmul 10422  df-ioo 10627  df-ico 10629  df-icc 10630  df-fz 10750  df-fzo 10838  df-fl 10892  df-seq 11014  df-exp 11072  df-hash 11305  df-cj 11550  df-re 11551  df-im 11552  df-sqr 11686  df-abs 11687  df-clim 11928  df-rlim 11929  df-sum 12125  df-struct 13113  df-ndx 13114  df-slot 13115  df-base 13116  df-sets 13117  df-ress 13118  df-plusg 13184  df-mulr 13185  df-starv 13186  df-sca 13187  df-vsca 13188  df-tset 13190  df-ple 13191  df-ds 13193  df-hom 13195  df-cco 13196  df-rest 13290  df-topn 13291  df-topgen 13307  df-pt 13308  df-prds 13311  df-xrs 13366  df-0g 13367  df-gsum 13368  df-qtop 13373  df-imas 13374  df-xps 13376  df-mre 13451  df-mrc 13452  df-acs 13454  df-mnd 14330  df-submnd 14379  df-mulg 14455  df-cntz 14756  df-cmn 15054  df-xmet 16336  df-met 16337  df-bl 16338  df-mopn 16339  df-cnfld 16341  df-top 16599  df-bases 16601  df-topon 16602  df-topsp 16603  df-cld 16719  df-ntr 16720  df-cls 16721  df-nei 16798  df-cn 16920  df-cnp 16921  df-lm 16922  df-haus 17006  df-tx 17220  df-hmeo 17409  df-fbas 17483  df-fg 17484  df-fil 17504  df-fm 17596  df-flim 17597  df-flf 17598  df-xms 17848  df-ms 17849  df-tms 17850  df-cfil 18644  df-cau 18645  df-cmet 18646  df-grpo 20819  df-gid 20820  df-ginv 20821  df-gdiv 20822  df-ablo 20910  df-subgo 20930  df-vc 21063  df-nv 21109  df-va 21112  df-ba 21113  df-sm 21114  df-0v 21115  df-vs 21116  df-nmcv 21117  df-ims 21118  df-dip 21235  df-ssp 21259  df-ph 21352  df-cbn 21403  df-hnorm 21509  df-hba 21510  df-hvsub 21512  df-hlim 21513  df-hcau 21514  df-sh 21747  df-ch 21762  df-oc 21792  df-ch0 21793  df-shs 21848  df-chj 21850  df-md 22821  df-dmd 22822