Theorem dmdmd 22876

Description: The dual modular pair property expressed in terms of the modular pair property, that hold in Hilbert lattices. Remark 29.6 of [MaedaMaeda] p. 130. (Contributed by NM, 27-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
dmdmd	|- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( A MH* B <-> ( _|_ ` A ) MH ( _|_ ` B ) ) )

Proof of Theorem dmdmd

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3200	. . . . . . 7 |- ( y = ( _|_ ` x ) -> ( y C_ ( _|_ ` B ) <-> ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) ) )
2		oveq1 5827	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( _|_ ` x ) -> ( y vH ( _|_ ` A ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) )
3	2	ineq1d 3370	. . . . . . . 8 |- ( y = ( _|_ ` x ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) )
4		oveq1 5827	. . . . . . . 8 |- ( y = ( _|_ ` x ) -> ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) )
5	3, 4	eqeq12d 2298	. . . . . . 7 |- ( y = ( _|_ ` x ) -> ( ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) <-> ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) )
6	1, 5	imbi12d 311	. . . . . 6 |- ( y = ( _|_ ` x ) -> ( ( y C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) <-> ( ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) )
7	6	rspccv 2882	. . . . 5 |- ( A. y e. CH ( y C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) -> ( ( _|_ ` x ) e. CH -> ( ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) )
8		choccl 21881	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CH -> ( _|_ ` x ) e. CH )
9	8	imim1i 54	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( _|_ ` x ) e. CH -> ( ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) -> ( x e. CH -> ( ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) )
10	9	com12 27	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CH -> ( ( ( _|_ ` x ) e. CH -> ( ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) -> ( ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) )
11	10	adantl 452	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CH /\ B e. CH ) /\ x e. CH ) -> ( ( ( _|_ ` x ) e. CH -> ( ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) -> ( ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) )
12		chsscon3 22075	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. CH /\ x e. CH ) -> ( B C_ x <-> ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) ) )
13	12	biimpd 198	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. CH /\ x e. CH ) -> ( B C_ x -> ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) ) )
14	13	adantll 694	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CH /\ B e. CH ) /\ x e. CH ) -> ( B C_ x -> ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) ) )
15		fveq2 5486	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) -> ( _|_ ` ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) = ( _|_ ` ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) )
16		choccl 21881	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. CH -> ( _|_ ` A ) e. CH )
17		chjcl 21932	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( _|_ ` x ) e. CH /\ ( _|_ ` A ) e. CH ) -> ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) e. CH )
18	8, 16, 17	syl2an 463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. CH /\ A e. CH ) -> ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) e. CH )
19		chdmm3 22102	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) e. CH /\ B e. CH ) -> ( _|_ ` ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) = ( ( _|_ ` ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) ) vH B ) )
20	18, 19	sylan 457	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. CH /\ A e. CH ) /\ B e. CH ) -> ( _|_ ` ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) = ( ( _|_ ` ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) ) vH B ) )
21		chdmj4 22107	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. CH /\ A e. CH ) -> ( _|_ ` ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) ) = ( x i^i A ) )
22	21	adantr 451	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. CH /\ A e. CH ) /\ B e. CH ) -> ( _|_ ` ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) ) = ( x i^i A ) )
23	22	oveq1d 5835	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. CH /\ A e. CH ) /\ B e. CH ) -> ( ( _|_ ` ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) ) vH B ) = ( ( x i^i A ) vH B ) )
24	20, 23	eqtrd 2316	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. CH /\ A e. CH ) /\ B e. CH ) -> ( _|_ ` ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) = ( ( x i^i A ) vH B ) )
25	24	anasss 628	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. CH /\ ( A e. CH /\ B e. CH ) ) -> ( _|_ ` ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) = ( ( x i^i A ) vH B ) )
26		choccl 21881	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( B e. CH -> ( _|_ ` B ) e. CH )
27		chincl 22074	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( _|_ ` A ) e. CH /\ ( _|_ ` B ) e. CH ) -> ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) e. CH )
28	16, 26, 27	syl2an 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) e. CH )
29		chdmj2 22105	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. CH /\ ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) e. CH ) -> ( _|_ ` ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) = ( x i^i ( _|_ ` ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) )
30	28, 29	sylan2 460	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. CH /\ ( A e. CH /\ B e. CH ) ) -> ( _|_ ` ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) = ( x i^i ( _|_ ` ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) )
31		chdmm4 22103	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( _|_ ` ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) = ( A vH B ) )
32	31	adantl 452	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. CH /\ ( A e. CH /\ B e. CH ) ) -> ( _|_ ` ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) = ( A vH B ) )
33	32	ineq2d 3371	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. CH /\ ( A e. CH /\ B e. CH ) ) -> ( x i^i ( _|_ ` ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) = ( x i^i ( A vH B ) ) )
34	30, 33	eqtrd 2316	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. CH /\ ( A e. CH /\ B e. CH ) ) -> ( _|_ ` ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) = ( x i^i ( A vH B ) ) )
35	25, 34	eqeq12d 2298	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CH /\ ( A e. CH /\ B e. CH ) ) -> ( ( _|_ ` ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) = ( _|_ ` ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) <-> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) )
36	35	ancoms 439	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CH /\ B e. CH ) /\ x e. CH ) -> ( ( _|_ ` ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) = ( _|_ ` ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) <-> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) )
37	15, 36	syl5ib 210	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CH /\ B e. CH ) /\ x e. CH ) -> ( ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) -> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) )
38	14, 37	imim12d 68	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CH /\ B e. CH ) /\ x e. CH ) -> ( ( ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) -> ( B C_ x -> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) ) )
39	11, 38	syld 40	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CH /\ B e. CH ) /\ x e. CH ) -> ( ( ( _|_ ` x ) e. CH -> ( ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) -> ( B C_ x -> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) ) )
40	39	ex 423	. . . . . 6 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( x e. CH -> ( ( ( _|_ ` x ) e. CH -> ( ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) -> ( B C_ x -> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) ) ) )
41	40	com23 72	. . . . 5 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( ( ( _|_ ` x ) e. CH -> ( ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) -> ( x e. CH -> ( B C_ x -> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) ) ) )
42	7, 41	syl5 28	. . . 4 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( A. y e. CH ( y C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) -> ( x e. CH -> ( B C_ x -> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) ) ) )
43	42	ralrimdv 2633	. . 3 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( A. y e. CH ( y C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) -> A. x e. CH ( B C_ x -> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) ) )
44		sseq2 3201	. . . . . . 7 |- ( x = ( _|_ ` y ) -> ( B C_ x <-> B C_ ( _|_ ` y ) ) )
45		ineq1 3364	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( _|_ ` y ) -> ( x i^i A ) = ( ( _|_ ` y ) i^i A ) )
46	45	oveq1d 5835	. . . . . . . 8 |- ( x = ( _|_ ` y ) -> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) )
47		ineq1 3364	. . . . . . . 8 |- ( x = ( _|_ ` y ) -> ( x i^i ( A vH B ) ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) )
48	46, 47	eqeq12d 2298	. . . . . . 7 |- ( x = ( _|_ ` y ) -> ( ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) <-> ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) )
49	44, 48	imbi12d 311	. . . . . 6 |- ( x = ( _|_ ` y ) -> ( ( B C_ x -> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) <-> ( B C_ ( _|_ ` y ) -> ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) ) )
50	49	rspccv 2882	. . . . 5 |- ( A. x e. CH ( B C_ x -> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) -> ( ( _|_ ` y ) e. CH -> ( B C_ ( _|_ ` y ) -> ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) ) )
51		choccl 21881	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. CH -> ( _|_ ` y ) e. CH )
52	51	imim1i 54	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( _|_ ` y ) e. CH -> ( B C_ ( _|_ ` y ) -> ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) ) -> ( y e. CH -> ( B C_ ( _|_ ` y ) -> ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) ) )
53	52	com12 27	. . . . . . . . 9 |- ( y e. CH -> ( ( ( _|_ ` y ) e. CH -> ( B C_ ( _|_ ` y ) -> ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) ) -> ( B C_ ( _|_ ` y ) -> ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) ) )
54	53	adantl 452	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CH /\ B e. CH ) /\ y e. CH ) -> ( ( ( _|_ ` y ) e. CH -> ( B C_ ( _|_ ` y ) -> ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) ) -> ( B C_ ( _|_ ` y ) -> ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) ) )
55		chsscon2 22077	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. CH /\ y e. CH ) -> ( B C_ ( _|_ ` y ) <-> y C_ ( _|_ ` B ) ) )
56	55	biimprd 214	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. CH /\ y e. CH ) -> ( y C_ ( _|_ ` B ) -> B C_ ( _|_ ` y ) ) )
57	56	adantll 694	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CH /\ B e. CH ) /\ y e. CH ) -> ( y C_ ( _|_ ` B ) -> B C_ ( _|_ ` y ) ) )
58		fveq2 5486	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) -> ( _|_ ` ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) ) = ( _|_ ` ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) )
59		chincl 22074	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( _|_ ` y ) e. CH /\ A e. CH ) -> ( ( _|_ ` y ) i^i A ) e. CH )
60	51, 59	sylan 457	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. CH /\ A e. CH ) -> ( ( _|_ ` y ) i^i A ) e. CH )
61		chdmj1 22104	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) e. CH /\ B e. CH ) -> ( _|_ ` ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) ) = ( ( _|_ ` ( ( _|_ ` y ) i^i A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) )
62	60, 61	sylan 457	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y e. CH /\ A e. CH ) /\ B e. CH ) -> ( _|_ ` ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) ) = ( ( _|_ ` ( ( _|_ ` y ) i^i A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) )
63		chdmm2 22101	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. CH /\ A e. CH ) -> ( _|_ ` ( ( _|_ ` y ) i^i A ) ) = ( y vH ( _|_ ` A ) ) )
64	63	adantr 451	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( y e. CH /\ A e. CH ) /\ B e. CH ) -> ( _|_ ` ( ( _|_ ` y ) i^i A ) ) = ( y vH ( _|_ ` A ) ) )
65	64	ineq1d 3370	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y e. CH /\ A e. CH ) /\ B e. CH ) -> ( ( _|_ ` ( ( _|_ ` y ) i^i A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) )
66	62, 65	eqtrd 2316	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y e. CH /\ A e. CH ) /\ B e. CH ) -> ( _|_ ` ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) ) = ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) )
67	66	anasss 628	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. CH /\ ( A e. CH /\ B e. CH ) ) -> ( _|_ ` ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) ) = ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) )
68		chjcl 21932	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( A vH B ) e. CH )
69		chdmm2 22101	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. CH /\ ( A vH B ) e. CH ) -> ( _|_ ` ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) = ( y vH ( _|_ ` ( A vH B ) ) ) )
70	68, 69	sylan2 460	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. CH /\ ( A e. CH /\ B e. CH ) ) -> ( _|_ ` ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) = ( y vH ( _|_ ` ( A vH B ) ) ) )
71		chdmj1 22104	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( _|_ ` ( A vH B ) ) = ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) )
72	71	adantl 452	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. CH /\ ( A e. CH /\ B e. CH ) ) -> ( _|_ ` ( A vH B ) ) = ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) )
73	72	oveq2d 5836	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. CH /\ ( A e. CH /\ B e. CH ) ) -> ( y vH ( _|_ ` ( A vH B ) ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) )
74	70, 73	eqtrd 2316	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. CH /\ ( A e. CH /\ B e. CH ) ) -> ( _|_ ` ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) )
75	67, 74	eqeq12d 2298	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. CH /\ ( A e. CH /\ B e. CH ) ) -> ( ( _|_ ` ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) ) = ( _|_ ` ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) <-> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) )
76	75	ancoms 439	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CH /\ B e. CH ) /\ y e. CH ) -> ( ( _|_ ` ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) ) = ( _|_ ` ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) <-> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) )
77	58, 76	syl5ib 210	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CH /\ B e. CH ) /\ y e. CH ) -> ( ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) )
78	57, 77	imim12d 68	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CH /\ B e. CH ) /\ y e. CH ) -> ( ( B C_ ( _|_ ` y ) -> ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) -> ( y C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) )
79	54, 78	syld 40	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CH /\ B e. CH ) /\ y e. CH ) -> ( ( ( _|_ ` y ) e. CH -> ( B C_ ( _|_ ` y ) -> ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) ) -> ( y C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) )
80	79	ex 423	. . . . . 6 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( y e. CH -> ( ( ( _|_ ` y ) e. CH -> ( B C_ ( _|_ ` y ) -> ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) ) -> ( y C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) ) )
81	80	com23 72	. . . . 5 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( ( ( _|_ ` y ) e. CH -> ( B C_ ( _|_ ` y ) -> ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) ) -> ( y e. CH -> ( y C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) ) )
82	50, 81	syl5 28	. . . 4 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( A. x e. CH ( B C_ x -> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) -> ( y e. CH -> ( y C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) ) )
83	82	ralrimdv 2633	. . 3 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( A. x e. CH ( B C_ x -> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) -> A. y e. CH ( y C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) )
84	43, 83	impbid 183	. 2 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( A. y e. CH ( y C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) <-> A. x e. CH ( B C_ x -> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) ) )
85		mdbr 22870	. . 3 |- ( ( ( _|_ ` A ) e. CH /\ ( _|_ ` B ) e. CH ) -> ( ( _|_ ` A ) MH ( _|_ ` B ) <-> A. y e. CH ( y C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) )
86	16, 26, 85	syl2an 463	. 2 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( ( _|_ ` A ) MH ( _|_ ` B ) <-> A. y e. CH ( y C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) )
87		dmdbr 22875	. 2 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( A MH* B <-> A. x e. CH ( B C_ x -> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) ) )
88	84, 86, 87	3bitr4rd 277	1 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( A MH* B <-> ( _|_ ` A ) MH ( _|_ ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 176   /\ wa 358   = wceq 1623   e. wcel 1685   A.wral 2544   i^i cin 3152   C_ wss 3153   class class class wbr 4024   ` cfv 5221  (class class class)co 5820   CHcch 21505   _|_cort 21506   vH chj 21509   MH cmd 21542   MH* cdmd 21543

This theorem is referenced by:  mddmd  22877  ssdmd1  22889  mdsldmd1i  22907  cvdmd  22913  dmdsym  22989  cmdmdi  22993

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7338  ax-cc 8057  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810  ax-pre-sup 8811  ax-addf 8812  ax-mulf 8813  ax-hilex 21575  ax-hfvadd 21576  ax-hvcom 21577  ax-hvass 21578  ax-hv0cl 21579  ax-hvaddid 21580  ax-hfvmul 21581  ax-hvmulid 21582  ax-hvmulass 21583  ax-hvdistr1 21584  ax-hvdistr2 21585  ax-hvmul0 21586  ax-hfi 21654  ax-his1 21657  ax-his2 21658  ax-his3 21659  ax-his4 21660  ax-hcompl 21777

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-iin 3909  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-se 4352  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-of 6040  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-1o 6475  df-2o 6476  df-oadd 6479  df-omul 6480  df-er 6656  df-map 6770  df-pm 6771  df-ixp 6814  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-fin 6863  df-fi 7161  df-sup 7190  df-oi 7221  df-card 7568  df-acn 7571  df-cda 7790  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-div 9420  df-nn 9743  df-2 9800  df-3 9801  df-4 9802  df-5 9803  df-6 9804  df-7 9805  df-8 9806  df-9 9807  df-10 9808  df-n0 9962  df-z 10021  df-dec 10121  df-uz 10227  df-q 10313  df-rp 10351  df-xneg 10448  df-xadd 10449  df-xmul 10450  df-ioo 10656  df-ico 10658  df-icc 10659  df-fz 10779  df-fzo 10867  df-fl 10921  df-seq 11043  df-exp 11101  df-hash 11334  df-cj 11580  df-re 11581  df-im 11582  df-sqr 11716  df-abs 11717  df-clim 11958  df-rlim 11959  df-sum 12155  df-struct 13146  df-ndx 13147  df-slot 13148  df-base 13149  df-sets 13150  df-ress 13151  df-plusg 13217  df-mulr 13218  df-starv 13219  df-sca 13220  df-vsca 13221  df-tset 13223  df-ple 13224  df-ds 13226  df-hom 13228  df-cco 13229  df-rest 13323  df-topn 13324  df-topgen 13340  df-pt 13341  df-prds 13344  df-xrs 13399  df-0g 13400  df-gsum 13401  df-qtop 13406  df-imas 13407  df-xps 13409  df-mre 13484  df-mrc 13485  df-acs 13487  df-mnd 14363  df-submnd 14412  df-mulg 14488  df-cntz 14789  df-cmn 15087  df-xmet 16369  df-met 16370  df-bl 16371  df-mopn 16372  df-cnfld 16374  df-top 16632  df-bases 16634  df-topon 16635  df-topsp 16636  df-cld 16752  df-ntr 16753  df-cls 16754  df-nei 16831  df-cn 16953  df-cnp 16954  df-lm 16955  df-haus 17039  df-tx 17253  df-hmeo 17442  df-fbas 17516  df-fg 17517  df-fil 17537  df-fm 17629  df-flim 17630  df-flf 17631  df-xms 17881  df-ms 17882  df-tms 17883  df-cfil 18677  df-cau 18678  df-cmet 18679  df-grpo 20852  df-gid 20853  df-ginv 20854  df-gdiv 20855  df-ablo 20943  df-subgo 20963  df-vc 21096  df-nv 21142  df-va 21145  df-ba 21146  df-sm 21147  df-0v 21148  df-vs 21149  df-nmcv 21150  df-ims 21151  df-dip 21268  df-ssp 21292  df-ph 21385  df-cbn 21436  df-hnorm 21544  df-hba 21545  df-hvsub 21547  df-hlim 21548  df-hcau 21549  df-sh 21782  df-ch 21797  df-oc 21827  df-ch0 21828  df-shs 21883  df-chj 21885  df-md 22856  df-dmd 22857