Theorem dmdsl3t 10179

Description: Sublattice mapping for a dual-modular pair. Part of Theorem 1.3 of [MaedaMaeda] p. 2.

Assertion

Ref	Expression
dmdsl3t	|- (((A e. CH /\ B e. CH /\ C e. CH) /\ (B MH* A /\ A (_ C /\ C (_ (A vH B))) -> ((C i^i B) vH A) = C)

Proof of Theorem dmdsl3t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmdit 10167	. . . . . 6 |- (((B e. CH /\ A e. CH /\ C e. CH) /\ (B MH* A /\ A (_ C)) -> ((C i^i B) vH A) = (C i^i (B vH A)))
2	1	exp32 377	. . . . 5 |- ((B e. CH /\ A e. CH /\ C e. CH) -> (B MH* A -> (A (_ C -> ((C i^i B) vH A) = (C i^i (B vH A)))))
3	2	3com12 836	. . . 4 |- ((A e. CH /\ B e. CH /\ C e. CH) -> (B MH* A -> (A (_ C -> ((C i^i B) vH A) = (C i^i (B vH A)))))
4	3	imp32 363	. . 3 |- (((A e. CH /\ B e. CH /\ C e. CH) /\ (B MH* A /\ A (_ C)) -> ((C i^i B) vH A) = (C i^i (B vH A)))
5	4	3adantr3 807	. 2 |- (((A e. CH /\ B e. CH /\ C e. CH) /\ (B MH* A /\ A (_ C /\ C (_ (A vH B))) -> ((C i^i B) vH A) = (C i^i (B vH A)))
6		chjcomt 9367	. . . . . 6 |- ((A e. CH /\ B e. CH) -> (A vH B) = (B vH A))
7	6	ineq2d 2213	. . . . 5 |- ((A e. CH /\ B e. CH) -> (C i^i (A vH B)) = (C i^i (B vH A)))
8	7	3adant3 798	. . . 4 |- ((A e. CH /\ B e. CH /\ C e. CH) -> (C i^i (A vH B)) = (C i^i (B vH A)))
9		df-ss 2049	. . . . 5 |- (C (_ (A vH B) <-> (C i^i (A vH B)) = C)
10	9	biimp 151	. . . 4 |- (C (_ (A vH B) -> (C i^i (A vH B)) = C)
11	8, 10	sylan9req 1525	. . 3 |- (((A e. CH /\ B e. CH /\ C e. CH) /\ C (_ (A vH B)) -> (C i^i (B vH A)) = C)
12	11	3ad2antr3 813	. 2 |- (((A e. CH /\ B e. CH /\ C e. CH) /\ (B MH* A /\ A (_ C /\ C (_ (A vH B))) -> (C i^i (B vH A)) = C)
13	5, 12	eqtrd 1504	1 |- (((A e. CH /\ B e. CH /\ C e. CH) /\ (B MH* A /\ A (_ C /\ C (_ (A vH B))) -> ((C i^i B) vH A) = C)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 954   e. wcel 956   i^i cin 2042   (_ wss 2043   class class class wbr 2614  (class class class)co 3954  CHcch 8737   vH chj 8741   MH* cdmd 8775

This theorem is referenced by:  mdslle1 10181  mdslj1 10183  mdslj2 10184  mdslmd1lem1 10189

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-hilex 8808

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fv 3193  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-sh 9015  df-ch 9031  df-chj 9213  df-dmd 10146

Copyright terms: Public domain