Theorem dmeq 3306

Description: Equality theorem for domain.

Assertion

Ref	Expression
dmeq	|- (A = B -> dom A = dom B)

Proof of Theorem dmeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmss 3305	. . 3 |- (A (_ B -> dom A (_ dom B)
2		dmss 3305	. . 3 |- (B (_ A -> dom B (_ dom A)
3	1, 2	anim12i 333	. 2 |- ((A (_ B /\ B (_ A) -> (dom A (_ dom B /\ dom B (_ dom A))
4		eqss 2073	. 2 |- (A = B <-> (A (_ B /\ B (_ A))
5		eqss 2073	. 2 |- (dom A = dom B <-> (dom A (_ dom B /\ dom B (_ dom A))
6	3, 4, 5	3imtr4 219	1 |- (A = B -> dom A = dom B)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 954   (_ wss 2043  dom cdm 3165

This theorem is referenced by:  dmeqi 3307  dmeqd 3308  dmsnop 3323  xpid11 3330  fneq1 3574  eqfnfv 3788  tz7.44lem1 3918  tz7.44-2 3920  tz7.44-3 3921  dfrdg2 3924  rdglem2 3929  aceq3 4713  ac7g 4729  infxpidmlem4 7506  ismet 7748  dfms2 7749  blfval 7787  opnfval 7809  lmfval 7877  caufval 7878  iscms 7897  bcth 7982  imsba 8272  ismgra 10522  isalg 10533  algi 10540  isded 10549  dedi 10550  iscat 10567  cati 10568

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-12 966  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-v 1808  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-br 2615  df-dm 3183

Copyright terms: Public domain