Theorem dmfco 3764

Description: Domains of a function composition.

Assertion

Ref	Expression
dmfco	|- ((Fun G /\ A e. dom G) -> (A e. dom ( F o. G) <-> (G` A) e. dom F))

Proof of Theorem dmfco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldm2g 3304	. . . 4 |- (A e. dom G -> (A e. dom ( F o. G) <-> E.y<.A, y>. e. (F o. G)))
2		visset 1809	. . . . . 6 |- y e. V
3		opelcog 3285	. . . . . 6 |- ((A e. dom G /\ y e. V) -> (<.A, y>. e. (F o. G) <-> E.z(<.A, z>. e. G /\ <.z, y>. e. F)))
4	2, 3	mpan2 695	. . . . 5 |- (A e. dom G -> (<.A, y>. e. (F o. G) <-> E.z(<.A, z>. e. G /\ <.z, y>. e. F)))
5	4	exbidv 1277	. . . 4 |- (A e. dom G -> (E.y<.A, y>. e. (F o. G) <-> E.yE.z(<.A, z>. e. G /\ <.z, y>. e. F)))
6	1, 5	bitrd 527	. . 3 |- (A e. dom G -> (A e. dom ( F o. G) <-> E.yE.z(<.A, z>. e. G /\ <.z, y>. e. F)))
7	6	adantl 388	. 2 |- ((Fun G /\ A e. dom G) -> (A e. dom ( F o. G) <-> E.yE.z(<.A, z>. e. G /\ <.z, y>. e. F)))
8		visset 1809	. . . . . . . . 9 |- z e. V
9	8	funopfvb 3747	. . . . . . . 8 |- ((Fun G /\ A e. dom G) -> ((G` A) = z <-> <.A, z>. e. G))
10		eqcom 1474	. . . . . . . 8 |- (z = (G` A) <-> (G` A) = z)
11	9, 10	syl5bb 531	. . . . . . 7 |- ((Fun G /\ A e. dom G) -> (z = (G` A) <-> <.A, z>. e. G))
12	11	anbi1d 616	. . . . . 6 |- ((Fun G /\ A e. dom G) -> ((z = (G` A) /\ <.z, y>. e. F) <-> (<.A, z>. e. G /\ <.z, y>. e. F)))
13	12	exbidv 1277	. . . . 5 |- ((Fun G /\ A e. dom G) -> (E.z(z = (G` A) /\ <.z, y>. e. F) <-> E.z(<.A, z>. e. G /\ <.z, y>. e. F)))
14		fvex 3723	. . . . . 6 |- (G` A) e. V
15		opeq1 2483	. . . . . . 7 |- (z = (G` A) -> <.z, y>. = <.(G` A), y>.)
16	15	eleq1d 1537	. . . . . 6 |- (z = (G` A) -> (<.z, y>. e. F <-> <.(G` A), y>. e. F))
17	14, 16	ceqsexv 1831	. . . . 5 |- (E.z(z = (G` A) /\ <.z, y>. e. F) <-> <.(G` A), y>. e. F)
18	13, 17	syl5bbr 533	. . . 4 |- ((Fun G /\ A e. dom G) -> (<.(G` A), y>. e. F <-> E.z(<.A, z>. e. G /\ <.z, y>. e. F)))
19	18	exbidv 1277	. . 3 |- ((Fun G /\ A e. dom G) -> (E.y<.(G` A), y>. e. F <-> E.yE.z(<.A, z>. e. G /\ <.z, y>. e. F)))
20	14	eldm2 3303	. . 3 |- ((G` A) e. dom F <-> E.y<.(G` A), y>. e. F)
21	19, 20	syl5bb 531	. 2 |- ((Fun G /\ A e. dom G) -> ((G` A) e. dom F <-> E.yE.z(<.A, z>. e. G /\ <.z, y>. e. F)))
22	7, 21	bitr4d 530	1 |- ((Fun G /\ A e. dom G) -> (A e. dom ( F o. G) <-> (G` A) e. dom F))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  E.wex 978  Vcvv 1807  <.cop 2407  dom cdm 3165   o. ccom 3169  Fun wfun 3171  ` cfv 3177

This theorem is referenced by:  fvco 3765

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-fv 3193

Copyright terms: Public domain