Theorem dmo 10660

Description: The domain of a morphism is an object.

Hypotheses

Ref	Expression
dmo.1	|- M = dom (dom` T)
dmo.3	|- O = dom (id` T)
dmo.2	|- D = (dom` T)

Assertion

Ref	Expression
dmo	|- ((T e. Cat /\ F e. M) -> (D` F) e. O)

Proof of Theorem dmo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelrn 3811	. 2 |- ((D:M-->O /\ F e. M) -> (D` F) e. O)
2		dmo.1	. . . 4 |- M = dom (dom` T)
3		dmo.2	. . . . . 6 |- D = (dom` T)
4	3	eqcomi 1478	. . . . 5 |- (dom` T) = D
5	4	dmeqi 3309	. . . 4 |- dom (dom` T) = dom D
6	2, 5	eqtr 1494	. . 3 |- M = dom D
7		dmo.3	. . 3 |- O = dom (id` T)
8		eqid 1475	. . 3 |- (id` T) = (id` T)
9	6, 3, 7, 8	domc 10649	. 2 |- (T e. Cat -> D:M-->O)
10	1, 9	sylan 448	1 |- ((T e. Cat /\ F e. M) -> (D` F) e. O)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  dom cdm 3167  -->wf 3175  ` cfv 3179  domcdom_ 10595  idcid_ 10597  Catccat 10636

This theorem is referenced by:  imonclem 10690  idfisf 10705

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2700  ax-nul 2707  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-ral 1648  df-rex 1649  df-v 1810  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-nul 2279  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-op 2414  df-uni 2501  df-int 2531  df-br 2617  df-opab 2664  df-id 2832  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191  df-fo 3193  df-fv 3195  df-opr 3962  df-1st 4076  df-2nd 4077  df-alg 10599  df-doma 10600  df-coda 10601  df-ida 10602  df-cmpa 10603  df-ded 10619  df-cat 10637

Copyright terms: Public domain