Theorem dmopab 3316

Description: The domain of a class of ordered pairs.

Assertion

Ref	Expression
dmopab	|- dom {<.x, y>. | ph} = {x | E.yph}

Distinct variable group:   x,y

Proof of Theorem dmopab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hbopab1 2809	. . 3 |- (z e. {<.x, y>. | ph} -> A.x z e. {<.x, y>. | ph})
2		hbopab2 2810	. . 3 |- (z e. {<.x, y>. | ph} -> A.y z e. {<.x, y>. | ph})
3	1, 2	dfdmf 3302	. 2 |- dom {<.x, y>. | ph} = {x | E.y<.x, y>. e. {<.x, y>. | ph}}
4		opabid 2806	. . . 4 |- (<.x, y>. e. {<.x, y>. | ph} <-> ph)
5	4	exbii 1050	. . 3 |- (E.y<.x, y>. e. {<.x, y>. | ph} <-> E.yph)
6	5	abbii 1573	. 2 |- {x | E.y<.x, y>. e. {<.x, y>. | ph}} = {x | E.yph}
7	3, 6	eqtr 1493	1 |- dom {<.x, y>. | ph} = {x | E.yph}

Syntax hints:   = wceq 955   e. wcel 957  E.wex 979  {cab 1462  <.cop 2408  {copab 2662  dom cdm 3166

This theorem is referenced by:  dmopabss 3317  dmopab3 3318  zfrep6 3610  dmoprab 3997  aceq3 4716  infmap2lem1 7539

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-sep 2699  ax-pow 2738  ax-pr 2775

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-v 1809  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-nul 2278  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-op 2413  df-br 2616  df-opab 2663  df-dm 3184

Copyright terms: Public domain