Theorem dmoprab 3993

Description: The domain of an operation class abstraction.

Assertion

Ref	Expression
dmoprab	|- dom {<.<.x, y>., z>. | ph} = {<.x, y>. | E.zph}

Distinct variable group:   x,y,z

Proof of Theorem dmoprab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfoprab2 3982	. . 3 |- {<.<.x, y>., z>. | ph} = {<.w, z>. | E.xE.y(w = <.x, y>. /\ ph)}
2	1	dmeqi 3307	. 2 |- dom {<.<.x, y>., z>. | ph} = dom {<.w, z>. | E.xE.y(w = <.x, y>. /\ ph)}
3		dmopab 3315	. 2 |- dom {<.w, z>. | E.xE.y(w = <.x, y>. /\ ph)} = {w | E.zE.xE.y(w = <.x, y>. /\ ph)}
4		exrot3 1097	. . . . 5 |- (E.zE.xE.y(w = <.x, y>. /\ ph) <-> E.xE.yE.z(w = <.x, y>. /\ ph))
5		19.42v 1306	. . . . . 6 |- (E.z(w = <.x, y>. /\ ph) <-> (w = <.x, y>. /\ E.zph))
6	5	2exbii 1050	. . . . 5 |- (E.xE.yE.z(w = <.x, y>. /\ ph) <-> E.xE.y(w = <.x, y>. /\ E.zph))
7	4, 6	bitr 173	. . . 4 |- (E.zE.xE.y(w = <.x, y>. /\ ph) <-> E.xE.y(w = <.x, y>. /\ E.zph))
8	7	abbii 1572	. . 3 |- {w | E.zE.xE.y(w = <.x, y>. /\ ph)} = {w | E.xE.y(w = <.x, y>. /\ E.zph)}
9		df-opab 2662	. . 3 |- {<.x, y>. | E.zph} = {w | E.xE.y(w = <.x, y>. /\ E.zph)}
10	8, 9	eqtr4 1495	. 2 |- {w | E.zE.xE.y(w = <.x, y>. /\ ph)} = {<.x, y>. | E.zph}
11	2, 3, 10	3eqtr 1496	1 |- dom {<.<.x, y>., z>. | ph} = {<.x, y>. | E.zph}

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 954  E.wex 978  {cab 1461  <.cop 2407  {copab 2661  dom cdm 3165  {copab2 3955

This theorem is referenced by:  dmoprabss 3994  reldmoprab 3996  fnoprabg 4003  1st2val 4085  2nd2val 4086  genpdm 5085

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-br 2615  df-opab 2662  df-dm 3183  df-oprab 3957

Copyright terms: Public domain