MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmpropg Unicode version

Theorem dmpropg 5228
Description: The domain of an unordered pair of ordered pairs. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
dmpropg  |-  ( ( B  e.  V  /\  D  e.  W )  ->  dom  { <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. }  =  { A ,  C }
)

Proof of Theorem dmpropg
StepHypRef Expression
1 dmsnopg 5226 . . 3  |-  ( B  e.  V  ->  dom  {
<. A ,  B >. }  =  { A }
)
2 dmsnopg 5226 . . 3  |-  ( D  e.  W  ->  dom  {
<. C ,  D >. }  =  { C }
)
3 uneq12 3400 . . 3  |-  ( ( dom  { <. A ,  B >. }  =  { A }  /\  dom  { <. C ,  D >. }  =  { C }
)  ->  ( dom  {
<. A ,  B >. }  u.  dom  { <. C ,  D >. } )  =  ( { A }  u.  { C } ) )
41, 2, 3syl2an 463 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  D  e.  W )  ->  ( dom  { <. A ,  B >. }  u.  dom  { <. C ,  D >. } )  =  ( { A }  u.  { C } ) )
5 df-pr 3723 . . . 4  |-  { <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. }  =  ( { <. A ,  B >. }  u.  { <. C ,  D >. } )
65dmeqi 4962 . . 3  |-  dom  { <. A ,  B >. , 
<. C ,  D >. }  =  dom  ( {
<. A ,  B >. }  u.  { <. C ,  D >. } )
7 dmun 4967 . . 3  |-  dom  ( { <. A ,  B >. }  u.  { <. C ,  D >. } )  =  ( dom  { <. A ,  B >. }  u.  dom  { <. C ,  D >. } )
86, 7eqtri 2378 . 2  |-  dom  { <. A ,  B >. , 
<. C ,  D >. }  =  ( dom  { <. A ,  B >. }  u.  dom  { <. C ,  D >. } )
9 df-pr 3723 . 2  |-  { A ,  C }  =  ( { A }  u.  { C } )
104, 8, 93eqtr4g 2415 1  |-  ( ( B  e.  V  /\  D  e.  W )  ->  dom  { <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. }  =  { A ,  C }
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710    u. cun 3226   {csn 3716   {cpr 3717   <.cop 3719   dom cdm 4771
This theorem is referenced by:  dmprop  5230  fnprg  5387  funtpg  27415  s4dom  27503
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pr 4295
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-rab 2628  df-v 2866  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-br 4105  df-dm 4781
  Copyright terms: Public domain W3C validator