MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmrecnq Unicode version

Theorem dmrecnq 8525
Description: Domain of reciprocal on positive fractions. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
dmrecnq  |-  dom  *Q  =  Q.

Proof of Theorem dmrecnq
StepHypRef Expression
1 df-rq 8474 . . . . . 6  |-  *Q  =  ( `'  .Q  " { 1Q } )
2 cnvimass 4986 . . . . . 6  |-  ( `'  .Q  " { 1Q } )  C_  dom  .Q
31, 2eqsstri 3150 . . . . 5  |-  *Q  C_  dom  .Q
4 mulnqf 8506 . . . . . 6  |-  .Q  :
( Q.  X.  Q. )
--> Q.
54fdmi 5297 . . . . 5  |-  dom  .Q  =  ( Q.  X.  Q. )
63, 5sseqtri 3152 . . . 4  |-  *Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
7 dmss 4831 . . . 4  |-  ( *Q  C_  ( Q.  X.  Q. )  ->  dom  *Q  C_  dom  ( Q.  X.  Q. )
)
86, 7ax-mp 10 . . 3  |-  dom  *Q  C_ 
dom  ( Q.  X.  Q. )
9 dmxpid 4851 . . 3  |-  dom  ( Q.  X.  Q. )  =  Q.
108, 9sseqtri 3152 . 2  |-  dom  *Q  C_ 
Q.
11 recclnq 8523 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  Q.  ->  ( *Q `  x )  e. 
Q. )
12 opelxpi 4674 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  ( *Q `  x )  e.  Q. )  ->  <. x ,  ( *Q
`  x ) >.  e.  ( Q.  X.  Q. ) )
1311, 12mpdan 652 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  Q.  ->  <. x ,  ( *Q `  x ) >.  e.  ( Q.  X.  Q. )
)
14 df-ov 5760 . . . . . . . 8  |-  ( x  .Q  ( *Q `  x ) )  =  (  .Q  `  <. x ,  ( *Q `  x ) >. )
15 recidnq 8522 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  Q.  ->  (
x  .Q  ( *Q
`  x ) )  =  1Q )
1614, 15syl5eqr 2302 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  Q.  ->  (  .Q  `  <. x ,  ( *Q `  x )
>. )  =  1Q )
17 ffn 5292 . . . . . . . 8  |-  (  .Q  : ( Q.  X.  Q. ) --> Q.  ->  .Q  Fn  ( Q.  X.  Q. )
)
18 fniniseg 5545 . . . . . . . 8  |-  (  .Q  Fn  ( Q.  X.  Q. )  ->  ( <.
x ,  ( *Q
`  x ) >.  e.  ( `'  .Q  " { 1Q } )  <->  ( <. x ,  ( *Q `  x ) >.  e.  ( Q.  X.  Q. )  /\  (  .Q  `  <. x ,  ( *Q `  x ) >. )  =  1Q ) ) )
194, 17, 18mp2b 11 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  ( *Q
`  x ) >.  e.  ( `'  .Q  " { 1Q } )  <->  ( <. x ,  ( *Q `  x ) >.  e.  ( Q.  X.  Q. )  /\  (  .Q  `  <. x ,  ( *Q `  x ) >. )  =  1Q ) )
2013, 16, 19sylanbrc 648 . . . . . 6  |-  ( x  e.  Q.  ->  <. x ,  ( *Q `  x ) >.  e.  ( `'  .Q  " { 1Q } ) )
2120, 1syl6eleqr 2347 . . . . 5  |-  ( x  e.  Q.  ->  <. x ,  ( *Q `  x ) >.  e.  *Q )
22 df-br 3964 . . . . 5  |-  ( x *Q ( *Q `  x )  <->  <. x ,  ( *Q `  x
) >.  e.  *Q )
2321, 22sylibr 205 . . . 4  |-  ( x  e.  Q.  ->  x *Q ( *Q `  x
) )
24 vex 2743 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
25 fvex 5437 . . . . 5  |-  ( *Q
`  x )  e. 
_V
2624, 25breldm 4836 . . . 4  |-  ( x *Q ( *Q `  x )  ->  x  e.  dom  *Q )
2723, 26syl 17 . . 3  |-  ( x  e.  Q.  ->  x  e.  dom  *Q )
2827ssriv 3126 . 2  |-  Q.  C_  dom  *Q
2910, 28eqssi 3137 1  |-  dom  *Q  =  Q.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621    C_ wss 3094   {csn 3581   <.cop 3584   class class class wbr 3963    X. cxp 4624   `'ccnv 4625   dom cdm 4626   "cima 4629    Fn wfn 4633   -->wf 4634   ` cfv 4638  (class class class)co 5757   Q.cnq 8407   1Qc1q 8408    .Q cmq 8411   *Qcrq 8412
This theorem is referenced by:  ltrnq  8536  reclem2pr  8605
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pr 4152  ax-un 4449
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-1o 6412  df-oadd 6416  df-omul 6417  df-er 6593  df-ni 8429  df-mi 8431  df-lti 8432  df-mpq 8466  df-enq 8468  df-nq 8469  df-erq 8470  df-mq 8472  df-1nq 8473  df-rq 8474
  Copyright terms: Public domain W3C validator