MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmrecnq Unicode version

Theorem dmrecnq 8560
Description: Domain of reciprocal on positive fractions. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
dmrecnq  |-  dom  *Q  =  Q.

Proof of Theorem dmrecnq
StepHypRef Expression
1 df-rq 8509 . . . . . 6  |-  *Q  =  ( `'  .Q  " { 1Q } )
2 cnvimass 5021 . . . . . 6  |-  ( `'  .Q  " { 1Q } )  C_  dom  .Q
31, 2eqsstri 3183 . . . . 5  |-  *Q  C_  dom  .Q
4 mulnqf 8541 . . . . . 6  |-  .Q  :
( Q.  X.  Q. )
--> Q.
54fdmi 5332 . . . . 5  |-  dom  .Q  =  ( Q.  X.  Q. )
63, 5sseqtri 3185 . . . 4  |-  *Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
7 dmss 4866 . . . 4  |-  ( *Q  C_  ( Q.  X.  Q. )  ->  dom  *Q  C_  dom  ( Q.  X.  Q. )
)
86, 7ax-mp 10 . . 3  |-  dom  *Q  C_ 
dom  ( Q.  X.  Q. )
9 dmxpid 4886 . . 3  |-  dom  ( Q.  X.  Q. )  =  Q.
108, 9sseqtri 3185 . 2  |-  dom  *Q  C_ 
Q.
11 recclnq 8558 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  Q.  ->  ( *Q `  x )  e. 
Q. )
12 opelxpi 4709 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  ( *Q `  x )  e.  Q. )  ->  <. x ,  ( *Q
`  x ) >.  e.  ( Q.  X.  Q. ) )
1311, 12mpdan 652 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  Q.  ->  <. x ,  ( *Q `  x ) >.  e.  ( Q.  X.  Q. )
)
14 df-ov 5795 . . . . . . . 8  |-  ( x  .Q  ( *Q `  x ) )  =  (  .Q  `  <. x ,  ( *Q `  x ) >. )
15 recidnq 8557 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  Q.  ->  (
x  .Q  ( *Q
`  x ) )  =  1Q )
1614, 15syl5eqr 2304 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  Q.  ->  (  .Q  `  <. x ,  ( *Q `  x )
>. )  =  1Q )
17 ffn 5327 . . . . . . . 8  |-  (  .Q  : ( Q.  X.  Q. ) --> Q.  ->  .Q  Fn  ( Q.  X.  Q. )
)
18 fniniseg 5580 . . . . . . . 8  |-  (  .Q  Fn  ( Q.  X.  Q. )  ->  ( <.
x ,  ( *Q
`  x ) >.  e.  ( `'  .Q  " { 1Q } )  <->  ( <. x ,  ( *Q `  x ) >.  e.  ( Q.  X.  Q. )  /\  (  .Q  `  <. x ,  ( *Q `  x ) >. )  =  1Q ) ) )
194, 17, 18mp2b 11 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  ( *Q
`  x ) >.  e.  ( `'  .Q  " { 1Q } )  <->  ( <. x ,  ( *Q `  x ) >.  e.  ( Q.  X.  Q. )  /\  (  .Q  `  <. x ,  ( *Q `  x ) >. )  =  1Q ) )
2013, 16, 19sylanbrc 648 . . . . . 6  |-  ( x  e.  Q.  ->  <. x ,  ( *Q `  x ) >.  e.  ( `'  .Q  " { 1Q } ) )
2120, 1syl6eleqr 2349 . . . . 5  |-  ( x  e.  Q.  ->  <. x ,  ( *Q `  x ) >.  e.  *Q )
22 df-br 3998 . . . . 5  |-  ( x *Q ( *Q `  x )  <->  <. x ,  ( *Q `  x
) >.  e.  *Q )
2321, 22sylibr 205 . . . 4  |-  ( x  e.  Q.  ->  x *Q ( *Q `  x
) )
24 vex 2766 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
25 fvex 5472 . . . . 5  |-  ( *Q
`  x )  e. 
_V
2624, 25breldm 4871 . . . 4  |-  ( x *Q ( *Q `  x )  ->  x  e.  dom  *Q )
2723, 26syl 17 . . 3  |-  ( x  e.  Q.  ->  x  e.  dom  *Q )
2827ssriv 3159 . 2  |-  Q.  C_  dom  *Q
2910, 28eqssi 3170 1  |-  dom  *Q  =  Q.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621    C_ wss 3127   {csn 3614   <.cop 3617   class class class wbr 3997    X. cxp 4659   `'ccnv 4660   dom cdm 4661   "cima 4664    Fn wfn 4668   -->wf 4669   ` cfv 4673  (class class class)co 5792   Q.cnq 8442   1Qc1q 8443    .Q cmq 8446   *Qcrq 8447
This theorem is referenced by:  ltrnq  8571  reclem2pr  8640
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pr 4186  ax-un 4484
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-oadd 6451  df-omul 6452  df-er 6628  df-ni 8464  df-mi 8466  df-lti 8467  df-mpq 8501  df-enq 8503  df-nq 8504  df-erq 8505  df-mq 8507  df-1nq 8508  df-rq 8509
  Copyright terms: Public domain W3C validator