MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmres Unicode version

Theorem dmres 4992
Description: The domain of a restriction. Exercise 14 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 1-Aug-1994.)
Assertion
Ref Expression
dmres  |-  dom  ( A  |`  B )  =  ( B  i^i  dom  A )

Proof of Theorem dmres
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2804 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
21eldm2 4893 . . . 4  |-  ( x  e.  dom  ( A  |`  B )  <->  E. y <. x ,  y >.  e.  ( A  |`  B ) )
3 19.41v 1854 . . . . 5  |-  ( E. y ( <. x ,  y >.  e.  A  /\  x  e.  B
)  <->  ( E. y <. x ,  y >.  e.  A  /\  x  e.  B ) )
4 vex 2804 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
54opelres 4976 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  |`  B )  <-> 
( <. x ,  y
>.  e.  A  /\  x  e.  B ) )
65exbii 1572 . . . . 5  |-  ( E. y <. x ,  y
>.  e.  ( A  |`  B )  <->  E. y
( <. x ,  y
>.  e.  A  /\  x  e.  B ) )
71eldm2 4893 . . . . . 6  |-  ( x  e.  dom  A  <->  E. y <. x ,  y >.  e.  A )
87anbi1i 676 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  dom  A  /\  x  e.  B
)  <->  ( E. y <. x ,  y >.  e.  A  /\  x  e.  B ) )
93, 6, 83bitr4i 268 . . . 4  |-  ( E. y <. x ,  y
>.  e.  ( A  |`  B )  <->  ( x  e.  dom  A  /\  x  e.  B ) )
102, 9bitr2i 241 . . 3  |-  ( ( x  e.  dom  A  /\  x  e.  B
)  <->  x  e.  dom  ( A  |`  B ) )
1110ineqri 3375 . 2  |-  ( dom 
A  i^i  B )  =  dom  ( A  |`  B )
12 incom 3374 . 2  |-  ( dom 
A  i^i  B )  =  ( B  i^i  dom 
A )
1311, 12eqtr3i 2318 1  |-  dom  ( A  |`  B )  =  ( B  i^i  dom  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696    i^i cin 3164   <.cop 3656   dom cdm 4705    |` cres 4707
This theorem is referenced by:  ssdmres  4993  dmresexg  4994  imadisj  5048  ndmima  5066  imainrect  5135  dmresv  5148  resdmres  5180  funimacnv  5340  fnresdisj  5370  fnres  5376  fresaunres2  5429  nfvres  5573  ssimaex  5600  fnreseql  5651  respreima  5670  ffvresb  5706  fsnunfv  5736  funfvima  5769  funiunfv  5790  offres  6108  fnwelem  6246  smores  6385  smores3  6386  smores2  6387  tz7.44-2  6436  tz7.44-3  6437  frfnom  6463  sbthlem5  6991  sbthlem7  6993  domss2  7036  imafi  7164  ordtypelem4  7252  wdomima2g  7316  r0weon  7656  imadomg  8175  dmaddpi  8530  dmmulpi  8531  ltweuz  11040  limsupgle  11967  setsres  13190  gsumzaddlem  15219  dprdcntz2  15289  lmres  17044  imacmp  17140  qtoptop2  17406  kqdisj  17439  metreslem  17942  setsmstopn  18040  ismbl  18901  mbfres  19015  dvres3a  19280  cpnres  19302  dvlipcn  19357  dvlip2  19358  c1lip3  19362  dvcnvrelem1  19380  dvcvx  19383  dvlog  20014  hlimcaui  21832  dmhashres  23190  eupares  23914  dfrdg2  24223  sltres  24389  nodense  24414  nofulllem5  24431  caures  26579  ssbnd  26615  mapfzcons1  26897  coeq0  26934  diophrw  26941  eldioph2lem1  26942  eldioph2lem2  26943  eldmressn  28087  dmressnsn  28088  fnresfnco  28094  funcoressn  28095  funressnfv  28096  afvres  28140
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-br 4040  df-opab 4094  df-xp 4711  df-dm 4715  df-res 4717
  Copyright terms: Public domain W3C validator