MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmres Unicode version

Theorem dmres 4964
Description: The domain of a restriction. Exercise 14 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 1-Aug-1994.)
Assertion
Ref Expression
dmres  |-  dom  (  A  |`  B )  =  ( B  i^i  dom  A )

Proof of Theorem dmres
StepHypRef Expression
1 vex 2766 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
21eldm2 4865 . . . 4  |-  ( x  e.  dom  (  A  |`  B )  <->  E. y <. x ,  y >.  e.  ( A  |`  B ) )
3 19.41v 2035 . . . . 5  |-  ( E. y ( <. x ,  y >.  e.  A  /\  x  e.  B
)  <->  ( E. y <. x ,  y >.  e.  A  /\  x  e.  B ) )
4 vex 2766 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
54opelres 4948 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  |`  B )  <-> 
( <. x ,  y
>.  e.  A  /\  x  e.  B ) )
65exbii 1580 . . . . 5  |-  ( E. y <. x ,  y
>.  e.  ( A  |`  B )  <->  E. y
( <. x ,  y
>.  e.  A  /\  x  e.  B ) )
71eldm2 4865 . . . . . 6  |-  ( x  e.  dom  A  <->  E. y <. x ,  y >.  e.  A )
87anbi1i 679 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  dom  A  /\  x  e.  B
)  <->  ( E. y <. x ,  y >.  e.  A  /\  x  e.  B ) )
93, 6, 83bitr4i 270 . . . 4  |-  ( E. y <. x ,  y
>.  e.  ( A  |`  B )  <->  ( x  e.  dom  A  /\  x  e.  B ) )
102, 9bitr2i 243 . . 3  |-  ( ( x  e.  dom  A  /\  x  e.  B
)  <->  x  e.  dom  (  A  |`  B ) )
1110ineqri 3337 . 2  |-  ( dom 
A  i^i  B )  =  dom  (  A  |`  B )
12 incom 3336 . 2  |-  ( dom 
A  i^i  B )  =  ( B  i^i  dom 
A )
1311, 12eqtr3i 2280 1  |-  dom  (  A  |`  B )  =  ( B  i^i  dom  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 360   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621    i^i cin 3126   <.cop 3617   dom cdm 4661    |` cres 4663
This theorem is referenced by:  ssdmres  4965  dmresexg  4966  imadisj  5020  ndmima  5038  imainrect  5107  dmresv  5119  resdmres  5151  funimacnv  5262  fnresdisj  5292  fnres  5298  fresaunres2  5351  nfvres  5491  ssimaex  5518  fnreseql  5569  respreima  5588  ffvresb  5624  fsnunfv  5654  funfvima  5687  funiunfv  5708  offres  6026  fnwelem  6164  smores  6337  smores3  6338  smores2  6339  tz7.44-2  6388  tz7.44-3  6389  frfnom  6415  sbthlem5  6943  sbthlem7  6945  domss2  6988  imafi  7116  ordtypelem4  7204  wdomima2g  7268  r0weon  7608  imadomg  8127  dmaddpi  8482  dmmulpi  8483  ltweuz  10990  limsupgle  11916  setsres  13136  gsumzaddlem  15165  dprdcntz2  15235  lmres  16990  imacmp  17086  qtoptop2  17352  kqdisj  17385  metreslem  17888  setsmstopn  17986  ismbl  18847  mbfres  18961  dvres3a  19226  cpnres  19248  dvlipcn  19303  dvlip2  19304  c1lip3  19308  dvcnvrelem1  19326  dvcvx  19329  dvlog  19960  hlimcaui  21776  eupares  23271  dfrdg2  23521  sltres  23686  axdense  23712  axfelem18  23732  caures  25843  ssbnd  25879  mapfzcons1  26161  coeq0  26198  diophrw  26205  eldioph2lem1  26206  eldioph2lem2  26207
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pr 4186
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-rab 2527  df-v 2765  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-br 3998  df-opab 4052  df-xp 4675  df-dm 4679  df-res 4681
  Copyright terms: Public domain W3C validator