MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmres Unicode version

Theorem dmres 4976
Description: The domain of a restriction. Exercise 14 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 1-Aug-1994.)
Assertion
Ref Expression
dmres  |-  dom  ( A  |`  B )  =  ( B  i^i  dom  A )

Proof of Theorem dmres
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2791 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
21eldm2 4877 . . . 4  |-  ( x  e.  dom  ( A  |`  B )  <->  E. y <. x ,  y >.  e.  ( A  |`  B ) )
3 19.41v 1842 . . . . 5  |-  ( E. y ( <. x ,  y >.  e.  A  /\  x  e.  B
)  <->  ( E. y <. x ,  y >.  e.  A  /\  x  e.  B ) )
4 vex 2791 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
54opelres 4960 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  |`  B )  <-> 
( <. x ,  y
>.  e.  A  /\  x  e.  B ) )
65exbii 1569 . . . . 5  |-  ( E. y <. x ,  y
>.  e.  ( A  |`  B )  <->  E. y
( <. x ,  y
>.  e.  A  /\  x  e.  B ) )
71eldm2 4877 . . . . . 6  |-  ( x  e.  dom  A  <->  E. y <. x ,  y >.  e.  A )
87anbi1i 676 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  dom  A  /\  x  e.  B
)  <->  ( E. y <. x ,  y >.  e.  A  /\  x  e.  B ) )
93, 6, 83bitr4i 268 . . . 4  |-  ( E. y <. x ,  y
>.  e.  ( A  |`  B )  <->  ( x  e.  dom  A  /\  x  e.  B ) )
102, 9bitr2i 241 . . 3  |-  ( ( x  e.  dom  A  /\  x  e.  B
)  <->  x  e.  dom  ( A  |`  B ) )
1110ineqri 3362 . 2  |-  ( dom 
A  i^i  B )  =  dom  ( A  |`  B )
12 incom 3361 . 2  |-  ( dom 
A  i^i  B )  =  ( B  i^i  dom 
A )
1311, 12eqtr3i 2305 1  |-  dom  ( A  |`  B )  =  ( B  i^i  dom  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    i^i cin 3151   <.cop 3643   dom cdm 4689    |` cres 4691
This theorem is referenced by:  ssdmres  4977  dmresexg  4978  imadisj  5032  ndmima  5050  imainrect  5119  dmresv  5132  resdmres  5164  funimacnv  5324  fnresdisj  5354  fnres  5360  fresaunres2  5413  nfvres  5557  ssimaex  5584  fnreseql  5635  respreima  5654  ffvresb  5690  fsnunfv  5720  funfvima  5753  funiunfv  5774  offres  6092  fnwelem  6230  smores  6369  smores3  6370  smores2  6371  tz7.44-2  6420  tz7.44-3  6421  frfnom  6447  sbthlem5  6975  sbthlem7  6977  domss2  7020  imafi  7148  ordtypelem4  7236  wdomima2g  7300  r0weon  7640  imadomg  8159  dmaddpi  8514  dmmulpi  8515  ltweuz  11024  limsupgle  11951  setsres  13174  gsumzaddlem  15203  dprdcntz2  15273  lmres  17028  imacmp  17124  qtoptop2  17390  kqdisj  17423  metreslem  17926  setsmstopn  18024  ismbl  18885  mbfres  18999  dvres3a  19264  cpnres  19286  dvlipcn  19341  dvlip2  19342  c1lip3  19346  dvcnvrelem1  19364  dvcvx  19367  dvlog  19998  hlimcaui  21816  dmhashres  23174  eupares  23899  dfrdg2  24152  sltres  24318  nodense  24343  nofulllem5  24360  caures  26476  ssbnd  26512  mapfzcons1  26794  coeq0  26831  diophrw  26838  eldioph2lem1  26839  eldioph2lem2  26840  eldmressn  27982  dmressnsn  27983  fnresfnco  27989  funcoressn  27990  funressnfv  27991  afvres  28034
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-br 4024  df-opab 4078  df-xp 4695  df-dm 4699  df-res 4701
  Copyright terms: Public domain W3C validator