MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmres Structured version   Unicode version

Theorem dmres 5202
Description: The domain of a restriction. Exercise 14 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 1-Aug-1994.)
Assertion
Ref Expression
dmres  |-  dom  ( A  |`  B )  =  ( B  i^i  dom  A )

Proof of Theorem dmres
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2968 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
21eldm2 5103 . . . 4  |-  ( x  e.  dom  ( A  |`  B )  <->  E. y <. x ,  y >.  e.  ( A  |`  B ) )
3 19.41v 1928 . . . . 5  |-  ( E. y ( <. x ,  y >.  e.  A  /\  x  e.  B
)  <->  ( E. y <. x ,  y >.  e.  A  /\  x  e.  B ) )
4 vex 2968 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
54opelres 5186 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  |`  B )  <-> 
( <. x ,  y
>.  e.  A  /\  x  e.  B ) )
65exbii 1593 . . . . 5  |-  ( E. y <. x ,  y
>.  e.  ( A  |`  B )  <->  E. y
( <. x ,  y
>.  e.  A  /\  x  e.  B ) )
71eldm2 5103 . . . . . 6  |-  ( x  e.  dom  A  <->  E. y <. x ,  y >.  e.  A )
87anbi1i 678 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  dom  A  /\  x  e.  B
)  <->  ( E. y <. x ,  y >.  e.  A  /\  x  e.  B ) )
93, 6, 83bitr4i 270 . . . 4  |-  ( E. y <. x ,  y
>.  e.  ( A  |`  B )  <->  ( x  e.  dom  A  /\  x  e.  B ) )
102, 9bitr2i 243 . . 3  |-  ( ( x  e.  dom  A  /\  x  e.  B
)  <->  x  e.  dom  ( A  |`  B ) )
1110ineqri 3523 . 2  |-  ( dom 
A  i^i  B )  =  dom  ( A  |`  B )
12 incom 3522 . 2  |-  ( dom 
A  i^i  B )  =  ( B  i^i  dom 
A )
1311, 12eqtr3i 2465 1  |-  dom  ( A  |`  B )  =  ( B  i^i  dom  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 360   E.wex 1551    = wceq 1654    e. wcel 1728    i^i cin 3308   <.cop 3846   dom cdm 4913    |` cres 4915
This theorem is referenced by:  ssdmres  5203  dmresexg  5204  imadisj  5258  ndmima  5276  imainrect  5347  dmresv  5364  resdmres  5396  funimacnv  5560  fnresdisj  5590  fnres  5596  fresaunres2  5650  nfvres  5791  ssimaex  5824  fnreseql  5876  respreima  5895  ffvresb  5936  fsnunfv  5969  funfvima  6009  funiunfv  6031  offres  6355  fnwelem  6497  smores  6650  smores3  6651  smores2  6652  tz7.44-2  6701  tz7.44-3  6702  frfnom  6728  sbthlem5  7257  sbthlem7  7259  domss2  7302  imafi  7435  ordtypelem4  7526  wdomima2g  7590  r0weon  7932  imadomg  8450  dmaddpi  8805  dmmulpi  8806  ltweuz  11339  limsupgle  12309  setsres  13533  gsumzaddlem  15564  dprdcntz2  15634  lmres  17402  imacmp  17498  qtoptop2  17769  kqdisj  17802  metreslem  18430  setsmstopn  18546  ismbl  19460  mbfres  19572  dvres3a  19839  cpnres  19861  dvlipcn  19916  dvlip2  19917  c1lip3  19921  dvcnvrelem1  19939  dvcvx  19942  dvlog  20580  cusgrasizeindslem2  21521  eupares  21735  hlimcaui  22777  dmhashres  24192  dfrdg2  25458  sltres  25654  nodense  25679  nofulllem5  25696  caures  26508  ssbnd  26539  mapfzcons1  26885  coeq0  26922  diophrw  26929  eldioph2lem1  26930  eldioph2lem2  26931  eldmressn  28072  dmressnsn  28073  fnresfnco  28078  afvres  28124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-sep 4361  ax-nul 4369  ax-pr 4438
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2717  df-rex 2718  df-rab 2721  df-v 2967  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-nul 3617  df-if 3768  df-sn 3849  df-pr 3850  df-op 3852  df-br 4244  df-opab 4298  df-xp 4919  df-dm 4923  df-res 4925
  Copyright terms: Public domain W3C validator