Theorem dmres 3386

Description: The domain of a restriction. Exercise 14 of [TakeutiZaring] p. 25.

Assertion

Ref	Expression
dmres	|- dom ( A |` B) = (B i^i dom A)

Proof of Theorem dmres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1816	. . . . . 6 |- y e. V
2	1	opelres 3378	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. (A |` B) <-> (<.x, y>. e. A /\ x e. B))
3	2	exbii 1053	. . . 4 |- (E.y<.x, y>. e. (A |` B) <-> E.y(<.x, y>. e. A /\ x e. B))
4		visset 1816	. . . . 5 |- x e. V
5	4	eldm2 3314	. . . 4 |- (x e. dom ( A |` B) <-> E.y<.x, y>. e. (A |` B))
6	4	eldm2 3314	. . . . . 6 |- (x e. dom A <-> E.y<.x, y>. e. A)
7	6	anbi1i 483	. . . . 5 |- ((x e. dom A /\ x e. B) <-> (E.y<.x, y>. e. A /\ x e. B))
8		19.41v 1307	. . . . 5 |- (E.y(<.x, y>. e. A /\ x e. B) <-> (E.y<.x, y>. e. A /\ x e. B))
9	7, 8	bitr4 176	. . . 4 |- ((x e. dom A /\ x e. B) <-> E.y(<.x, y>. e. A /\ x e. B))
10	3, 5, 9	3bitr4r 184	. . 3 |- ((x e. dom A /\ x e. B) <-> x e. dom ( A |` B))
11	10	ineqri 2212	. 2 |- (dom A i^i B) = dom ( A |` B)
12		incom 2211	. 2 |- (dom A i^i B) = (B i^i dom A)
13	11, 12	eqtr3 1500	1 |- dom ( A |` B) = (B i^i dom A)

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  E.wex 982   i^i cin 2049  <.cop 2415  dom cdm 3176   |` cres 3178

This theorem is referenced by:  ssdmres 3387  dmresexg 3388  imadisj 3428  ndmima 3440  dmresv 3496  resdmres 3503  funimacnv 3577  fnresdisj 3603  nfvres 3754  ssimaex 3774  funfvima 3858  tz7.44-2 3935  tz7.44-3 3936  frfnom 3957  tz7.48-2 3963  sbthlem5 4457  sbthlem7 4459  imadomg 4816  dmaddpi 5030  dmmulpi 5031  metssba 7806  metres 7820  cncfmet 7902  remetba 7906

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-br 2625  df-opab 2672  df-xp 3190  df-dm 3194  df-res 3196

Copyright terms: Public domain