Theorem dmrnssfld 3363

Description: The domain and range of a class are included in its double union.

Assertion

Ref	Expression
dmrnssfld	|- (dom A u. ran A) (_ U.U.A

Proof of Theorem dmrnssfld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1816	. . . . 5 |- x e. V
2	1	eldm2 3314	. . . 4 |- (x e. dom A <-> E.y<.x, y>. e. A)
3	1	pri1 2454	. . . . . 6 |- x e. {x, y}
4		uniopel 2815	. . . . . . . . 9 |- (<.x, y>. e. A -> U.<.x, y>. e. U.A)
5		uniop 2814	. . . . . . . . 9 |- U.<.x, y>. = {x, y}
6	4, 5	syl5eqelr 1556	. . . . . . . 8 |- (<.x, y>. e. A -> {x, y} e. U.A)
7		elssuni 2530	. . . . . . . 8 |- ({x, y} e. U.A -> {x, y} (_ U.U.A)
8	6, 7	syl 10	. . . . . . 7 |- (<.x, y>. e. A -> {x, y} (_ U.U.A)
9	8	sseld 2070	. . . . . 6 |- (<.x, y>. e. A -> (x e. {x, y} -> x e. U.U.A))
10	3, 9	mpi 44	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. A -> x e. U.U.A)
11	10	19.23aiv 1297	. . . 4 |- (E.y<.x, y>. e. A -> x e. U.U.A)
12	2, 11	sylbi 199	. . 3 |- (x e. dom A -> x e. U.U.A)
13	12	ssriv 2072	. 2 |- dom A (_ U.U.A
14		visset 1816	. . . . 5 |- y e. V
15	14	elrn2 3355	. . . 4 |- (y e. ran A <-> E.x<.x, y>. e. A)
16	14	pri2 2455	. . . . . 6 |- y e. {x, y}
17	8	sseld 2070	. . . . . 6 |- (<.x, y>. e. A -> (y e. {x, y} -> y e. U.U.A))
18	16, 17	mpi 44	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. A -> y e. U.U.A)
19	18	19.23aiv 1297	. . . 4 |- (E.x<.x, y>. e. A -> y e. U.U.A)
20	15, 19	sylbi 199	. . 3 |- (y e. ran A -> y e. U.U.A)
21	20	ssriv 2072	. 2 |- ran A (_ U.U.A
22	13, 21	unssi 2208	1 |- (dom A u. ran A) (_ U.U.A

Syntax hints:   e. wcel 960  E.wex 982   u. cun 2048   (_ wss 2050  {cpr 2414  <.cop 2415  U.cuni 2507  dom cdm 3176  ran crn 3177

This theorem is referenced by:  dmexg 3364  rnexg 3365  asymref 3445  asymref2 3446  relfld 3521  psdmrn 8644

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-cnv 3192  df-dm 3194  df-rn 3195

Copyright terms: Public domain