Theorem dmsn0 3330

Description: The domain of the singleton of the empty set is empty.

Assertion

Ref	Expression
dmsn0	|- dom {(/)} = (/)

Proof of Theorem dmsn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opnz 2801	. . . . . 6 |- -. <.x, y>. = (/)
2		opex 2788	. . . . . . 7 |- <.x, y>. e. V
3	2	elsnc 2435	. . . . . 6 |- (<.x, y>. e. {(/)} <-> <.x, y>. = (/))
4	1, 3	mtbir 192	. . . . 5 |- -. <.x, y>. e. {(/)}
5	4	nex 1103	. . . 4 |- -. E.y<.x, y>. e. {(/)}
6		eqid 1478	. . . . 5 |- x = x
7	6	negbi 87	. . . 4 |- -. -. x = x
8	5, 7	2false 721	. . 3 |- (E.y<.x, y>. e. {(/)} <-> -. x = x)
9	8	abbii 1578	. 2 |- {x | E.y<.x, y>. e. {(/)}} = {x | -. x = x}
10		dfdm3 3308	. 2 |- dom {(/)} = {x | E.y<.x, y>. e. {(/)}}
11		dfnul2 2285	. 2 |- (/) = {x | -. x = x}
12	9, 10, 11	3eqtr4 1508	1 |- dom {(/)} = (/)

Syntax hints:  -. wn 2   = wceq 958   e. wcel 960  E.wex 982  {cab 1466  (/)c0 2283  {csn 2413  <.cop 2415  dom cdm 3176

This theorem is referenced by:  1st0 4089  2nd0 4090

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-br 2625  df-dm 3194

Copyright terms: Public domain