Theorem dmsnsn0 3320

Description: The domain of the singleton of the singleton of the empty set is empty.

Assertion

Ref	Expression
dmsnsn0	|- dom {{(/)}} = (/)

Proof of Theorem dmsnsn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1809	. . . . . . . . 9 |- y e. V
2	1	olci 271	. . . . . . . 8 |- (x e. V \/ y e. V)
3		oran 312	. . . . . . . 8 |- ((x e. V \/ y e. V) <-> -. (-. x e. V /\ -. y e. V))
4	2, 3	mpbi 189	. . . . . . 7 |- -. (-. x e. V /\ -. y e. V)
5		opprc3 2792	. . . . . . 7 |- ((-. x e. V /\ -. y e. V) <-> <.x, y>. = {(/)})
6	4, 5	mtbi 191	. . . . . 6 |- -. <.x, y>. = {(/)}
7		opex 2777	. . . . . . 7 |- <.x, y>. e. V
8	7	elsnc 2427	. . . . . 6 |- (<.x, y>. e. {{(/)}} <-> <.x, y>. = {(/)})
9	6, 8	mtbir 192	. . . . 5 |- -. <.x, y>. e. {{(/)}}
10	9	nex 1099	. . . 4 |- -. E.y<.x, y>. e. {{(/)}}
11		eqid 1473	. . . . 5 |- x = x
12	11	negbi 87	. . . 4 |- -. -. x = x
13	10, 12	2false 718	. . 3 |- (E.y<.x, y>. e. {{(/)}} <-> -. x = x)
14	13	abbii 1572	. 2 |- {x | E.y<.x, y>. e. {{(/)}}} = {x | -. x = x}
15		dfdm3 3297	. 2 |- dom {{(/)}} = {x | E.y<.x, y>. e. {{(/)}}}
16		dfnul2 2278	. 2 |- (/) = {x | -. x = x}
17	14, 15, 16	3eqtr4 1502	1 |- dom {{(/)}} = (/)

Syntax hints:  -. wn 2   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  E.wex 978  {cab 1461  Vcvv 1807  (/)c0 2276  {csn 2405  <.cop 2407  dom cdm 3165

This theorem is referenced by:  dmsnop 3323

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-br 2615  df-dm 3183

Copyright terms: Public domain