Theorem dmsnsnsn 3578

Description: The domain of the singleton of the singleton of a singleton.

Assertion

Ref	Expression
dmsnsnsn	|- dom {{{A}}} = {A}

Proof of Theorem dmsnsnsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsn2 2478	. . . . . 6 |- {A} = {A, A}
2		preq2 2510	. . . . . 6 |- ({A} = {A, A} -> {{A}, {A}} = {{A}, {A, A}})
3	1, 2	ax-mp 7	. . . . 5 |- {{A}, {A}} = {{A}, {A, A}}
4		dfsn2 2478	. . . . 5 |- {{A}} = {{A}, {A}}
5		df-op 2474	. . . . 5 |- <.A, A>. = {{A}, {A, A}}
6	3, 4, 5	3eqtr4ri 1549	. . . 4 |- <.A, A>. = {{A}}
7	6	sneqi 2476	. . 3 |- {<.A, A>.} = {{{A}}}
8	7	dmeqi 3403	. 2 |- dom {<.A, A>.} = dom {{{A}}}
9		dmsnop 3577	. 2 |- dom {<.A, A>.} = {A}
10	8, 9	eqtr3i 1540	1 |- dom {{{A}}} = {A}

Syntax hints:   = wceq 992  {csn 2467  {cpr 2468  <.cop 2469  dom cdm 3251

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-v 1858  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-nul 2333  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-op 2474  df-br 2693  df-opab 2741  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-dm 3269  df-rn 3270

Copyright terms: Public domain