Theorem dmss 3305

Description: Subset theorem for domain.

Assertion

Ref	Expression
dmss	|- (A (_ B -> dom A (_ dom B)

Proof of Theorem dmss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 2059	. . . 4 |- (A (_ B -> (<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B))
2	1	19.22dv 1288	. . 3 |- (A (_ B -> (E.y<.x, y>. e. A -> E.y<.x, y>. e. B))
3		visset 1809	. . . 4 |- x e. V
4	3	eldm2 3303	. . 3 |- (x e. dom A <-> E.y<.x, y>. e. A)
5	3	eldm2 3303	. . 3 |- (x e. dom B <-> E.y<.x, y>. e. B)
6	2, 4, 5	3imtr4g 552	. 2 |- (A (_ B -> (x e. dom A -> x e. dom B))
7	6	ssrdv 2066	1 |- (A (_ B -> dom A (_ dom B)

Syntax hints:   -> wi 3   e. wcel 956  E.wex 978   (_ wss 2043  <.cop 2407  dom cdm 3165

This theorem is referenced by:  dmeq 3306  dmv 3322  rnss 3337  ssxpr 3467  funssxp 3629  dff2 3808  tfrlem13 3914  ecopoprdm 4299  dmen 4394  brdom3 4781  brdom5 4782  brdom4 4783  metss 7776  lmsslem 7903  lmss 7904  caussi 7905  causs 7906  dmhmph 10455  reldded 10554  reldcat 10575

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-12 966  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-v 1808  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-br 2615  df-dm 3183

Copyright terms: Public domain