Theorem dmun 3323

Description: The domain of a union is the union of domains. Exercise 56(a) of [Enderton] p. 65.

Assertion

Ref	Expression
dmun	|- dom ( A u. B) = (dom A u. dom B)

Proof of Theorem dmun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elun 2176	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. (A u. B) <-> (<.x, y>. e. A \/ <.x, y>. e. B))
2	1	exbii 1053	. . . 4 |- (E.y<.x, y>. e. (A u. B) <-> E.y(<.x, y>. e. A \/ <.x, y>. e. B))
3		19.43 1090	. . . 4 |- (E.y(<.x, y>. e. A \/ <.x, y>. e. B) <-> (E.y<.x, y>. e. A \/ E.y<.x, y>. e. B))
4	2, 3	bitr 173	. . 3 |- (E.y<.x, y>. e. (A u. B) <-> (E.y<.x, y>. e. A \/ E.y<.x, y>. e. B))
5		visset 1816	. . . 4 |- x e. V
6	5	eldm2 3314	. . 3 |- (x e. dom ( A u. B) <-> E.y<.x, y>. e. (A u. B))
7		elun 2176	. . . 4 |- (x e. (dom A u. dom B) <-> (x e. dom A \/ x e. dom B))
8	5	eldm2 3314	. . . . 5 |- (x e. dom A <-> E.y<.x, y>. e. A)
9	5	eldm2 3314	. . . . 5 |- (x e. dom B <-> E.y<.x, y>. e. B)
10	8, 9	orbi12i 257	. . . 4 |- ((x e. dom A \/ x e. dom B) <-> (E.y<.x, y>. e. A \/ E.y<.x, y>. e. B))
11	7, 10	bitr 173	. . 3 |- (x e. (dom A u. dom B) <-> (E.y<.x, y>. e. A \/ E.y<.x, y>. e. B))
12	4, 6, 11	3bitr4 183	. 2 |- (x e. dom ( A u. B) <-> x e. (dom A u. dom B))
13	12	eqriv 1477	1 |- dom ( A u. B) = (dom A u. dom B)

Syntax hints:   \/ wo 222   = wceq 958   e. wcel 960  E.wex 982   u. cun 2048  <.cop 2415  dom cdm 3176

This theorem is referenced by:  rnun 3463  fnun 3600  tfrlem10 3926  sbthlem5 4457  fodomr 4489

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-12 970  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-v 1815  df-un 2053  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-br 2625  df-dm 3194

Copyright terms: Public domain