MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmuni Unicode version

Theorem dmuni 4841
Description: The domain of a union. Part of Exercise 8 of [Enderton] p. 41. (Contributed by NM, 3-Feb-2004.)
Assertion
Ref Expression
dmuni  |-  dom  U.  A  =  U_ x  e.  A  dom  x
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem dmuni
StepHypRef Expression
1 excom 1765 . . . . 5  |-  ( E. z E. x (
<. y ,  z >.  e.  x  /\  x  e.  A )  <->  E. x E. z ( <. y ,  z >.  e.  x  /\  x  e.  A
) )
2 ancom 439 . . . . . . 7  |-  ( ( E. z <. y ,  z >.  e.  x  /\  x  e.  A
)  <->  ( x  e.  A  /\  E. z <. y ,  z >.  e.  x ) )
3 19.41v 2035 . . . . . . 7  |-  ( E. z ( <. y ,  z >.  e.  x  /\  x  e.  A
)  <->  ( E. z <. y ,  z >.  e.  x  /\  x  e.  A ) )
4 vex 2743 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
54eldm2 4830 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  dom  x  <->  E. z <. y ,  z >.  e.  x )
65anbi2i 678 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  dom  x )  <-> 
( x  e.  A  /\  E. z <. y ,  z >.  e.  x
) )
72, 3, 63bitr4i 270 . . . . . 6  |-  ( E. z ( <. y ,  z >.  e.  x  /\  x  e.  A
)  <->  ( x  e.  A  /\  y  e. 
dom  x ) )
87exbii 1580 . . . . 5  |-  ( E. x E. z (
<. y ,  z >.  e.  x  /\  x  e.  A )  <->  E. x
( x  e.  A  /\  y  e.  dom  x ) )
91, 8bitri 242 . . . 4  |-  ( E. z E. x (
<. y ,  z >.  e.  x  /\  x  e.  A )  <->  E. x
( x  e.  A  /\  y  e.  dom  x ) )
10 eluni 3771 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  U. A  <->  E. x
( <. y ,  z
>.  e.  x  /\  x  e.  A ) )
1110exbii 1580 . . . 4  |-  ( E. z <. y ,  z
>.  e.  U. A  <->  E. z E. x ( <. y ,  z >.  e.  x  /\  x  e.  A
) )
12 df-rex 2521 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  y  e.  dom  x  <->  E. x
( x  e.  A  /\  y  e.  dom  x ) )
139, 11, 123bitr4i 270 . . 3  |-  ( E. z <. y ,  z
>.  e.  U. A  <->  E. x  e.  A  y  e.  dom  x )
144eldm2 4830 . . 3  |-  ( y  e.  dom  U.  A  <->  E. z <. y ,  z
>.  e.  U. A )
15 eliun 3850 . . 3  |-  ( y  e.  U_ x  e.  A  dom  x  <->  E. x  e.  A  y  e.  dom  x )
1613, 14, 153bitr4i 270 . 2  |-  ( y  e.  dom  U.  A  <->  y  e.  U_ x  e.  A  dom  x )
1716eqriv 2253 1  |-  dom  U.  A  =  U_ x  e.  A  dom  x
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 360   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621   E.wrex 2517   <.cop 3584   U.cuni 3768   U_ciun 3846   dom cdm 4626
This theorem is referenced by:  tfrlem8  6333  axdc3lem2  8010  wfrlem7  23596  wfrlem9  23598  frrlem5d  23622  frrlem5e  23623  frrlem7  23625  axfelem18  23697  bnj1400  27880
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ral 2520  df-rex 2521  df-rab 2523  df-v 2742  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-nul 3398  df-if 3507  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3769  df-iun 3848  df-br 3964  df-dm 4644
  Copyright terms: Public domain W3C validator