MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmuni Unicode version

Theorem dmuni 4887
Description: The domain of a union. Part of Exercise 8 of [Enderton] p. 41. (Contributed by NM, 3-Feb-2004.)
Assertion
Ref Expression
dmuni  |-  dom  U.  A  =  U_ x  e.  A  dom  x
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem dmuni
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 excom 1788 . . . . 5  |-  ( E. z E. x (
<. y ,  z >.  e.  x  /\  x  e.  A )  <->  E. x E. z ( <. y ,  z >.  e.  x  /\  x  e.  A
) )
2 ancom 437 . . . . . . 7  |-  ( ( E. z <. y ,  z >.  e.  x  /\  x  e.  A
)  <->  ( x  e.  A  /\  E. z <. y ,  z >.  e.  x ) )
3 19.41v 1844 . . . . . . 7  |-  ( E. z ( <. y ,  z >.  e.  x  /\  x  e.  A
)  <->  ( E. z <. y ,  z >.  e.  x  /\  x  e.  A ) )
4 vex 2792 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
54eldm2 4876 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  dom  x  <->  E. z <. y ,  z >.  e.  x )
65anbi2i 675 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  dom  x )  <-> 
( x  e.  A  /\  E. z <. y ,  z >.  e.  x
) )
72, 3, 63bitr4i 268 . . . . . 6  |-  ( E. z ( <. y ,  z >.  e.  x  /\  x  e.  A
)  <->  ( x  e.  A  /\  y  e. 
dom  x ) )
87exbii 1569 . . . . 5  |-  ( E. x E. z (
<. y ,  z >.  e.  x  /\  x  e.  A )  <->  E. x
( x  e.  A  /\  y  e.  dom  x ) )
91, 8bitri 240 . . . 4  |-  ( E. z E. x (
<. y ,  z >.  e.  x  /\  x  e.  A )  <->  E. x
( x  e.  A  /\  y  e.  dom  x ) )
10 eluni 3831 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  U. A  <->  E. x
( <. y ,  z
>.  e.  x  /\  x  e.  A ) )
1110exbii 1569 . . . 4  |-  ( E. z <. y ,  z
>.  e.  U. A  <->  E. z E. x ( <. y ,  z >.  e.  x  /\  x  e.  A
) )
12 df-rex 2550 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  y  e.  dom  x  <->  E. x
( x  e.  A  /\  y  e.  dom  x ) )
139, 11, 123bitr4i 268 . . 3  |-  ( E. z <. y ,  z
>.  e.  U. A  <->  E. x  e.  A  y  e.  dom  x )
144eldm2 4876 . . 3  |-  ( y  e.  dom  U.  A  <->  E. z <. y ,  z
>.  e.  U. A )
15 eliun 3910 . . 3  |-  ( y  e.  U_ x  e.  A  dom  x  <->  E. x  e.  A  y  e.  dom  x )
1613, 14, 153bitr4i 268 . 2  |-  ( y  e.  dom  U.  A  <->  y  e.  U_ x  e.  A  dom  x )
1716eqriv 2281 1  |-  dom  U.  A  =  U_ x  e.  A  dom  x
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1685   E.wrex 2545   <.cop 3644   U.cuni 3828   U_ciun 3906    dom cdm 4688
This theorem is referenced by:  tfrlem8  6396  axdc3lem2  8073  wfrlem7  23666  wfrlem9  23668  frrlem5d  23692  frrlem5e  23693  frrlem7  23695  axfelem18  23767  bnj1400  28147
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ral 2549  df-rex 2550  df-rab 2553  df-v 2791  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-dm 4698
  Copyright terms: Public domain W3C validator