Theorem dmxp 3327

Description: The domain of a cross product. Part of Theorem 3.13(x) of [Monk1] p. 37.

Assertion

Ref	Expression
dmxp	|- (B =/= (/) -> dom ( A X. B) = A)

Proof of Theorem dmxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0 2284	. . . . 5 |- (B =/= (/) <-> E.y y e. B)
2	1	biimp 151	. . . 4 |- (B =/= (/) -> E.y y e. B)
3	2	a1d 12	. . 3 |- (B =/= (/) -> (x e. A -> E.y y e. B))
4	3	r19.21aiv 1710	. 2 |- (B =/= (/) -> A.x e. A E.y y e. B)
5		dmopab3 3317	. . 3 |- (A.x e. A E.y y e. B <-> dom {<.x, y>. | (x e. A /\ y e. B)} = A)
6		df-xp 3179	. . . . 5 |- (A X. B) = {<.x, y>. | (x e. A /\ y e. B)}
7	6	dmeqi 3307	. . . 4 |- dom ( A X. B) = dom {<.x, y>. | (x e. A /\ y e. B)}
8	7	eqeq1i 1479	. . 3 |- (dom ( A X. B) = A <-> dom {<.x, y>. | (x e. A /\ y e. B)} = A)
9	5, 8	bitr4 176	. 2 |- (A.x e. A E.y y e. B <-> dom ( A X. B) = A)
10	4, 9	sylib 198	1 |- (B =/= (/) -> dom ( A X. B) = A)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  E.wex 978   =/= wne 1582  A.wral 1642  (/)c0 2276  {copab 2661   X. cxp 3163  dom cdm 3165

This theorem is referenced by:  dmxpid 3328  rnxp 3464  dmxpss 3465  ssxpr 3467  xpexr2 3472  unixp 3509  fconst 3649  fodomr 4469  climuz0 7053

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-br 2615  df-opab 2662  df-xp 3179  df-dm 3183

Copyright terms: Public domain