Theorem dmxpid 3339

Description: The domain of a square cross product.

Assertion

Ref	Expression
dmxpid	|- dom ( A X. A) = A

Proof of Theorem dmxpid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dm0 3329	. . 3 |- dom (/) = (/)
2		xpeq1 3206	. . . . 5 |- (A = (/) -> (A X. A) = ((/) X. A))
3		xp0r 3245	. . . . 5 |- ((/) X. A) = (/)
4	2, 3	syl6eq 1526	. . . 4 |- (A = (/) -> (A X. A) = (/))
5	4	dmeqd 3319	. . 3 |- (A = (/) -> dom ( A X. A) = dom (/))
6		id 59	. . 3 |- (A = (/) -> A = (/))
7	1, 5, 6	3eqtr4a 1535	. 2 |- (A = (/) -> dom ( A X. A) = A)
8		dmxp 3338	. 2 |- (A =/= (/) -> dom ( A X. A) = A)
9	7, 8	pm2.61ine 1637	1 |- dom ( A X. A) = A

Syntax hints:   = wceq 958  (/)c0 2283   X. cxp 3174  dom cdm 3176

This theorem is referenced by:  dmxpin 3340  xpid11 3341  ecopoprdm 4315  ismet 7795  dfms2 7796  ismeti 7799  metreslem 7819  cnmetba 7900  cncfmet 7902  remetba 7906  xplmi 7970  xplmi2 7971  xplm 7972  xpcn 7973  oprcn 7974  bopcnlem3 7980  bopcn 7982  grprndm 8051  vcoprne 8194  imsba 8317  dfhnorm2 8983  hhshsslem1 9132  dmhmph 10518  reldded 10645  reldcat 10666

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-br 2625  df-opab 2672  df-xp 3190  df-dm 3194

Copyright terms: Public domain