Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochexmid Unicode version

Theorem dochexmid 30927
Description: Excluded middle law for closed subspaces, which is equivalent to (and derived from) the orthomodular law dihoml4 30836. Lemma 3.3(2) in [Holland95] p. 215. In our proof, we use the variables  X,  M,  p,  q,  r in place of Hollands' l, m, P, Q, L respectively. (pexmidALTN 29436 analog.) (Contributed by NM, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dochexmid.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dochexmid.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
dochexmid.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dochexmid.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
dochexmid.s  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
dochexmid.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  U )
dochexmid.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
dochexmid.x  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
dochexmid.c  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X )
Assertion
Ref Expression
dochexmid  |-  ( ph  ->  ( X  .(+)  (  ._|_  `  X ) )  =  V )

Proof of Theorem dochexmid
StepHypRef Expression
1 id 21 . . . 4  |-  ( X  =  { ( 0g
`  U ) }  ->  X  =  {
( 0g `  U
) } )
2 fveq2 5487 . . . 4  |-  ( X  =  { ( 0g
`  U ) }  ->  (  ._|_  `  X
)  =  (  ._|_  `  { ( 0g `  U ) } ) )
31, 2oveq12d 5839 . . 3  |-  ( X  =  { ( 0g
`  U ) }  ->  ( X  .(+)  ( 
._|_  `  X ) )  =  ( { ( 0g `  U ) }  .(+)  (  ._|_  `  { ( 0g `  U ) } ) ) )
4 dochexmid.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
5 dochexmid.u . . . . . . 7  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
6 dochexmid.k . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
74, 5, 6dvhlmod 30569 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
8 dochexmid.v . . . . . . . . . 10  |-  V  =  ( Base `  U
)
9 eqid 2286 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  U )  =  ( 0g `  U
)
108, 9lmod0vcl 15655 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  LMod  ->  ( 0g
`  U )  e.  V )
117, 10syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0g `  U
)  e.  V )
1211snssd 3763 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { ( 0g `  U ) }  C_  V )
13 dochexmid.s . . . . . . . 8  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
14 dochexmid.o . . . . . . . 8  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
154, 5, 8, 13, 14dochlss 30813 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  { ( 0g
`  U ) } 
C_  V )  -> 
(  ._|_  `  { ( 0g `  U ) } )  e.  S )
166, 12, 15syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  { ( 0g `  U ) } )  e.  S
)
1713lsssubg 15710 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  (  ._|_  `  { ( 0g
`  U ) } )  e.  S )  ->  (  ._|_  `  {
( 0g `  U
) } )  e.  (SubGrp `  U )
)
187, 16, 17syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  { ( 0g `  U ) } )  e.  (SubGrp `  U ) )
19 dochexmid.p . . . . . 6  |-  .(+)  =  (
LSSum `  U )
209, 19lsm02 14977 . . . . 5  |-  ( ( 
._|_  `  { ( 0g
`  U ) } )  e.  (SubGrp `  U )  ->  ( { ( 0g `  U ) }  .(+)  ( 
._|_  `  { ( 0g
`  U ) } ) )  =  ( 
._|_  `  { ( 0g
`  U ) } ) )
2118, 20syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( { ( 0g
`  U ) } 
.(+)  (  ._|_  `  {
( 0g `  U
) } ) )  =  (  ._|_  `  {
( 0g `  U
) } ) )
224, 5, 14, 8, 9doch0 30817 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  ._|_  `  { ( 0g `  U ) } )  =  V )
236, 22syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  { ( 0g `  U ) } )  =  V )
2421, 23eqtrd 2318 . . 3  |-  ( ph  ->  ( { ( 0g
`  U ) } 
.(+)  (  ._|_  `  {
( 0g `  U
) } ) )  =  V )
253, 24sylan9eqr 2340 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  =  { ( 0g `  U ) } )  ->  ( X  .(+)  ( 
._|_  `  X ) )  =  V )
26 eqid 2286 . . 3  |-  ( LSpan `  U )  =  (
LSpan `  U )
27 eqid 2286 . . 3  |-  (LSAtoms `  U
)  =  (LSAtoms `  U
)
286adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  { ( 0g `  U
) } )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
29 dochexmid.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
3029adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  { ( 0g `  U
) } )  ->  X  e.  S )
31 simpr 449 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  { ( 0g `  U
) } )  ->  X  =/=  { ( 0g
`  U ) } )
32 dochexmid.c . . . 4  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X )
3332adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  { ( 0g `  U
) } )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X )
344, 14, 5, 8, 13, 26, 19, 27, 28, 30, 9, 31, 33dochexmidlem8 30926 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  { ( 0g `  U
) } )  -> 
( X  .(+)  (  ._|_  `  X ) )  =  V )
3525, 34pm2.61dane 2527 1  |-  ( ph  ->  ( X  .(+)  (  ._|_  `  X ) )  =  V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1625    e. wcel 1687    =/= wne 2449    C_ wss 3155   {csn 3643   ` cfv 5223  (class class class)co 5821   Basecbs 13144   0gc0g 13396  SubGrpcsubg 14611   LSSumclsm 14941   LModclmod 15623   LSubSpclss 15685   LSpanclspn 15724  LSAtomsclsa 28433   HLchlt 28809   LHypclh 29442   DVecHcdvh 30537   ocHcoch 30806
This theorem is referenced by:  lclkrlem2v  30987  hdmapglem7a  31389  hlhilhillem  31422
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1638  ax-8 1646  ax-13 1689  ax-14 1691  ax-6 1706  ax-7 1711  ax-11 1718  ax-12 1870  ax-ext 2267  ax-rep 4134  ax-sep 4144  ax-nul 4152  ax-pow 4189  ax-pr 4215  ax-un 4513  ax-cnex 8790  ax-resscn 8791  ax-1cn 8792  ax-icn 8793  ax-addcl 8794  ax-addrcl 8795  ax-mulcl 8796  ax-mulrcl 8797  ax-mulcom 8798  ax-addass 8799  ax-mulass 8800  ax-distr 8801  ax-i2m1 8802  ax-1ne0 8803  ax-1rid 8804  ax-rnegex 8805  ax-rrecex 8806  ax-cnre 8807  ax-pre-lttri 8808  ax-pre-lttrn 8809  ax-pre-ltadd 8810  ax-pre-mulgt0 8811
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-fal 1313  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1633  df-eu 2150  df-mo 2151  df-clab 2273  df-cleq 2279  df-clel 2282  df-nfc 2411  df-ne 2451  df-nel 2452  df-ral 2551  df-rex 2552  df-reu 2553  df-rmo 2554  df-rab 2555  df-v 2793  df-sbc 2995  df-csb 3085  df-dif 3158  df-un 3160  df-in 3162  df-ss 3169  df-pss 3171  df-nul 3459  df-if 3569  df-pw 3630  df-sn 3649  df-pr 3650  df-tp 3651  df-op 3652  df-uni 3831  df-int 3866  df-iun 3910  df-iin 3911  df-br 4027  df-opab 4081  df-mpt 4082  df-tr 4117  df-eprel 4306  df-id 4310  df-po 4315  df-so 4316  df-fr 4353  df-we 4355  df-ord 4396  df-on 4397  df-lim 4398  df-suc 4399  df-om 4658  df-xp 4696  df-rel 4697  df-cnv 4698  df-co 4699  df-dm 4700  df-rn 4701  df-res 4702  df-ima 4703  df-fun 5225  df-fn 5226  df-f 5227  df-f1 5228  df-fo 5229  df-f1o 5230  df-fv 5231  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpt2 5826  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-tpos 6197  df-iota 6254  df-undef 6293  df-riota 6301  df-recs 6385  df-rdg 6420  df-1o 6476  df-oadd 6480  df-er 6657  df-map 6771  df-en 6861  df-dom 6862  df-sdom 6863  df-fin 6864  df-pnf 8866  df-mnf 8867  df-xr 8868  df-ltxr 8869  df-le 8870  df-sub 9036  df-neg 9037  df-nn 9744  df-2 9801  df-3 9802  df-4 9803  df-5 9804  df-6 9805  df-n0 9963  df-z 10022  df-uz 10228  df-fz 10779  df-struct 13146  df-ndx 13147  df-slot 13148  df-base 13149  df-sets 13150  df-ress 13151  df-plusg 13217  df-mulr 13218  df-sca 13220  df-vsca 13221  df-0g 13400  df-mre 13484  df-mrc 13485  df-acs 13487  df-poset 14076  df-plt 14088  df-lub 14104  df-glb 14105  df-join 14106  df-meet 14107  df-p0 14141  df-p1 14142  df-lat 14148  df-clat 14210  df-mnd 14363  df-submnd 14412  df-grp 14485  df-minusg 14486  df-sbg 14487  df-subg 14614  df-cntz 14789  df-oppg 14815  df-lsm 14943  df-cmn 15087  df-abl 15088  df-mgp 15322  df-rng 15336  df-ur 15338  df-oppr 15401  df-dvdsr 15419  df-unit 15420  df-invr 15450  df-dvr 15461  df-drng 15510  df-lmod 15625  df-lss 15686  df-lsp 15725  df-lvec 15852  df-lsatoms 28435  df-lcv 28478  df-oposet 28635  df-ol 28637  df-oml 28638  df-covers 28725  df-ats 28726  df-atl 28757  df-cvlat 28781  df-hlat 28810  df-llines 28956  df-lplanes 28957  df-lvols 28958  df-lines 28959  df-psubsp 28961  df-pmap 28962  df-padd 29254  df-lhyp 29446  df-laut 29447  df-ldil 29562  df-ltrn 29563  df-trl 29617  df-tgrp 30201  df-tendo 30213  df-edring 30215  df-dveca 30461  df-disoa 30488  df-dvech 30538  df-dib 30598  df-dic 30632  df-dih 30688  df-doch 30807  df-djh 30854
  Copyright terms: Public domain W3C validator