Theorem dom0 4451

Description: A set dominated by the empty set is empty.

Assertion

Ref	Expression
dom0	|- (A ~<_ (/) <-> A = (/))

Proof of Theorem dom0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0dom 4450	. . 3 |- (/) ~<_ A
2	1	biantru 723	. 2 |- (A ~<_ (/) <-> (A ~<_ (/) /\ (/) ~<_ A))
3		0ex 2706	. . 3 |- (/) e. V
4		sbthbg 4444	. . 3 |- ((/) e. V -> ((A ~<_ (/) /\ (/) ~<_ A) <-> A ~~ (/)))
5	3, 4	ax-mp 7	. 2 |- ((A ~<_ (/) /\ (/) ~<_ A) <-> A ~~ (/))
6		en0 4410	. 2 |- (A ~~ (/) <-> A = (/))
7	2, 5, 6	3bitr 177	1 |- (A ~<_ (/) <-> A = (/))

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  Vcvv 1807  (/)c0 2276   class class class wbr 2614   ~~ cen 4354   ~<_ cdom 4355

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-er 4251  df-en 4357  df-dom 4358

Copyright terms: Public domain