Theorem domcmpc 10704

Description: The 7th "axiom" of a category - When (G(o` T)F) is defined its domain is the domain of F.

Hypotheses

Ref	Expression
cmppfcd.1	|- M = dom D
cmppfcd.2	|- D = (dom` T)
cmppfcd.3	|- C = (cod` T)
cmppfcd.4	|- R = (o` T)

Assertion

Ref	Expression
domcmpc	|- ((T e. Cat /\ F e. M /\ G e. M) -> ((D` G) = (C` F) -> (D` (GRF)) = (D` F)))

Proof of Theorem domcmpc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmppfcd.1	. . 3 |- M = dom D
2		cmppfcd.2	. . 3 |- D = (dom` T)
3		cmppfcd.3	. . 3 |- C = (cod` T)
4		cmppfcd.4	. . 3 |- R = (o` T)
5	1, 2, 3, 4	domcmpd 10679	. 2 |- ((T e. Ded /\ F e. M /\ G e. M) -> ((D` G) = (C` F) -> (D` (GRF)) = (D` F)))
6		catded 10697	. 2 |- (T e. Cat -> T e. Ded)
7	5, 6	syl3an1 859	1 |- ((T e. Cat /\ F e. M /\ G e. M) -> ((D` G) = (C` F) -> (D` (GRF)) = (D` F)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  dom cdm 3170  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  domcdom_ 10644  codccod_ 10645  oco_ 10647  Dedcded 10667  Catccat 10685

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fo 3196  df-fv 3198  df-opr 3965  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-doma 10649  df-coda 10650  df-ida 10651  df-cmpa 10652  df-ded 10668  df-cat 10686

Copyright terms: Public domain