Theorem domen 4520

Description: Dominance in terms of equinumerosity. Example 1 of [Enderton] p. 146.

Hypothesis

Ref	Expression
bren.1	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
domen	|- (A ~<_ B <-> E.x(A ~~ x /\ x (_ B))

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem domen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1859	. . . . 5 |- f e. V
2	1	f11o 3823	. . . 4 |- (f:A-1-1->B <-> E.x(f:A-1-1-onto->x /\ x (_ B))
3	2	exbii 1087	. . 3 |- (E.f f:A-1-1->B <-> E.fE.x(f:A-1-1-onto->x /\ x (_ B))
4		excom 1082	. . 3 |- (E.fE.x(f:A-1-1-onto->x /\ x (_ B) <-> E.xE.f(f:A-1-1-onto->x /\ x (_ B))
5	3, 4	bitri 171	. 2 |- (E.f f:A-1-1->B <-> E.xE.f(f:A-1-1-onto->x /\ x (_ B))
6		bren.1	. . 3 |- B e. V
7	6	brdom 4519	. 2 |- (A ~<_ B <-> E.f f:A-1-1->B)
8		visset 1859	. . . . . 6 |- x e. V
9	8	bren 4518	. . . . 5 |- (A ~~ x <-> E.f f:A-1-1-onto->x)
10	9	anbi1i 484	. . . 4 |- ((A ~~ x /\ x (_ B) <-> (E.f f:A-1-1-onto->x /\ x (_ B))
11		19.41v 1343	. . . 4 |- (E.f(f:A-1-1-onto->x /\ x (_ B) <-> (E.f f:A-1-1-onto->x /\ x (_ B))
12	10, 11	bitr4i 174	. . 3 |- ((A ~~ x /\ x (_ B) <-> E.f(f:A-1-1-onto->x /\ x (_ B))
13	12	exbii 1087	. 2 |- (E.x(A ~~ x /\ x (_ B) <-> E.xE.f(f:A-1-1-onto->x /\ x (_ B))
14	5, 7, 13	3bitr4i 181	1 |- (A ~<_ B <-> E.x(A ~~ x /\ x (_ B))

Syntax hints:   <-> wb 144   /\ wa 221   e. wcel 994  E.wex 1016  Vcvv 1857   (_ wss 2099   class class class wbr 2692  -1-1->wf1 3260  -1-1-onto->wf1o 3262   ~~ cen 4505   ~<_ cdom 4506

This theorem is referenced by:  domeng 4521  undom 4579  mapdom1 4639  mapdom2 4641  infcntss 4699  infxpidmlem10 7773  infxpidmlem12 7775

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-sep 2777  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-v 1858  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-nul 2333  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-op 2474  df-uni 2570  df-br 2693  df-opab 2741  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-dm 3269  df-rn 3270  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-en 4509  df-dom 4510

Copyright terms: Public domain