Theorem domen2 4625

Description: Equality-like theorem for equinumerosity and dominance.

Assertion

Ref	Expression
domen2	|- ((B e. D /\ A ~~ B) -> (C ~<_ A <-> C ~<_ B))

Proof of Theorem domen2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domentr 4562	. . . 4 |- ((C ~<_ A /\ A ~~ B) -> C ~<_ B)
2	1	expcom 372	. . 3 |- (A ~~ B -> (C ~<_ A -> C ~<_ B))
3	2	adantl 388	. 2 |- ((B e. D /\ A ~~ B) -> (C ~<_ A -> C ~<_ B))
4		domentr 4562	. . . 4 |- ((C ~<_ B /\ B ~~ A) -> C ~<_ A)
5	4	ex 371	. . 3 |- (C ~<_ B -> (B ~~ A -> C ~<_ A))
6		ensymg 4552	. . . 4 |- (B e. D -> (A ~~ B -> B ~~ A))
7	6	imp 348	. . 3 |- ((B e. D /\ A ~~ B) -> B ~~ A)
8	5, 7	syl5com 52	. 2 |- ((B e. D /\ A ~~ B) -> (C ~<_ B -> C ~<_ A))
9	3, 8	impbid 519	1 |- ((B e. D /\ A ~~ B) -> (C ~<_ A <-> C ~<_ B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 144   /\ wa 221   e. wcel 994   class class class wbr 2692   ~~ cen 4505   ~<_ cdom 4506

This theorem is referenced by:  finsucdom 4673  xpfi 4685  sucxpdom 4996  aleph1 5021  cdadom1 5085

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-rex 1696  df-v 1858  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-nul 2333  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-op 2474  df-uni 2570  df-br 2693  df-opab 2741  df-id 2913  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-er 4401  df-en 4509  df-dom 4510

Copyright terms: Public domain