Theorem domentr 4408

Description: Transitivity of dominance and equinumerosity.

Assertion

Ref	Expression
domentr	|- ((A ~<_ B /\ B ~~ C) -> A ~<_ C)

Proof of Theorem domentr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domtr 4402	. 2 |- ((A ~<_ B /\ B ~<_ C) -> A ~<_ C)
2		endom 4372	. 2 |- (B ~~ C -> B ~<_ C)
3	1, 2	sylan2 451	1 |- ((A ~<_ B /\ B ~~ C) -> A ~<_ C)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   class class class wbr 2614   ~~ cen 4354   ~<_ cdom 4355

This theorem is referenced by:  xpdom1 4429  domen2 4466  php 4499  fodomfi 4546  carddomi 4815  unxpdom2 4825  sucxpdom 4826  cdadom2 4914  qnnen 7454  infxpidmlem1 7503  infxpidmlem11 7513  infxpidmlem12 7514  infunabs 7516  infcdaabs 7517  infdif 7519  infxpabs 7521  infmap1 7524  aleph1irr 7528  infmap2 7531

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-en 4357  df-dom 4358

Copyright terms: Public domain