Theorem dominf 4876

Description: A nonempty set that is a subset of its union is infinite.

Hypothesis

Ref	Expression
dominf.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
dominf	|- ((A =/= (/) /\ A (_ U.A) -> om ~<_ A)

Proof of Theorem dominf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dominf.1	. 2 |- A e. V
2		neeq1 1582	. . . 4 |- (x = A -> (x =/= (/) <-> A =/= (/)))
3		id 59	. . . . 5 |- (x = A -> x = A)
4		unieq 2500	. . . . 5 |- (x = A -> U.x = U.A)
5	3, 4	sseq12d 2080	. . . 4 |- (x = A -> (x (_ U.x <-> A (_ U.A))
6	2, 5	anbi12d 626	. . 3 |- (x = A -> ((x =/= (/) /\ x (_ U.x) <-> (A =/= (/) /\ A (_ U.A)))
7		breq2 2613	. . 3 |- (x = A -> (om ~<_ x <-> om ~<_ A))
8	6, 7	imbi12d 624	. 2 |- (x = A -> (((x =/= (/) /\ x (_ U.x) -> om ~<_ x) <-> ((A =/= (/) /\ A (_ U.A) -> om ~<_ A)))
9		eqid 1468	. . . 4 |- {<.y, z>. | z = {w e. x | (w i^i x) (_ y}} = {<.y, z>. | z = {w e. x | (w i^i x) (_ y}}
10		eqid 1468	. . . 4 |- (rec({<.y, z>. | z = {w e. x | (w i^i x) (_ y}}, (/)) |` om) = (rec({<.y, z>. | z = {w e. x | (w i^i x) (_ y}}, (/)) |` om)
11	9, 10, 1, 1	inf3lem6 4590	. . 3 |- ((x =/= (/) /\ x (_ U.x) -> (rec({<.y, z>. | z = {w e. x | (w i^i x) (_ y}}, (/)) |` om):om-1-1->P~x)
12		visset 1804	. . . . 5 |- x e. V
13	12	pwex 2735	. . . 4 |- P~x e. V
14		f1dom2g 4378	. . . 4 |- (P~x e. V -> ((rec({<.y, z>. | z = {w e. x | (w i^i x) (_ y}}, (/)) |` om):om-1-1->P~x -> om ~<_ P~x))
15	13, 14	ax-mp 7	. . 3 |- ((rec({<.y, z>. | z = {w e. x | (w i^i x) (_ y}}, (/)) |` om):om-1-1->P~x -> om ~<_ P~x)
16		pwfi 4545	. . . . . . 7 |- (E.n e. om x ~~ n <-> E.n e. om P~x ~~ n)
17	16	biimp 151	. . . . . 6 |- (E.n e. om x ~~ n -> E.n e. om P~x ~~ n)
18		isfinite 4606	. . . . . 6 |- (x ~< om <-> E.n e. om x ~~ n)
19		isfinite 4606	. . . . . 6 |- (P~x ~< om <-> E.n e. om P~x ~~ n)
20	17, 18, 19	3imtr4 219	. . . . 5 |- (x ~< om -> P~x ~< om)
21	20	con3i 98	. . . 4 |- (-. P~x ~< om -> -. x ~< om)
22		omex 4599	. . . . 5 |- om e. V
23		domtri 4810	. . . . 5 |- ((om e. V /\ P~x e. V) -> (om ~<_ P~x <-> -. P~x ~< om))
24	22, 13, 23	mp2an 695	. . . 4 |- (om ~<_ P~x <-> -. P~x ~< om)
25		domtri 4810	. . . . 5 |- ((om e. V /\ x e. V) -> (om ~<_ x <-> -. x ~< om))
26	22, 12, 25	mp2an 695	. . . 4 |- (om ~<_ x <-> -. x ~< om)
27	21, 24, 26	3imtr4 219	. . 3 |- (om ~<_ P~x -> om ~<_ x)
28	11, 15, 27	3syl 20	. 2 |- ((x =/= (/) /\ x (_ U.x) -> om ~<_ x)
29	1, 8, 28	vtocl 1833	1 |- ((A =/= (/) /\ A (_ U.A) -> om ~<_ A)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955   =/= wne 1577  E.wrex 1638  {crab 1640  Vcvv 1802   i^i cin 2036   (_ wss 2037  (/)c0 2270  P~cpw 2391  U.cuni 2493   class class class wbr 2609  {copab 2656  omcom 3121   |` cres 3162  -1-1->wf1 3169  reccrdg 3916   ~~ cen 4348   ~<_ cdom 4349   ~< csdm 4350

This theorem is referenced by:  axgroth3 8718

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-reg 4565  ax-inf2 4597  ax-ac 4716

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1o 4117  df-2o 4118  df-oadd 4119  df-er 4245  df-map 4308  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-card 4788

Copyright terms: Public domain