MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domnsym Unicode version

Theorem domnsym 6920
Description: Theorem 22(i) of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 10-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
domnsym  |-  ( A  ~<_  B  ->  -.  B  ~<  A )

Proof of Theorem domnsym
StepHypRef Expression
1 brdom2 6824 . 2  |-  ( A  ~<_  B  <->  ( A  ~<  B  \/  A  ~~  B
) )
2 sdomnsym 6919 . . 3  |-  ( A 
~<  B  ->  -.  B  ~<  A )
3 sdomnen 6823 . . . 4  |-  ( B 
~<  A  ->  -.  B  ~~  A )
4 ensym 6843 . . . 4  |-  ( A 
~~  B  ->  B  ~~  A )
53, 4nsyl3 113 . . 3  |-  ( A 
~~  B  ->  -.  B  ~<  A )
62, 5jaoi 370 . 2  |-  ( ( A  ~<  B  \/  A  ~~  B )  ->  -.  B  ~<  A )
71, 6sylbi 189 1  |-  ( A  ~<_  B  ->  -.  B  ~<  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    \/ wo 359   class class class wbr 3963    ~~ cen 6793    ~<_ cdom 6794    ~< csdm 6795
This theorem is referenced by:  sdom0  6926  sdomdomtr  6927  domsdomtr  6929  sdomdif  6942  onsdominel  6943  nndomo  6987  sdom1  6995  fofinf1o  7070  carddom2  7543  fidomtri  7559  fidomtri2  7560  infxpenlem  7574  alephordi  7634  infdif  7768  infdif2  7769  cfslbn  7826  cfslb2n  7827  fincssdom  7882  fin45  7951  domtriom  8002  alephval2  8127  alephreg  8137  pwcfsdom  8138  cfpwsdom  8139  pwfseqlem3  8215  gchhar  8226  gchpwdom  8229  gchaleph  8230  hargch  8232  winainflem  8248  rankcf  8332  tskcard  8336  vdwlem12  12966  odinf  14803  rectbntr0  18264  erdszelem10  23068  finminlem  25563  fphpd  26231
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2520  df-rex 2521  df-rab 2523  df-v 2742  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3769  df-br 3964  df-opab 4018  df-id 4246  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-er 6593  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799
  Copyright terms: Public domain W3C validator