MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domnsym Unicode version

Theorem domnsym 7169
Description: Theorem 22(i) of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 10-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
domnsym  |-  ( A  ~<_  B  ->  -.  B  ~<  A )

Proof of Theorem domnsym
StepHypRef Expression
1 brdom2 7073 . 2  |-  ( A  ~<_  B  <->  ( A  ~<  B  \/  A  ~~  B
) )
2 sdomnsym 7168 . . 3  |-  ( A 
~<  B  ->  -.  B  ~<  A )
3 sdomnen 7072 . . . 4  |-  ( B 
~<  A  ->  -.  B  ~~  A )
4 ensym 7092 . . . 4  |-  ( A 
~~  B  ->  B  ~~  A )
53, 4nsyl3 113 . . 3  |-  ( A 
~~  B  ->  -.  B  ~<  A )
62, 5jaoi 369 . 2  |-  ( ( A  ~<  B  \/  A  ~~  B )  ->  -.  B  ~<  A )
71, 6sylbi 188 1  |-  ( A  ~<_  B  ->  -.  B  ~<  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 358   class class class wbr 4153    ~~ cen 7042    ~<_ cdom 7043    ~< csdm 7044
This theorem is referenced by:  sdom0  7175  sdomdomtr  7176  domsdomtr  7178  sdomdif  7191  onsdominel  7192  nndomo  7236  sdom1  7244  fofinf1o  7323  carddom2  7797  fidomtri  7813  fidomtri2  7814  infxpenlem  7828  alephordi  7888  infdif  8022  infdif2  8023  cfslbn  8080  cfslb2n  8081  fincssdom  8136  fin45  8205  domtriom  8256  alephval2  8380  alephreg  8390  pwcfsdom  8391  cfpwsdom  8392  pwfseqlem3  8468  gchhar  8479  gchpwdom  8482  gchaleph  8483  hargch  8485  winainflem  8501  rankcf  8585  tskcard  8589  vdwlem12  13287  odinf  15126  rectbntr0  18734  erdszelem10  24665  finminlem  26012  fphpd  26568
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-rab 2658  df-v 2901  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-br 4154  df-opab 4208  df-id 4439  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048
  Copyright terms: Public domain W3C validator