MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domnsym Unicode version

Theorem domnsym 6983
Description: Theorem 22(i) of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 10-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
domnsym  |-  ( A  ~<_  B  ->  -.  B  ~<  A )

Proof of Theorem domnsym
StepHypRef Expression
1 brdom2 6887 . 2  |-  ( A  ~<_  B  <->  ( A  ~<  B  \/  A  ~~  B
) )
2 sdomnsym 6982 . . 3  |-  ( A 
~<  B  ->  -.  B  ~<  A )
3 sdomnen 6886 . . . 4  |-  ( B 
~<  A  ->  -.  B  ~~  A )
4 ensym 6906 . . . 4  |-  ( A 
~~  B  ->  B  ~~  A )
53, 4nsyl3 111 . . 3  |-  ( A 
~~  B  ->  -.  B  ~<  A )
62, 5jaoi 368 . 2  |-  ( ( A  ~<  B  \/  A  ~~  B )  ->  -.  B  ~<  A )
71, 6sylbi 187 1  |-  ( A  ~<_  B  ->  -.  B  ~<  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 357   class class class wbr 4024    ~~ cen 6856    ~<_ cdom 6857    ~< csdm 6858
This theorem is referenced by:  sdom0  6989  sdomdomtr  6990  domsdomtr  6992  sdomdif  7005  onsdominel  7006  nndomo  7050  sdom1  7058  fofinf1o  7133  carddom2  7606  fidomtri  7622  fidomtri2  7623  infxpenlem  7637  alephordi  7697  infdif  7831  infdif2  7832  cfslbn  7889  cfslb2n  7890  fincssdom  7945  fin45  8014  domtriom  8065  alephval2  8190  alephreg  8200  pwcfsdom  8201  cfpwsdom  8202  pwfseqlem3  8278  gchhar  8289  gchpwdom  8292  gchaleph  8293  hargch  8295  winainflem  8311  rankcf  8395  tskcard  8399  vdwlem12  13035  odinf  14872  rectbntr0  18333  erdszelem10  23138  finminlem  25642  fphpd  26310
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-rab 2553  df-v 2791  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-uni 3829  df-br 4025  df-opab 4079  df-id 4308  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-er 6656  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862
  Copyright terms: Public domain W3C validator