MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domnsym Structured version   Unicode version

Theorem domnsym 7226
Description: Theorem 22(i) of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 10-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
domnsym  |-  ( A  ~<_  B  ->  -.  B  ~<  A )

Proof of Theorem domnsym
StepHypRef Expression
1 brdom2 7130 . 2  |-  ( A  ~<_  B  <->  ( A  ~<  B  \/  A  ~~  B
) )
2 sdomnsym 7225 . . 3  |-  ( A 
~<  B  ->  -.  B  ~<  A )
3 sdomnen 7129 . . . 4  |-  ( B 
~<  A  ->  -.  B  ~~  A )
4 ensym 7149 . . . 4  |-  ( A 
~~  B  ->  B  ~~  A )
53, 4nsyl3 113 . . 3  |-  ( A 
~~  B  ->  -.  B  ~<  A )
62, 5jaoi 369 . 2  |-  ( ( A  ~<  B  \/  A  ~~  B )  ->  -.  B  ~<  A )
71, 6sylbi 188 1  |-  ( A  ~<_  B  ->  -.  B  ~<  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 358   class class class wbr 4205    ~~ cen 7099    ~<_ cdom 7100    ~< csdm 7101
This theorem is referenced by:  sdom0  7232  sdomdomtr  7233  domsdomtr  7235  sdomdif  7248  onsdominel  7249  nndomo  7293  sdom1  7301  fofinf1o  7380  carddom2  7857  fidomtri  7873  fidomtri2  7874  infxpenlem  7888  alephordi  7948  infdif  8082  infdif2  8083  cfslbn  8140  cfslb2n  8141  fincssdom  8196  fin45  8265  domtriom  8316  alephval2  8440  alephreg  8450  pwcfsdom  8451  cfpwsdom  8452  pwfseqlem3  8528  gchhar  8539  gchpwdom  8542  gchaleph  8543  hargch  8545  winainflem  8561  rankcf  8645  tskcard  8649  vdwlem12  13353  odinf  15192  rectbntr0  18856  erdszelem10  24879  finminlem  26313  fphpd  26869
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2703  df-rex 2704  df-rab 2707  df-v 2951  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-op 3816  df-uni 4009  df-br 4206  df-opab 4260  df-id 4491  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-er 6898  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105
  Copyright terms: Public domain W3C validator