MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domnsym Unicode version

Theorem domnsym 7196
Description: Theorem 22(i) of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 10-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
domnsym  |-  ( A  ~<_  B  ->  -.  B  ~<  A )

Proof of Theorem domnsym
StepHypRef Expression
1 brdom2 7100 . 2  |-  ( A  ~<_  B  <->  ( A  ~<  B  \/  A  ~~  B
) )
2 sdomnsym 7195 . . 3  |-  ( A 
~<  B  ->  -.  B  ~<  A )
3 sdomnen 7099 . . . 4  |-  ( B 
~<  A  ->  -.  B  ~~  A )
4 ensym 7119 . . . 4  |-  ( A 
~~  B  ->  B  ~~  A )
53, 4nsyl3 113 . . 3  |-  ( A 
~~  B  ->  -.  B  ~<  A )
62, 5jaoi 369 . 2  |-  ( ( A  ~<  B  \/  A  ~~  B )  ->  -.  B  ~<  A )
71, 6sylbi 188 1  |-  ( A  ~<_  B  ->  -.  B  ~<  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 358   class class class wbr 4176    ~~ cen 7069    ~<_ cdom 7070    ~< csdm 7071
This theorem is referenced by:  sdom0  7202  sdomdomtr  7203  domsdomtr  7205  sdomdif  7218  onsdominel  7219  nndomo  7263  sdom1  7271  fofinf1o  7350  carddom2  7824  fidomtri  7840  fidomtri2  7841  infxpenlem  7855  alephordi  7915  infdif  8049  infdif2  8050  cfslbn  8107  cfslb2n  8108  fincssdom  8163  fin45  8232  domtriom  8283  alephval2  8407  alephreg  8417  pwcfsdom  8418  cfpwsdom  8419  pwfseqlem3  8495  gchhar  8506  gchpwdom  8509  gchaleph  8510  hargch  8512  winainflem  8528  rankcf  8612  tskcard  8616  vdwlem12  13319  odinf  15158  rectbntr0  18820  erdszelem10  24843  finminlem  26215  fphpd  26771
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-ral 2675  df-rex 2676  df-rab 2679  df-v 2922  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-op 3787  df-uni 3980  df-br 4177  df-opab 4231  df-id 4462  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-er 6868  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075
  Copyright terms: Public domain W3C validator