Theorem domnsym 4456

Description: Theorem 22(i) of [Suppes] p. 97.

Assertion

Ref	Expression
domnsym	|- (A ~<_ B -> -. B ~< A)

Proof of Theorem domnsym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdom2 4382	. 2 |- (A ~<_ B <-> (A ~< B \/ A ~~ B))
2		sdomnsym 4455	. . 3 |- (A ~< B -> -. B ~< A)
3		ensymg 4405	. . . . . 6 |- (B e. V -> (A ~~ B -> B ~~ A))
4	3	con3d 95	. . . . 5 |- (B e. V -> (-. B ~~ A -> -. A ~~ B))
5		relsdom 4369	. . . . . 6 |- Rel ~<
6	5	brrelexi 3205	. . . . 5 |- (B ~< A -> B e. V)
7		sdomnen 4381	. . . . 5 |- (B ~< A -> -. B ~~ A)
8	4, 6, 7	sylc 68	. . . 4 |- (B ~< A -> -. A ~~ B)
9	8	con2i 97	. . 3 |- (A ~~ B -> -. B ~< A)
10	2, 9	jaoi 341	. 2 |- ((A ~< B \/ A ~~ B) -> -. B ~< A)
11	1, 10	sylbi 199	1 |- (A ~<_ B -> -. B ~< A)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   \/ wo 222   e. wcel 957  Vcvv 1809   class class class wbr 2616   ~~ cen 4361   ~<_ cdom 4362   ~< csdm 4363

This theorem is referenced by:  sdom0 4461  nndomo 4513  carddom 4823  alephordi 4861  alephval2 4889

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2690  ax-sep 2700  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-ral 1648  df-rex 1649  df-v 1810  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-nul 2279  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-op 2414  df-uni 2501  df-br 2617  df-opab 2664  df-id 2832  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191  df-f1 3192  df-fo 3193  df-f1o 3194  df-er 4258  df-en 4364  df-dom 4365  df-sdom 4366

Copyright terms: Public domain