MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domnsym Unicode version

Theorem domnsym 6955
Description: Theorem 22(i) of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 10-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
domnsym  |-  ( A  ~<_  B  ->  -.  B  ~<  A )

Proof of Theorem domnsym
StepHypRef Expression
1 brdom2 6859 . 2  |-  ( A  ~<_  B  <->  ( A  ~<  B  \/  A  ~~  B
) )
2 sdomnsym 6954 . . 3  |-  ( A 
~<  B  ->  -.  B  ~<  A )
3 sdomnen 6858 . . . 4  |-  ( B 
~<  A  ->  -.  B  ~~  A )
4 ensym 6878 . . . 4  |-  ( A 
~~  B  ->  B  ~~  A )
53, 4nsyl3 113 . . 3  |-  ( A 
~~  B  ->  -.  B  ~<  A )
62, 5jaoi 370 . 2  |-  ( ( A  ~<  B  \/  A  ~~  B )  ->  -.  B  ~<  A )
71, 6sylbi 189 1  |-  ( A  ~<_  B  ->  -.  B  ~<  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    \/ wo 359   class class class wbr 3997    ~~ cen 6828    ~<_ cdom 6829    ~< csdm 6830
This theorem is referenced by:  sdom0  6961  sdomdomtr  6962  domsdomtr  6964  sdomdif  6977  onsdominel  6978  nndomo  7022  sdom1  7030  fofinf1o  7105  carddom2  7578  fidomtri  7594  fidomtri2  7595  infxpenlem  7609  alephordi  7669  infdif  7803  infdif2  7804  cfslbn  7861  cfslb2n  7862  fincssdom  7917  fin45  7986  domtriom  8037  alephval2  8162  alephreg  8172  pwcfsdom  8173  cfpwsdom  8174  pwfseqlem3  8250  gchhar  8261  gchpwdom  8264  gchaleph  8265  hargch  8267  winainflem  8283  rankcf  8367  tskcard  8371  vdwlem12  13002  odinf  14839  rectbntr0  18300  erdszelem10  23104  finminlem  25599  fphpd  26267
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-rab 2527  df-v 2765  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3802  df-br 3998  df-opab 4052  df-id 4281  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-er 6628  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834
  Copyright terms: Public domain W3C validator