MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domtr Structured version   Unicode version

Theorem domtr 7152
Description: Transitivity of dominance relation. Theorem 17 of [Suppes] p. 94. (Contributed by NM, 4-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
domtr  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  B  ~<_  C )  ->  A  ~<_  C )

Proof of Theorem domtr
Dummy variables  x  y  z  f  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldom 7107 . 2  |-  Rel  ~<_
2 vex 2951 . . . 4  |-  y  e. 
_V
32brdom 7112 . . 3  |-  ( x  ~<_  y  <->  E. g  g : x -1-1-> y )
4 vex 2951 . . . 4  |-  z  e. 
_V
54brdom 7112 . . 3  |-  ( y  ~<_  z  <->  E. f  f : y -1-1-> z )
6 eeanv 1937 . . . 4  |-  ( E. g E. f ( g : x -1-1-> y  /\  f : y
-1-1-> z )  <->  ( E. g  g : x
-1-1-> y  /\  E. f 
f : y -1-1-> z ) )
7 f1co 5640 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : y -1-1-> z  /\  g : x
-1-1-> y )  ->  (
f  o.  g ) : x -1-1-> z )
87ancoms 440 . . . . . . 7  |-  ( ( g : x -1-1-> y  /\  f : y
-1-1-> z )  ->  (
f  o.  g ) : x -1-1-> z )
9 vex 2951 . . . . . . . . 9  |-  f  e. 
_V
10 vex 2951 . . . . . . . . 9  |-  g  e. 
_V
119, 10coex 5405 . . . . . . . 8  |-  ( f  o.  g )  e. 
_V
12 f1eq1 5626 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  ( f  o.  g )  ->  (
h : x -1-1-> z  <-> 
( f  o.  g
) : x -1-1-> z ) )
1311, 12spcev 3035 . . . . . . 7  |-  ( ( f  o.  g ) : x -1-1-> z  ->  E. h  h :
x -1-1-> z )
148, 13syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( g : x -1-1-> y  /\  f : y
-1-1-> z )  ->  E. h  h : x -1-1-> z )
154brdom 7112 . . . . . 6  |-  ( x  ~<_  z  <->  E. h  h : x -1-1-> z )
1614, 15sylibr 204 . . . . 5  |-  ( ( g : x -1-1-> y  /\  f : y
-1-1-> z )  ->  x  ~<_  z )
1716exlimivv 1645 . . . 4  |-  ( E. g E. f ( g : x -1-1-> y  /\  f : y
-1-1-> z )  ->  x  ~<_  z )
186, 17sylbir 205 . . 3  |-  ( ( E. g  g : x -1-1-> y  /\  E. f  f : y
-1-1-> z )  ->  x  ~<_  z )
193, 5, 18syl2anb 466 . 2  |-  ( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  z )  ->  x  ~<_  z )
201, 19vtoclr 4914 1  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  B  ~<_  C )  ->  A  ~<_  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359   E.wex 1550   class class class wbr 4204    o. ccom 4874   -1-1->wf1 5443    ~<_ cdom 7099
This theorem is referenced by:  endomtr  7157  domentr  7158  undom  7188  sdomdomtr  7232  domsdomtr  7234  xpen  7262  unxpdom2  7309  sucxpdom  7310  fidomdm  7380  hartogs  7505  harword  7525  unxpwdom  7549  harcard  7857  infxpenlem  7887  indcardi  7914  fodomfi2  7933  infpwfien  7935  inffien  7936  cdadom3  8060  cdainf  8064  infcda1  8065  cdalepw  8068  unctb  8077  infcdaabs  8078  infcda  8080  infdif  8081  infdif2  8082  infxp  8087  infmap2  8090  fictb  8117  cfslb2n  8140  isfin32i  8237  fin1a2lem12  8283  hsmexlem1  8298  brdom3  8398  brdom5  8399  brdom4  8400  imadomg  8404  iundomg  8408  uniimadom  8411  ondomon  8430  unirnfdomd  8434  alephval2  8439  iunctb  8441  alephexp1  8446  alephreg  8449  cfpwsdom  8451  gchdomtri  8496  canthnum  8516  canthp1lem1  8519  canthp1  8521  pwfseqlem5  8530  pwxpndom2  8532  pwxpndom  8533  pwcdandom  8534  gchcdaidm  8535  gchxpidm  8536  gchaclem  8537  gchhar  8538  gchpwdom  8541  inar1  8642  rankcf  8644  grudomon  8684  grothac  8697  rpnnen  12818  cctop  17062  1stcfb  17500  2ndcredom  17505  2ndc1stc  17506  1stcrestlem  17507  2ndcctbss  17510  2ndcdisj2  17512  2ndcomap  17513  2ndcsep  17514  dis2ndc  17515  hauspwdom  17556  tx1stc  17674  tx2ndc  17675  met2ndci  18544  opnreen  18854  rectbntr0  18855  uniiccdif  19462  dyadmbl  19484  opnmblALT  19487  mbfimaopnlem  19539  abrexdomjm  23980  ssct  24093  xpct  24094  fnct  24097  dmct  24098  cnvct  24099  mptct  24101  mptctf  24104  sigaclci  24507  sibfof  24646  abrexdom  26423  heiborlem3  26513  ttac  27098  idomsubgmo  27482
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-dom 7103
  Copyright terms: Public domain W3C validator