Theorem domtr 4421

Description: Transitivity of dominance relation. Theorem 17 of [Suppes] p. 94.

Assertion

Ref	Expression
domtr	|- ((A ~<_ B /\ B ~<_ C) -> A ~<_ C)

Proof of Theorem domtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 4379	. 2 |- Rel ~<_
2		eeanv 1325	. . . 4 |- (E.gE.f(g:x-1-1->y /\ f:y-1-1->z) <-> (E.g g:x-1-1->y /\ E.f f:y-1-1->z))
3		f1co 3673	. . . . . . 7 |- ((f:y-1-1->z /\ g:x-1-1->y) -> (f o. g):x-1-1->z)
4	3	ancoms 438	. . . . . 6 |- ((g:x-1-1->y /\ f:y-1-1->z) -> (f o. g):x-1-1->z)
5		visset 1816	. . . . . . 7 |- x e. V
6	5	f1dom 4405	. . . . . 6 |- ((f o. g):x-1-1->z -> x ~<_ z)
7	4, 6	syl 10	. . . . 5 |- ((g:x-1-1->y /\ f:y-1-1->z) -> x ~<_ z)
8	7	19.23aivv 1298	. . . 4 |- (E.gE.f(g:x-1-1->y /\ f:y-1-1->z) -> x ~<_ z)
9	2, 8	sylbir 201	. . 3 |- ((E.g g:x-1-1->y /\ E.f f:y-1-1->z) -> x ~<_ z)
10		visset 1816	. . . 4 |- y e. V
11	10	brdom 4384	. . 3 |- (x ~<_ y <-> E.g g:x-1-1->y)
12		visset 1816	. . . 4 |- z e. V
13	12	brdom 4384	. . 3 |- (y ~<_ z <-> E.f f:y-1-1->z)
14	9, 11, 13	syl2anb 457	. 2 |- ((x ~<_ y /\ y ~<_ z) -> x ~<_ z)
15		domrefg 4399	. . 3 |- (x e. V -> x ~<_ x)
16	5, 15	ax-mp 7	. 2 |- x ~<_ x
17	1, 14, 16	vtoclrbr 3218	1 |- ((A ~<_ B /\ B ~<_ C) -> A ~<_ C)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 960  E.wex 982  Vcvv 1814   class class class wbr 2624   o. ccom 3180  -1-1->wf1 3185   ~<_ cdom 4371

This theorem is referenced by:  endomtr 4426  domentr 4427  undom 4444  sdomdomtr 4475  fodom 4808  brdom3 4811  brdom5 4812  brdom4 4813  imadomg 4816  uniimadom 4820  sucdom 4852  sucdomOLD 4853  unxpdomlem 4854  unxpdom2 4856  sucxpdom 4857  ondomon 4867  alephval2 4913  cdadom3 4947  cdainf 4949  infxpidmlem8 7560  infxpidmlem11 7563  infxpidmlem12 7564  infunabs 7566  infcdaabs 7567  infcda 7568  infdif 7569  infdif2 7570  infxp 7573  infmap1 7574  iunctb 7576  alephexp1 7586  cctop 7649

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-en 4374  df-dom 4375

Copyright terms: Public domain