MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domtr Unicode version

Theorem domtr 6847
Description: Transitivity of dominance relation. Theorem 17 of [Suppes] p. 94. (Contributed by NM, 4-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
domtr  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  B  ~<_  C )  ->  A  ~<_  C )

Proof of Theorem domtr
StepHypRef Expression
1 reldom 6802 . 2  |-  Rel  ~<_
2 vex 2743 . . . 4  |-  y  e. 
_V
32brdom 6807 . . 3  |-  ( x  ~<_  y  <->  E. g  g : x -1-1-> y )
4 vex 2743 . . . 4  |-  z  e. 
_V
54brdom 6807 . . 3  |-  ( y  ~<_  z  <->  E. f  f : y -1-1-> z )
6 eeanv 2058 . . . 4  |-  ( E. g E. f ( g : x -1-1-> y  /\  f : y
-1-1-> z )  <->  ( E. g  g : x
-1-1-> y  /\  E. f 
f : y -1-1-> z ) )
7 f1co 5349 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : y -1-1-> z  /\  g : x
-1-1-> y )  ->  (
f  o.  g ) : x -1-1-> z )
87ancoms 441 . . . . . . 7  |-  ( ( g : x -1-1-> y  /\  f : y
-1-1-> z )  ->  (
f  o.  g ) : x -1-1-> z )
9 vex 2743 . . . . . . . . 9  |-  f  e. 
_V
10 vex 2743 . . . . . . . . 9  |-  g  e. 
_V
119, 10coex 5168 . . . . . . . 8  |-  ( f  o.  g )  e. 
_V
12 f1eq1 5335 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  ( f  o.  g )  ->  (
h : x -1-1-> z  <-> 
( f  o.  g
) : x -1-1-> z ) )
1311, 12cla4ev 2826 . . . . . . 7  |-  ( ( f  o.  g ) : x -1-1-> z  ->  E. h  h :
x -1-1-> z )
148, 13syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( g : x -1-1-> y  /\  f : y
-1-1-> z )  ->  E. h  h : x -1-1-> z )
154brdom 6807 . . . . . 6  |-  ( x  ~<_  z  <->  E. h  h : x -1-1-> z )
1614, 15sylibr 205 . . . . 5  |-  ( ( g : x -1-1-> y  /\  f : y
-1-1-> z )  ->  x  ~<_  z )
1716exlimivv 2026 . . . 4  |-  ( E. g E. f ( g : x -1-1-> y  /\  f : y
-1-1-> z )  ->  x  ~<_  z )
186, 17sylbir 206 . . 3  |-  ( ( E. g  g : x -1-1-> y  /\  E. f  f : y
-1-1-> z )  ->  x  ~<_  z )
193, 5, 18syl2anb 467 . 2  |-  ( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  z )  ->  x  ~<_  z )
201, 19vtoclr 4686 1  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  B  ~<_  C )  ->  A  ~<_  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360   E.wex 1537   class class class wbr 3963    o. ccom 4630   -1-1->wf1 4635    ~<_ cdom 6794
This theorem is referenced by:  endomtr  6852  domentr  6853  undom  6883  sdomdomtr  6927  domsdomtr  6929  xpen  6957  unxpdom2  7004  sucxpdom  7005  fidomdm  7071  hartogs  7192  harword  7212  unxpwdom  7236  harcard  7544  infxpenlem  7574  indcardi  7601  fodomfi2  7620  infpwfien  7622  inffien  7623  cdadom3  7747  cdainf  7751  infcda1  7752  cdalepw  7755  unctb  7764  infcdaabs  7765  infcda  7767  infdif  7768  infdif2  7769  infxp  7774  infmap2  7777  fictb  7804  cfslb2n  7827  isfin32i  7924  fin1a2lem12  7970  hsmexlem1  7985  brdom3  8086  brdom5  8087  brdom4  8088  imadomg  8092  iundomg  8096  uniimadom  8099  ondomon  8118  unirnfdomd  8122  alephval2  8127  iunctb  8129  alephexp1  8134  alephreg  8137  cfpwsdom  8139  gchdomtri  8184  canthnum  8204  canthp1lem1  8207  canthp1  8209  pwfseqlem5  8218  pwxpndom2  8220  pwxpndom  8221  pwcdandom  8222  gchcdaidm  8223  gchxpidm  8224  gchaclem  8225  gchhar  8226  gchpwdom  8229  inar1  8330  rankcf  8332  grudomon  8372  grothac  8385  rpnnen  12432  cctop  16670  1stcfb  17098  2ndcredom  17103  2ndc1stc  17104  1stcrestlem  17105  2ndcctbss  17108  2ndcdisj2  17110  2ndcomap  17111  2ndcsep  17112  dis2ndc  17113  hauspwdom  17154  tx1stc  17271  tx2ndc  17272  met2ndci  17995  opnreen  18263  rectbntr0  18264  uniiccdif  18860  dyadmbl  18882  opnmblALT  18885  mbfimaopnlem  18937  abrexdom  25737  heiborlem3  25869  ttac  26461  idomsubgmo  26846
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2520  df-rex 2521  df-rab 2523  df-v 2742  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3769  df-br 3964  df-opab 4018  df-id 4246  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-dom 6798
  Copyright terms: Public domain W3C validator