MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domtr Unicode version

Theorem domtr 6910
Description: Transitivity of dominance relation. Theorem 17 of [Suppes] p. 94. (Contributed by NM, 4-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
domtr  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  B  ~<_  C )  ->  A  ~<_  C )

Proof of Theorem domtr
Dummy variables  x  y  z  f  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldom 6865 . 2  |-  Rel  ~<_
2 vex 2792 . . . 4  |-  y  e. 
_V
32brdom 6870 . . 3  |-  ( x  ~<_  y  <->  E. g  g : x -1-1-> y )
4 vex 2792 . . . 4  |-  z  e. 
_V
54brdom 6870 . . 3  |-  ( y  ~<_  z  <->  E. f  f : y -1-1-> z )
6 eeanv 1856 . . . 4  |-  ( E. g E. f ( g : x -1-1-> y  /\  f : y
-1-1-> z )  <->  ( E. g  g : x
-1-1-> y  /\  E. f 
f : y -1-1-> z ) )
7 f1co 5412 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : y -1-1-> z  /\  g : x
-1-1-> y )  ->  (
f  o.  g ) : x -1-1-> z )
87ancoms 439 . . . . . . 7  |-  ( ( g : x -1-1-> y  /\  f : y
-1-1-> z )  ->  (
f  o.  g ) : x -1-1-> z )
9 vex 2792 . . . . . . . . 9  |-  f  e. 
_V
10 vex 2792 . . . . . . . . 9  |-  g  e. 
_V
119, 10coex 5214 . . . . . . . 8  |-  ( f  o.  g )  e. 
_V
12 f1eq1 5398 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  ( f  o.  g )  ->  (
h : x -1-1-> z  <-> 
( f  o.  g
) : x -1-1-> z ) )
1311, 12spcev 2876 . . . . . . 7  |-  ( ( f  o.  g ) : x -1-1-> z  ->  E. h  h :
x -1-1-> z )
148, 13syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( g : x -1-1-> y  /\  f : y
-1-1-> z )  ->  E. h  h : x -1-1-> z )
154brdom 6870 . . . . . 6  |-  ( x  ~<_  z  <->  E. h  h : x -1-1-> z )
1614, 15sylibr 203 . . . . 5  |-  ( ( g : x -1-1-> y  /\  f : y
-1-1-> z )  ->  x  ~<_  z )
1716exlimivv 1668 . . . 4  |-  ( E. g E. f ( g : x -1-1-> y  /\  f : y
-1-1-> z )  ->  x  ~<_  z )
186, 17sylbir 204 . . 3  |-  ( ( E. g  g : x -1-1-> y  /\  E. f  f : y
-1-1-> z )  ->  x  ~<_  z )
193, 5, 18syl2anb 465 . 2  |-  ( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  z )  ->  x  ~<_  z )
201, 19vtoclr 4732 1  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  B  ~<_  C )  ->  A  ~<_  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358   E.wex 1528   class class class wbr 4024    o. ccom 4692   -1-1->wf1 5218    ~<_ cdom 6857
This theorem is referenced by:  endomtr  6915  domentr  6916  undom  6946  sdomdomtr  6990  domsdomtr  6992  xpen  7020  unxpdom2  7067  sucxpdom  7068  fidomdm  7134  hartogs  7255  harword  7275  unxpwdom  7299  harcard  7607  infxpenlem  7637  indcardi  7664  fodomfi2  7683  infpwfien  7685  inffien  7686  cdadom3  7810  cdainf  7814  infcda1  7815  cdalepw  7818  unctb  7827  infcdaabs  7828  infcda  7830  infdif  7831  infdif2  7832  infxp  7837  infmap2  7840  fictb  7867  cfslb2n  7890  isfin32i  7987  fin1a2lem12  8033  hsmexlem1  8048  brdom3  8149  brdom5  8150  brdom4  8151  imadomg  8155  iundomg  8159  uniimadom  8162  ondomon  8181  unirnfdomd  8185  alephval2  8190  iunctb  8192  alephexp1  8197  alephreg  8200  cfpwsdom  8202  gchdomtri  8247  canthnum  8267  canthp1lem1  8270  canthp1  8272  pwfseqlem5  8281  pwxpndom2  8283  pwxpndom  8284  pwcdandom  8285  gchcdaidm  8286  gchxpidm  8287  gchaclem  8288  gchhar  8289  gchpwdom  8292  inar1  8393  rankcf  8395  grudomon  8435  grothac  8448  rpnnen  12501  cctop  16739  1stcfb  17167  2ndcredom  17172  2ndc1stc  17173  1stcrestlem  17174  2ndcctbss  17177  2ndcdisj2  17179  2ndcomap  17180  2ndcsep  17181  dis2ndc  17182  hauspwdom  17223  tx1stc  17340  tx2ndc  17341  met2ndci  18064  opnreen  18332  rectbntr0  18333  uniiccdif  18929  dyadmbl  18951  opnmblALT  18954  mbfimaopnlem  19006  abrexdom  25816  heiborlem3  25948  ttac  26540  idomsubgmo  26925
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-rab 2553  df-v 2791  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-uni 3829  df-br 4025  df-opab 4079  df-id 4308  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-dom 6861
  Copyright terms: Public domain W3C validator