Theorem domtri 4761

Description: Trichotomy law for dominance and strict dominance. This theorem is equivalent to the Axiom of Choice.

Assertion

Ref	Expression
domtri	|- ((A e. C /\ B e. D) -> (A ~<_ B <-> -. B ~< A))

Proof of Theorem domtri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		carddom 4759	. 2 |- ((A e. C /\ B e. D) -> ((card` A) (_ (card` B) <-> A ~<_ B))
2		cardsdom 4760	. . . . 5 |- ((B e. D /\ A e. C) -> ((card` B) e. (card` A) <-> B ~< A))
3	2	ancoms 436	. . . 4 |- ((A e. C /\ B e. D) -> ((card` B) e. (card` A) <-> B ~< A))
4	3	negbid 609	. . 3 |- ((A e. C /\ B e. D) -> (-. (card` B) e. (card` A) <-> -. B ~< A))
5		cardon 4751	. . . 4 |- (card` A) e. On
6		cardon 4751	. . . 4 |- (card` B) e. On
7		ontri1 2944	. . . 4 |- (((card` A) e. On /\ (card` B) e. On) -> ((card` A) (_ (card` B) <-> -. (card` B) e. (card` A)))
8	5, 6, 7	mp2an 694	. . 3 |- ((card` A) (_ (card` B) <-> -. (card` B) e. (card` A))
9	4, 8	syl5bb 530	. 2 |- ((A e. C /\ B e. D) -> ((card` A) (_ (card` B) <-> -. B ~< A))
10	1, 9	bitr3d 528	1 |- ((A e. C /\ B e. D) -> (A ~<_ B <-> -. B ~< A))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   e. wcel 1105   (_ wss 2018   class class class wbr 2587  Oncon0 2911  ` cfv 3145   ~<_ cdom 4303   ~< csdm 4304  cardccrd 4737

This theorem is referenced by:  entri 4762  sdomel 4770  cardsdomel 4775  ondomcard 4780  cardmin 4783  alephsucpw 4793  alephord 4798  alephsucdom 4803  cardaleph 4808  dominf 4827  cdainf 4860  aleph1re 7445  infxpidmlem12 7457  infdif 7462  infdif2 7463

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-rep 2661  ax-sep 2671  ax-nul 2678  ax-pow 2710  ax-pr 2747  ax-un 2830  ax-ac 4668

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 773  df-3an 774  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-ral 1625  df-rex 1626  df-reu 1627  df-rab 1628  df-v 1787  df-sbc 1913  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-nul 2252  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384  df-tp 2386  df-op 2387  df-uni 2472  df-int 2502  df-iun 2536  df-br 2588  df-opab 2635  df-tr 2649  df-eprel 2794  df-id 2797  df-po 2804  df-so 2814  df-fr 2880  df-we 2897  df-ord 2914  df-on 2915  df-suc 2917  df-xp 3147  df-rel 3148  df-cnv 3149  df-co 3150  df-dm 3151  df-rn 3152  df-res 3153  df-ima 3154  df-fun 3155  df-fn 3156  df-f 3157  df-f1 3158  df-fo 3159  df-f1o 3160  df-fv 3161  df-er 4199  df-en 4305  df-dom 4306  df-sdom 4307  df-card 4740

Copyright terms: Public domain