Users' Mathboxes Mathbox for David A. Wheeler < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dpfrac1 Unicode version

Theorem dpfrac1 28271
Description: Prove a simple equivalence involving the decimal point. See df-dp 28267 and dpcl 28270. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
dpfrac1  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR )  ->  ( A period B )  =  (; A B  /  10 ) )

Proof of Theorem dpfrac1
StepHypRef Expression
1 df-dp2 28266 . 2  |- _ A B  =  ( A  +  ( B  /  10 ) )
2 dpval 28269 . 2  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR )  ->  ( A period B )  = _ A B )
3 nn0cn 10215 . . 3  |-  ( A  e.  NN0  ->  A  e.  CC )
4 recn 9064 . . 3  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  CC )
5 df-dec 10367 . . . . 5  |- ; A B  =  ( ( 10  x.  A
)  +  B )
65oveq1i 6077 . . . 4  |-  (; A B  /  10 )  =  ( (
( 10  x.  A
)  +  B )  /  10 )
7 10re 10064 . . . . . . . 8  |-  10  e.  RR
87recni 9086 . . . . . . 7  |-  10  e.  CC
9 mulcl 9058 . . . . . . 7  |-  ( ( 10  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( 10  x.  A
)  e.  CC )
108, 9mpan 652 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( 10  x.  A )  e.  CC )
11 10pos 10076 . . . . . . . . 9  |-  0  <  10
127, 11gt0ne0ii 9547 . . . . . . . 8  |-  10  =/=  0
138, 12pm3.2i 442 . . . . . . 7  |-  ( 10  e.  CC  /\  10  =/=  0 )
14 divdir 9685 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 10  x.  A
)  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  ( 10  e.  CC  /\  10  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( 10  x.  A )  +  B )  /  10 )  =  ( (
( 10  x.  A
)  /  10 )  +  ( B  /  10 ) ) )
1513, 14mp3an3 1268 . . . . . 6  |-  ( ( ( 10  x.  A
)  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( 10  x.  A )  +  B )  /  10 )  =  ( (
( 10  x.  A
)  /  10 )  +  ( B  /  10 ) ) )
1610, 15sylan 458 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( 10  x.  A )  +  B )  /  10 )  =  ( (
( 10  x.  A
)  /  10 )  +  ( B  /  10 ) ) )
17 divcan3 9686 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  10  e.  CC  /\  10  =/=  0 )  ->  (
( 10  x.  A
)  /  10 )  =  A )
188, 12, 17mp3an23 1271 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 10  x.  A
)  /  10 )  =  A )
1918oveq1d 6082 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( 10  x.  A )  /  10 )  +  ( B  /  10 ) )  =  ( A  +  ( B  /  10 ) ) )
2019adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( 10  x.  A )  /  10 )  +  ( B  /  10 ) )  =  ( A  +  ( B  /  10 ) ) )
2116, 20eqtrd 2462 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( 10  x.  A )  +  B )  /  10 )  =  ( A  +  ( B  /  10 ) ) )
226, 21syl5eq 2474 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (; A B  /  10 )  =  ( A  +  ( B  /  10 ) ) )
233, 4, 22syl2an 464 . 2  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR )  ->  (; A B  /  10 )  =  ( A  +  ( B  /  10 ) ) )
241, 2, 233eqtr4a 2488 1  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR )  ->  ( A period B )  =  (; A B  /  10 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2593  (class class class)co 6067   CCcc 8972   RRcr 8973   0cc0 8974    + caddc 8977    x. cmul 8979    / cdiv 9661   10c10 10041   NN0cn0 10205  ;cdc 10366  _cdp2 28264   periodcdp 28265
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2411  ax-sep 4317  ax-nul 4325  ax-pow 4364  ax-pr 4390  ax-un 4687  ax-resscn 9031  ax-1cn 9032  ax-icn 9033  ax-addcl 9034  ax-addrcl 9035  ax-mulcl 9036  ax-mulrcl 9037  ax-mulcom 9038  ax-addass 9039  ax-mulass 9040  ax-distr 9041  ax-i2m1 9042  ax-1ne0 9043  ax-1rid 9044  ax-rnegex 9045  ax-rrecex 9046  ax-cnre 9047  ax-pre-lttri 9048  ax-pre-lttrn 9049  ax-pre-ltadd 9050  ax-pre-mulgt0 9051
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2417  df-cleq 2423  df-clel 2426  df-nfc 2555  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2697  df-rex 2698  df-reu 2699  df-rmo 2700  df-rab 2701  df-v 2945  df-sbc 3149  df-csb 3239  df-dif 3310  df-un 3312  df-in 3314  df-ss 3321  df-pss 3323  df-nul 3616  df-if 3727  df-pw 3788  df-sn 3807  df-pr 3808  df-tp 3809  df-op 3810  df-uni 4003  df-iun 4082  df-br 4200  df-opab 4254  df-mpt 4255  df-tr 4290  df-eprel 4481  df-id 4485  df-po 4490  df-so 4491  df-fr 4528  df-we 4530  df-ord 4571  df-on 4572  df-lim 4573  df-suc 4574  df-om 4832  df-xp 4870  df-rel 4871  df-cnv 4872  df-co 4873  df-dm 4874  df-rn 4875  df-res 4876  df-ima 4877  df-iota 5404  df-fun 5442  df-fn 5443  df-f 5444  df-f1 5445  df-fo 5446  df-f1o 5447  df-fv 5448  df-ov 6070  df-oprab 6071  df-mpt2 6072  df-riota 6535  df-recs 6619  df-rdg 6654  df-er 6891  df-en 7096  df-dom 7097  df-sdom 7098  df-pnf 9106  df-mnf 9107  df-xr 9108  df-ltxr 9109  df-le 9110  df-sub 9277  df-neg 9278  df-div 9662  df-nn 9985  df-2 10042  df-3 10043  df-4 10044  df-5 10045  df-6 10046  df-7 10047  df-8 10048  df-9 10049  df-10 10050  df-n0 10206  df-dec 10367  df-dp2 28266  df-dp 28267
  Copyright terms: Public domain W3C validator