Users' Mathboxes Mathbox for David A. Wheeler < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dpfrac1 Unicode version

Theorem dpfrac1 27514
Description: Prove a simple equivalence involving the decimal point. See df-dp 27510 and dpcl 27513. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
dpfrac1  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR )  ->  ( A period B )  =  (; A B  /  10 ) )

Proof of Theorem dpfrac1
StepHypRef Expression
1 df-dp2 27509 . 2  |- _ A B  =  ( A  +  ( B  /  10 ) )
2 dpval 27512 . 2  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR )  ->  ( A period B )  = _ A B )
3 nn0cn 9971 . . 3  |-  ( A  e.  NN0  ->  A  e.  CC )
4 recn 8823 . . 3  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  CC )
5 df-dec 10121 . . . . 5  |- ; A B  =  ( ( 10  x.  A
)  +  B )
65oveq1i 5830 . . . 4  |-  (; A B  /  10 )  =  ( (
( 10  x.  A
)  +  B )  /  10 )
7 10re 9822 . . . . . . . 8  |-  10  e.  RR
87recni 8845 . . . . . . 7  |-  10  e.  CC
9 mulcl 8817 . . . . . . 7  |-  ( ( 10  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( 10  x.  A
)  e.  CC )
108, 9mpan 651 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( 10  x.  A )  e.  CC )
11 10pos 9834 . . . . . . . . 9  |-  0  <  10
127, 11gt0ne0ii 9305 . . . . . . . 8  |-  10  =/=  0
138, 12pm3.2i 441 . . . . . . 7  |-  ( 10  e.  CC  /\  10  =/=  0 )
14 divdir 9443 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 10  x.  A
)  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  ( 10  e.  CC  /\  10  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( 10  x.  A )  +  B )  /  10 )  =  ( (
( 10  x.  A
)  /  10 )  +  ( B  /  10 ) ) )
1513, 14mp3an3 1266 . . . . . 6  |-  ( ( ( 10  x.  A
)  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( 10  x.  A )  +  B )  /  10 )  =  ( (
( 10  x.  A
)  /  10 )  +  ( B  /  10 ) ) )
1610, 15sylan 457 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( 10  x.  A )  +  B )  /  10 )  =  ( (
( 10  x.  A
)  /  10 )  +  ( B  /  10 ) ) )
17 divcan3 9444 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  10  e.  CC  /\  10  =/=  0 )  ->  (
( 10  x.  A
)  /  10 )  =  A )
188, 12, 17mp3an23 1269 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 10  x.  A
)  /  10 )  =  A )
1918oveq1d 5835 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( 10  x.  A )  /  10 )  +  ( B  /  10 ) )  =  ( A  +  ( B  /  10 ) ) )
2019adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( 10  x.  A )  /  10 )  +  ( B  /  10 ) )  =  ( A  +  ( B  /  10 ) ) )
2116, 20eqtrd 2316 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( 10  x.  A )  +  B )  /  10 )  =  ( A  +  ( B  /  10 ) ) )
226, 21syl5eq 2328 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (; A B  /  10 )  =  ( A  +  ( B  /  10 ) ) )
233, 4, 22syl2an 463 . 2  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR )  ->  (; A B  /  10 )  =  ( A  +  ( B  /  10 ) ) )
241, 2, 233eqtr4a 2342 1  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR )  ->  ( A period B )  =  (; A B  /  10 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1685    =/= wne 2447  (class class class)co 5820   CCcc 8731   RRcr 8732   0cc0 8733    + caddc 8736    x. cmul 8738    / cdiv 9419   10c10 9799   NN0cn0 9961  ;cdc 10120  _cdp2 27507   periodcdp 27508
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-er 6656  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-div 9420  df-nn 9743  df-2 9800  df-3 9801  df-4 9802  df-5 9803  df-6 9804  df-7 9805  df-8 9806  df-9 9807  df-10 9808  df-n0 9962  df-dec 10121  df-dp2 27509  df-dp 27510
  Copyright terms: Public domain W3C validator