Users' Mathboxes Mathbox for David A. Wheeler < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dpfrac1 Unicode version

Theorem dpfrac1 28253
Description: Prove a simple equivalence involving the decimal point. See df-dp 28249 and dpcl 28252. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
dpfrac1  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR )  ->  ( A period B )  =  (; A B  /  10 ) )

Proof of Theorem dpfrac1
StepHypRef Expression
1 df-dp2 28248 . 2  |- _ A B  =  ( A  +  ( B  /  10 ) )
2 dpval 28251 . 2  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR )  ->  ( A period B )  = _ A B )
3 nn0cn 9977 . . 3  |-  ( A  e.  NN0  ->  A  e.  CC )
4 recn 8829 . . 3  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  CC )
5 df-dec 10127 . . . . 5  |- ; A B  =  ( ( 10  x.  A
)  +  B )
65oveq1i 5870 . . . 4  |-  (; A B  /  10 )  =  ( (
( 10  x.  A
)  +  B )  /  10 )
7 10re 9828 . . . . . . . 8  |-  10  e.  RR
87recni 8851 . . . . . . 7  |-  10  e.  CC
9 mulcl 8823 . . . . . . 7  |-  ( ( 10  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( 10  x.  A
)  e.  CC )
108, 9mpan 651 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( 10  x.  A )  e.  CC )
11 10pos 9840 . . . . . . . . 9  |-  0  <  10
127, 11gt0ne0ii 9311 . . . . . . . 8  |-  10  =/=  0
138, 12pm3.2i 441 . . . . . . 7  |-  ( 10  e.  CC  /\  10  =/=  0 )
14 divdir 9449 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 10  x.  A
)  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  ( 10  e.  CC  /\  10  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( 10  x.  A )  +  B )  /  10 )  =  ( (
( 10  x.  A
)  /  10 )  +  ( B  /  10 ) ) )
1513, 14mp3an3 1266 . . . . . 6  |-  ( ( ( 10  x.  A
)  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( 10  x.  A )  +  B )  /  10 )  =  ( (
( 10  x.  A
)  /  10 )  +  ( B  /  10 ) ) )
1610, 15sylan 457 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( 10  x.  A )  +  B )  /  10 )  =  ( (
( 10  x.  A
)  /  10 )  +  ( B  /  10 ) ) )
17 divcan3 9450 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  10  e.  CC  /\  10  =/=  0 )  ->  (
( 10  x.  A
)  /  10 )  =  A )
188, 12, 17mp3an23 1269 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 10  x.  A
)  /  10 )  =  A )
1918oveq1d 5875 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( 10  x.  A )  /  10 )  +  ( B  /  10 ) )  =  ( A  +  ( B  /  10 ) ) )
2019adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( 10  x.  A )  /  10 )  +  ( B  /  10 ) )  =  ( A  +  ( B  /  10 ) ) )
2116, 20eqtrd 2317 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( 10  x.  A )  +  B )  /  10 )  =  ( A  +  ( B  /  10 ) ) )
226, 21syl5eq 2329 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (; A B  /  10 )  =  ( A  +  ( B  /  10 ) ) )
233, 4, 22syl2an 463 . 2  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR )  ->  (; A B  /  10 )  =  ( A  +  ( B  /  10 ) ) )
241, 2, 233eqtr4a 2343 1  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  RR )  ->  ( A period B )  =  (; A B  /  10 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1625    e. wcel 1686    =/= wne 2448  (class class class)co 5860   CCcc 8737   RRcr 8738   0cc0 8739    + caddc 8742    x. cmul 8744    / cdiv 9425   10c10 9805   NN0cn0 9967  ;cdc 10126  _cdp2 28246   periodcdp 28247
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-er 6662  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-4 9808  df-5 9809  df-6 9810  df-7 9811  df-8 9812  df-9 9813  df-10 9814  df-n0 9968  df-dec 10127  df-dp2 28248  df-dp 28249
  Copyright terms: Public domain W3C validator