Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdf11 Unicode version

Theorem dprdf11 15569
 Description: Two group sums over a direct product that give the same value are equal as functions. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
eldprdi.0
eldprdi.w
eldprdi.1 DProd
eldprdi.2
eldprdi.3
dprdf11.4
Assertion
Ref Expression
dprdf11 g g
Distinct variable groups:   ,   ,   ,,   ,,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   ()   (,)   ()

Proof of Theorem dprdf11
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldprdi.w . . . . 5
2 eldprdi.1 . . . . 5 DProd
3 eldprdi.2 . . . . 5
4 eldprdi.3 . . . . 5
5 eqid 2435 . . . . 5
61, 2, 3, 4, 5dprdff 15558 . . . 4
7 ffn 5582 . . . 4
86, 7syl 16 . . 3
9 dprdf11.4 . . . . 5
101, 2, 3, 9, 5dprdff 15558 . . . 4
11 ffn 5582 . . . 4
1210, 11syl 16 . . 3
13 eqfnfv 5818 . . 3
148, 12, 13syl2anc 643 . 2
15 eldprdi.0 . . . 4
16 eqid 2435 . . . . . 6
1715, 1, 2, 3, 4, 9, 16dprdfsub 15567 . . . . 5 g g g
1817simpld 446 . . . 4
1915, 1, 2, 3, 18dprdfeq0 15568 . . 3 g
2017simprd 450 . . . 4 g g g
2120eqeq1d 2443 . . 3 g g g
22 reldmdprd 15546 . . . . . . . . 9 DProd
2322brrelex2i 4910 . . . . . . . 8 DProd
24 dmexg 5121 . . . . . . . 8
252, 23, 243syl 19 . . . . . . 7
263, 25eqeltrrd 2510 . . . . . 6
27 fvex 5733 . . . . . . 7
2827a1i 11 . . . . . 6
29 fvex 5733 . . . . . . 7
3029a1i 11 . . . . . 6
316feqmptd 5770 . . . . . 6
3210feqmptd 5770 . . . . . 6
3326, 28, 30, 31, 32offval2 6313 . . . . 5
3433eqeq1d 2443 . . . 4
35 ovex 6097 . . . . . . 7
3635rgenw 2765 . . . . . 6
37 mpteqb 5810 . . . . . 6
3836, 37ax-mp 8 . . . . 5
39 dprdgrp 15551 . . . . . . . . 9 DProd
402, 39syl 16 . . . . . . . 8
4140adantr 452 . . . . . . 7
426ffvelrnda 5861 . . . . . . 7
4310ffvelrnda 5861 . . . . . . 7
445, 15, 16grpsubeq0 14863 . . . . . . 7
4541, 42, 43, 44syl3anc 1184 . . . . . 6
4645ralbidva 2713 . . . . 5
4738, 46syl5bb 249 . . . 4
4834, 47bitrd 245 . . 3
4919, 21, 483bitr3d 275 . 2 g g
505dprdssv 15562 . . . 4 DProd
5115, 1, 2, 3, 4eldprdi 15564 . . . 4 g DProd
5250, 51sseldi 3338 . . 3 g
5315, 1, 2, 3, 9eldprdi 15564 . . . 4 g DProd
5450, 53sseldi 3338 . . 3 g
555, 15, 16grpsubeq0 14863 . . 3 g g g g g g
5640, 52, 54, 55syl3anc 1184 . 2 g g g g
5714, 49, 563bitr2rd 274 1 g g
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  crab 2701  cvv 2948   cdif 3309  csn 3806   class class class wbr 4204   cmpt 4258  ccnv 4868   cdm 4869  cima 4872   wfn 5440  wf 5441  cfv 5445  (class class class)co 6072   cof 6294  cixp 7054  cfn 7100  cbs 13457  c0g 13711   g cgsu 13712  cgrp 14673  csg 14676   DProd cdprd 15542 This theorem is referenced by:  dmdprdsplitlem  15583  dpjeq  15605 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-inf2 7585  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-isom 5454  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-of 6296  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-tpos 6470  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-oadd 6719  df-er 6896  df-map 7011  df-ixp 7055  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-fin 7104  df-oi 7468  df-card 7815  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-nn 9990  df-2 10047  df-n0 10211  df-z 10272  df-uz 10478  df-fz 11033  df-fzo 11124  df-seq 11312  df-hash 11607  df-ndx 13460  df-slot 13461  df-base 13462  df-sets 13463  df-ress 13464  df-plusg 13530  df-0g 13715  df-gsum 13716  df-mre 13799  df-mrc 13800  df-acs 13802  df-mnd 14678  df-mhm 14726  df-submnd 14727  df-grp 14800  df-minusg 14801  df-sbg 14802  df-mulg 14803  df-subg 14929  df-ghm 14992  df-gim 15034  df-cntz 15104  df-oppg 15130  df-cmn 15402  df-dprd 15544
 Copyright terms: Public domain W3C validator