MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdpr Unicode version

Theorem dprdpr 15563
Description: A singleton family is an internal direct product, the product of which is the given subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dmdprdpr.z  |-  Z  =  (Cntz `  G )
dmdprdpr.0  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
dmdprdpr.s  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
dmdprdpr.t  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
dprdpr.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
dprdpr.1  |-  ( ph  ->  S  C_  ( Z `  T ) )
dprdpr.2  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  T
)  =  {  .0.  } )
Assertion
Ref Expression
dprdpr  |-  ( ph  ->  ( G DProd  `' ( { S }  +c  { T } ) )  =  ( S  .(+)  T ) )

Proof of Theorem dprdpr
StepHypRef Expression
1 dmdprdpr.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
2 dmdprdpr.t . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
3 xpscf 13746 . . . 4  |-  ( `' ( { S }  +c  { T } ) : 2o --> (SubGrp `  G )  <->  ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G ) ) )
41, 2, 3sylanbrc 646 . . 3  |-  ( ph  ->  `' ( { S }  +c  { T }
) : 2o --> (SubGrp `  G ) )
5 1n0 6698 . . . . 5  |-  1o  =/=  (/)
65necomi 2649 . . . 4  |-  (/)  =/=  1o
7 disjsn2 3829 . . . 4  |-  ( (/)  =/=  1o  ->  ( { (/)
}  i^i  { 1o } )  =  (/) )
86, 7mp1i 12 . . 3  |-  ( ph  ->  ( { (/) }  i^i  { 1o } )  =  (/) )
9 df2o3 6696 . . . . 5  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
10 df-pr 3781 . . . . 5  |-  { (/) ,  1o }  =  ( { (/) }  u.  { 1o } )
119, 10eqtri 2424 . . . 4  |-  2o  =  ( { (/) }  u.  { 1o } )
1211a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  2o  =  ( {
(/) }  u.  { 1o } ) )
13 dprdpr.s . . 3  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
14 dprdpr.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  C_  ( Z `  T ) )
15 dprdpr.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  T
)  =  {  .0.  } )
16 dmdprdpr.z . . . . 5  |-  Z  =  (Cntz `  G )
17 dmdprdpr.0 . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
1816, 17, 1, 2dmdprdpr 15562 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  `' ( { S }  +c  { T } )  <->  ( S  C_  ( Z `  T
)  /\  ( S  i^i  T )  =  {  .0.  } ) ) )
1914, 15, 18mpbir2and 889 . . 3  |-  ( ph  ->  G dom DProd  `' ( { S }  +c  { T } ) )
204, 8, 12, 13, 19dprdsplit 15561 . 2  |-  ( ph  ->  ( G DProd  `' ( { S }  +c  { T } ) )  =  ( ( G DProd 
( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } ) )  .(+)  ( G DProd 
( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } ) ) ) )
21 ffn 5550 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( { S }  +c  { T } ) : 2o --> (SubGrp `  G )  ->  `' ( { S }  +c  { T } )  Fn  2o )
224, 21syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  `' ( { S }  +c  { T }
)  Fn  2o )
23 0ex 4299 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  _V
2423prid1 3872 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  { (/)
,  1o }
2524, 9eleqtrri 2477 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  2o
26 fnressn 5877 . . . . . . 7  |-  ( ( `' ( { S }  +c  { T }
)  Fn  2o  /\  (/) 
e.  2o )  -> 
( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } )  =  { <. (/)
,  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `  (/) ) >. } )
2722, 25, 26sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } )  =  { <. (/)
,  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `  (/) ) >. } )
28 xpsc0 13740 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `  (/) )  =  S )
291, 28syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `  (/) )  =  S )
3029opeq2d 3951 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
<. (/) ,  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `
 (/) ) >.  =  <. (/)
,  S >. )
3130sneqd 3787 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { <. (/) ,  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `
 (/) ) >. }  =  { <. (/) ,  S >. } )
3227, 31eqtrd 2436 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } )  =  { <. (/)
,  S >. } )
3332oveq2d 6056 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } ) )  =  ( G DProd  { <. (/)
,  S >. } ) )
34 dprdsn 15549 . . . . . 6  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  S  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  ( G dom DProd  { <. (/) ,  S >. }  /\  ( G DProd  { <. (/)
,  S >. } )  =  S ) )
3523, 1, 34sylancr 645 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  { <. (/)
,  S >. }  /\  ( G DProd  { <. (/) ,  S >. } )  =  S ) )
3635simprd 450 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G DProd  { <. (/)
,  S >. } )  =  S )
3733, 36eqtrd 2436 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } ) )  =  S )
38 1on 6690 . . . . . . . . . 10  |-  1o  e.  On
3938elexi 2925 . . . . . . . . 9  |-  1o  e.  _V
4039prid2 3873 . . . . . . . 8  |-  1o  e.  {
(/) ,  1o }
4140, 9eleqtrri 2477 . . . . . . 7  |-  1o  e.  2o
42 fnressn 5877 . . . . . . 7  |-  ( ( `' ( { S }  +c  { T }
)  Fn  2o  /\  1o  e.  2o )  -> 
( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } )  =  { <. 1o ,  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `
 1o ) >. } )
4322, 41, 42sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } )  =  { <. 1o ,  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `
 1o ) >. } )
44 xpsc1 13741 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `  1o )  =  T
)
452, 44syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `  1o )  =  T )
4645opeq2d 3951 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
<. 1o ,  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `
 1o ) >.  =  <. 1o ,  T >. )
4746sneqd 3787 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { <. 1o ,  ( `' ( { S }  +c  { T }
) `  1o ) >. }  =  { <. 1o ,  T >. } )
4843, 47eqtrd 2436 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } )  =  { <. 1o ,  T >. } )
4948oveq2d 6056 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } ) )  =  ( G DProd  { <. 1o ,  T >. } ) )
50 dprdsn 15549 . . . . . 6  |-  ( ( 1o  e.  On  /\  T  e.  (SubGrp `  G
) )  ->  ( G dom DProd  { <. 1o ,  T >. }  /\  ( G DProd  { <. 1o ,  T >. } )  =  T ) )
5138, 2, 50sylancr 645 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  { <. 1o ,  T >. }  /\  ( G DProd  { <. 1o ,  T >. } )  =  T ) )
5251simprd 450 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G DProd  { <. 1o ,  T >. } )  =  T )
5349, 52eqtrd 2436 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } ) )  =  T )
5437, 53oveq12d 6058 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T }
)  |`  { (/) } ) )  .(+)  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T }
)  |`  { 1o }
) ) )  =  ( S  .(+)  T ) )
5520, 54eqtrd 2436 1  |-  ( ph  ->  ( G DProd  `' ( { S }  +c  { T } ) )  =  ( S  .(+)  T ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   _Vcvv 2916    u. cun 3278    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   {csn 3774   {cpr 3775   <.cop 3777   class class class wbr 4172   Oncon0 4541   `'ccnv 4836   dom cdm 4837    |` cres 4839    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   1oc1o 6676   2oc2o 6677    +c ccda 8003   0gc0g 13678  SubGrpcsubg 14893  Cntzccntz 15069   LSSumclsm 15223   DProd cdprd 15509
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-hash 11574  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-mhm 14693  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-ghm 14959  df-gim 15001  df-cntz 15071  df-oppg 15097  df-lsm 15225  df-cmn 15369  df-dprd 15511
  Copyright terms: Public domain W3C validator