Theorem dprdpr 15563

Description: A singleton family is an internal direct product, the product of which is the given subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmdprdpr.z	|- Z = (Cntz ` G )
dmdprdpr.0	|- .0. = ( 0g ` G )
dmdprdpr.s	|- ( ph -> S e. (SubGrp ` G ) )
dmdprdpr.t	|- ( ph -> T e. (SubGrp ` G ) )
dprdpr.s	|- .(+) = ( LSSum ` G )
dprdpr.1	|- ( ph -> S C_ ( Z ` T ) )
dprdpr.2	|- ( ph -> ( S i^i T ) = { .0. } )

Assertion

Ref	Expression
dprdpr	|- ( ph -> ( G DProd `' ( { S } +c { T } ) ) = ( S .(+) T ) )

Proof of Theorem dprdpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmdprdpr.s	. . . 4 |- ( ph -> S e. (SubGrp ` G ) )
2		dmdprdpr.t	. . . 4 |- ( ph -> T e. (SubGrp ` G ) )
3		xpscf 13746	. . . 4 |- ( `' ( { S } +c { T } ) : 2o --> (SubGrp ` G ) <-> ( S e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) ) )
4	1, 2, 3	sylanbrc 646	. . 3 |- ( ph -> `' ( { S } +c { T } ) : 2o --> (SubGrp ` G ) )
5		1n0 6698	. . . . 5 |- 1o =/= (/)
6	5	necomi 2649	. . . 4 |- (/) =/= 1o
7		disjsn2 3829	. . . 4 |- ( (/) =/= 1o -> ( { (/) } i^i { 1o } ) = (/) )
8	6, 7	mp1i 12	. . 3 |- ( ph -> ( { (/) } i^i { 1o } ) = (/) )
9		df2o3 6696	. . . . 5 |- 2o = { (/) , 1o }
10		df-pr 3781	. . . . 5 |- { (/) , 1o } = ( { (/) } u. { 1o } )
11	9, 10	eqtri 2424	. . . 4 |- 2o = ( { (/) } u. { 1o } )
12	11	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> 2o = ( { (/) } u. { 1o } ) )
13		dprdpr.s	. . 3 |- .(+) = ( LSSum ` G )
14		dprdpr.1	. . . 4 |- ( ph -> S C_ ( Z ` T ) )
15		dprdpr.2	. . . 4 |- ( ph -> ( S i^i T ) = { .0. } )
16		dmdprdpr.z	. . . . 5 |- Z = (Cntz ` G )
17		dmdprdpr.0	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` G )
18	16, 17, 1, 2	dmdprdpr 15562	. . . 4 |- ( ph -> ( G dom DProd `' ( { S } +c { T } ) <-> ( S C_ ( Z ` T ) /\ ( S i^i T ) = { .0. } ) ) )
19	14, 15, 18	mpbir2and 889	. . 3 |- ( ph -> G dom DProd `' ( { S } +c { T } ) )
20	4, 8, 12, 13, 19	dprdsplit 15561	. 2 |- ( ph -> ( G DProd `' ( { S } +c { T } ) ) = ( ( G DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { (/) } ) ) .(+) ( G DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { 1o } ) ) ) )
21		ffn 5550	. . . . . . . 8 |- ( `' ( { S } +c { T } ) : 2o --> (SubGrp ` G ) -> `' ( { S } +c { T } ) Fn 2o )
22	4, 21	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> `' ( { S } +c { T } ) Fn 2o )
23		0ex 4299	. . . . . . . . 9 |- (/) e. _V
24	23	prid1 3872	. . . . . . . 8 |- (/) e. { (/) , 1o }
25	24, 9	eleqtrri 2477	. . . . . . 7 |- (/) e. 2o
26		fnressn 5877	. . . . . . 7 |- ( ( `' ( { S } +c { T } ) Fn 2o /\ (/) e. 2o ) -> ( `' ( { S } +c { T } ) |` { (/) } ) = { <. (/) , ( `' ( { S } +c { T } ) ` (/) ) >. } )
27	22, 25, 26	sylancl 644	. . . . . 6 |- ( ph -> ( `' ( { S } +c { T } ) |` { (/) } ) = { <. (/) , ( `' ( { S } +c { T } ) ` (/) ) >. } )
28		xpsc0 13740	. . . . . . . . 9 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> ( `' ( { S } +c { T } ) ` (/) ) = S )
29	1, 28	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( `' ( { S } +c { T } ) ` (/) ) = S )
30	29	opeq2d 3951	. . . . . . 7 |- ( ph -> <. (/) , ( `' ( { S } +c { T } ) ` (/) ) >. = <. (/) , S >. )
31	30	sneqd 3787	. . . . . 6 |- ( ph -> { <. (/) , ( `' ( { S } +c { T } ) ` (/) ) >. } = { <. (/) , S >. } )
32	27, 31	eqtrd 2436	. . . . 5 |- ( ph -> ( `' ( { S } +c { T } ) |` { (/) } ) = { <. (/) , S >. } )
33	32	oveq2d 6056	. . . 4 |- ( ph -> ( G DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { (/) } ) ) = ( G DProd { <. (/) , S >. } ) )
34		dprdsn 15549	. . . . . 6 |- ( ( (/) e. _V /\ S e. (SubGrp ` G ) ) -> ( G dom DProd { <. (/) , S >. } /\ ( G DProd { <. (/) , S >. } ) = S ) )
35	23, 1, 34	sylancr 645	. . . . 5 |- ( ph -> ( G dom DProd { <. (/) , S >. } /\ ( G DProd { <. (/) , S >. } ) = S ) )
36	35	simprd 450	. . . 4 |- ( ph -> ( G DProd { <. (/) , S >. } ) = S )
37	33, 36	eqtrd 2436	. . 3 |- ( ph -> ( G DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { (/) } ) ) = S )
38		1on 6690	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. On
39	38	elexi 2925	. . . . . . . . 9 |- 1o e. _V
40	39	prid2 3873	. . . . . . . 8 |- 1o e. { (/) , 1o }
41	40, 9	eleqtrri 2477	. . . . . . 7 |- 1o e. 2o
42		fnressn 5877	. . . . . . 7 |- ( ( `' ( { S } +c { T } ) Fn 2o /\ 1o e. 2o ) -> ( `' ( { S } +c { T } ) |` { 1o } ) = { <. 1o , ( `' ( { S } +c { T } ) ` 1o ) >. } )
43	22, 41, 42	sylancl 644	. . . . . 6 |- ( ph -> ( `' ( { S } +c { T } ) |` { 1o } ) = { <. 1o , ( `' ( { S } +c { T } ) ` 1o ) >. } )
44		xpsc1 13741	. . . . . . . . 9 |- ( T e. (SubGrp ` G ) -> ( `' ( { S } +c { T } ) ` 1o ) = T )
45	2, 44	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( `' ( { S } +c { T } ) ` 1o ) = T )
46	45	opeq2d 3951	. . . . . . 7 |- ( ph -> <. 1o , ( `' ( { S } +c { T } ) ` 1o ) >. = <. 1o , T >. )
47	46	sneqd 3787	. . . . . 6 |- ( ph -> { <. 1o , ( `' ( { S } +c { T } ) ` 1o ) >. } = { <. 1o , T >. } )
48	43, 47	eqtrd 2436	. . . . 5 |- ( ph -> ( `' ( { S } +c { T } ) |` { 1o } ) = { <. 1o , T >. } )
49	48	oveq2d 6056	. . . 4 |- ( ph -> ( G DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { 1o } ) ) = ( G DProd { <. 1o , T >. } ) )
50		dprdsn 15549	. . . . . 6 |- ( ( 1o e. On /\ T e. (SubGrp ` G ) ) -> ( G dom DProd { <. 1o , T >. } /\ ( G DProd { <. 1o , T >. } ) = T ) )
51	38, 2, 50	sylancr 645	. . . . 5 |- ( ph -> ( G dom DProd { <. 1o , T >. } /\ ( G DProd { <. 1o , T >. } ) = T ) )
52	51	simprd 450	. . . 4 |- ( ph -> ( G DProd { <. 1o , T >. } ) = T )
53	49, 52	eqtrd 2436	. . 3 |- ( ph -> ( G DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { 1o } ) ) = T )
54	37, 53	oveq12d 6058	. 2 |- ( ph -> ( ( G DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { (/) } ) ) .(+) ( G DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { 1o } ) ) ) = ( S .(+) T ) )
55	20, 54	eqtrd 2436	1 |- ( ph -> ( G DProd `' ( { S } +c { T } ) ) = ( S .(+) T ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   _Vcvv 2916   u. cun 3278   i^i cin 3279   C_ wss 3280   (/)c0 3588   {csn 3774   {cpr 3775   <.cop 3777   class class class wbr 4172   Oncon0 4541   `'ccnv 4836   dom cdm 4837   |` cres 4839   Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   1oc1o 6676   2oc2o 6677   +c ccda 8003   0gc0g 13678  SubGrpcsubg 14893  Cntzccntz 15069   LSSumclsm 15223   DProd cdprd 15509

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-hash 11574  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-mhm 14693  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-ghm 14959  df-gim 15001  df-cntz 15071  df-oppg 15097  df-lsm 15225  df-cmn 15369  df-dprd 15511