MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdpr Structured version   Unicode version

Theorem dprdpr 15608
Description: A singleton family is an internal direct product, the product of which is the given subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dmdprdpr.z  |-  Z  =  (Cntz `  G )
dmdprdpr.0  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
dmdprdpr.s  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
dmdprdpr.t  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
dprdpr.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
dprdpr.1  |-  ( ph  ->  S  C_  ( Z `  T ) )
dprdpr.2  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  T
)  =  {  .0.  } )
Assertion
Ref Expression
dprdpr  |-  ( ph  ->  ( G DProd  `' ( { S }  +c  { T } ) )  =  ( S  .(+)  T ) )

Proof of Theorem dprdpr
StepHypRef Expression
1 dmdprdpr.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
2 dmdprdpr.t . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
3 xpscf 13791 . . . 4  |-  ( `' ( { S }  +c  { T } ) : 2o --> (SubGrp `  G )  <->  ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G ) ) )
41, 2, 3sylanbrc 646 . . 3  |-  ( ph  ->  `' ( { S }  +c  { T }
) : 2o --> (SubGrp `  G ) )
5 1n0 6739 . . . . 5  |-  1o  =/=  (/)
65necomi 2686 . . . 4  |-  (/)  =/=  1o
7 disjsn2 3869 . . . 4  |-  ( (/)  =/=  1o  ->  ( { (/)
}  i^i  { 1o } )  =  (/) )
86, 7mp1i 12 . . 3  |-  ( ph  ->  ( { (/) }  i^i  { 1o } )  =  (/) )
9 df2o3 6737 . . . . 5  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
10 df-pr 3821 . . . . 5  |-  { (/) ,  1o }  =  ( { (/) }  u.  { 1o } )
119, 10eqtri 2456 . . . 4  |-  2o  =  ( { (/) }  u.  { 1o } )
1211a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  2o  =  ( {
(/) }  u.  { 1o } ) )
13 dprdpr.s . . 3  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
14 dprdpr.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  C_  ( Z `  T ) )
15 dprdpr.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  T
)  =  {  .0.  } )
16 dmdprdpr.z . . . . 5  |-  Z  =  (Cntz `  G )
17 dmdprdpr.0 . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
1816, 17, 1, 2dmdprdpr 15607 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  `' ( { S }  +c  { T } )  <->  ( S  C_  ( Z `  T
)  /\  ( S  i^i  T )  =  {  .0.  } ) ) )
1914, 15, 18mpbir2and 889 . . 3  |-  ( ph  ->  G dom DProd  `' ( { S }  +c  { T } ) )
204, 8, 12, 13, 19dprdsplit 15606 . 2  |-  ( ph  ->  ( G DProd  `' ( { S }  +c  { T } ) )  =  ( ( G DProd 
( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } ) )  .(+)  ( G DProd 
( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } ) ) ) )
21 ffn 5591 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( { S }  +c  { T } ) : 2o --> (SubGrp `  G )  ->  `' ( { S }  +c  { T } )  Fn  2o )
224, 21syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  `' ( { S }  +c  { T }
)  Fn  2o )
23 0ex 4339 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  _V
2423prid1 3912 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  { (/)
,  1o }
2524, 9eleqtrri 2509 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  2o
26 fnressn 5918 . . . . . . 7  |-  ( ( `' ( { S }  +c  { T }
)  Fn  2o  /\  (/) 
e.  2o )  -> 
( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } )  =  { <. (/)
,  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `  (/) ) >. } )
2722, 25, 26sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } )  =  { <. (/)
,  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `  (/) ) >. } )
28 xpsc0 13785 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `  (/) )  =  S )
291, 28syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `  (/) )  =  S )
3029opeq2d 3991 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
<. (/) ,  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `
 (/) ) >.  =  <. (/)
,  S >. )
3130sneqd 3827 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { <. (/) ,  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `
 (/) ) >. }  =  { <. (/) ,  S >. } )
3227, 31eqtrd 2468 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } )  =  { <. (/)
,  S >. } )
3332oveq2d 6097 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } ) )  =  ( G DProd  { <. (/)
,  S >. } ) )
34 dprdsn 15594 . . . . . 6  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  S  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  ( G dom DProd  { <. (/) ,  S >. }  /\  ( G DProd  { <. (/)
,  S >. } )  =  S ) )
3523, 1, 34sylancr 645 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  { <. (/)
,  S >. }  /\  ( G DProd  { <. (/) ,  S >. } )  =  S ) )
3635simprd 450 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G DProd  { <. (/)
,  S >. } )  =  S )
3733, 36eqtrd 2468 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } ) )  =  S )
38 1on 6731 . . . . . . . . . 10  |-  1o  e.  On
3938elexi 2965 . . . . . . . . 9  |-  1o  e.  _V
4039prid2 3913 . . . . . . . 8  |-  1o  e.  {
(/) ,  1o }
4140, 9eleqtrri 2509 . . . . . . 7  |-  1o  e.  2o
42 fnressn 5918 . . . . . . 7  |-  ( ( `' ( { S }  +c  { T }
)  Fn  2o  /\  1o  e.  2o )  -> 
( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } )  =  { <. 1o ,  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `
 1o ) >. } )
4322, 41, 42sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } )  =  { <. 1o ,  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `
 1o ) >. } )
44 xpsc1 13786 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `  1o )  =  T
)
452, 44syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `  1o )  =  T )
4645opeq2d 3991 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
<. 1o ,  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `
 1o ) >.  =  <. 1o ,  T >. )
4746sneqd 3827 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { <. 1o ,  ( `' ( { S }  +c  { T }
) `  1o ) >. }  =  { <. 1o ,  T >. } )
4843, 47eqtrd 2468 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } )  =  { <. 1o ,  T >. } )
4948oveq2d 6097 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } ) )  =  ( G DProd  { <. 1o ,  T >. } ) )
50 dprdsn 15594 . . . . . 6  |-  ( ( 1o  e.  On  /\  T  e.  (SubGrp `  G
) )  ->  ( G dom DProd  { <. 1o ,  T >. }  /\  ( G DProd  { <. 1o ,  T >. } )  =  T ) )
5138, 2, 50sylancr 645 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  { <. 1o ,  T >. }  /\  ( G DProd  { <. 1o ,  T >. } )  =  T ) )
5251simprd 450 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G DProd  { <. 1o ,  T >. } )  =  T )
5349, 52eqtrd 2468 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } ) )  =  T )
5437, 53oveq12d 6099 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T }
)  |`  { (/) } ) )  .(+)  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T }
)  |`  { 1o }
) ) )  =  ( S  .(+)  T ) )
5520, 54eqtrd 2468 1  |-  ( ph  ->  ( G DProd  `' ( { S }  +c  { T } ) )  =  ( S  .(+)  T ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   _Vcvv 2956    u. cun 3318    i^i cin 3319    C_ wss 3320   (/)c0 3628   {csn 3814   {cpr 3815   <.cop 3817   class class class wbr 4212   Oncon0 4581   `'ccnv 4877   dom cdm 4878    |` cres 4880    Fn wfn 5449   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   1oc1o 6717   2oc2o 6718    +c ccda 8047   0gc0g 13723  SubGrpcsubg 14938  Cntzccntz 15114   LSSumclsm 15268   DProd cdprd 15554
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-hash 11619  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-mhm 14738  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-mulg 14815  df-subg 14941  df-ghm 15004  df-gim 15046  df-cntz 15116  df-oppg 15142  df-lsm 15270  df-cmn 15414  df-dprd 15556
  Copyright terms: Public domain W3C validator