MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdpr Unicode version

Theorem dprdpr 15384
Description: A singleton family is an internal direct product, the product of which is the given subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dmdprdpr.z  |-  Z  =  (Cntz `  G )
dmdprdpr.0  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
dmdprdpr.s  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
dmdprdpr.t  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
dprdpr.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
dprdpr.1  |-  ( ph  ->  S  C_  ( Z `  T ) )
dprdpr.2  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  T
)  =  {  .0.  } )
Assertion
Ref Expression
dprdpr  |-  ( ph  ->  ( G DProd  `' ( { S }  +c  { T } ) )  =  ( S  .(+)  T ) )

Proof of Theorem dprdpr
StepHypRef Expression
1 dmdprdpr.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
2 dmdprdpr.t . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
3 xpscf 13567 . . . 4  |-  ( `' ( { S }  +c  { T } ) : 2o --> (SubGrp `  G )  <->  ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G ) ) )
41, 2, 3sylanbrc 645 . . 3  |-  ( ph  ->  `' ( { S }  +c  { T }
) : 2o --> (SubGrp `  G ) )
5 1n0 6581 . . . . 5  |-  1o  =/=  (/)
65necomi 2603 . . . 4  |-  (/)  =/=  1o
7 disjsn2 3770 . . . 4  |-  ( (/)  =/=  1o  ->  ( { (/)
}  i^i  { 1o } )  =  (/) )
86, 7mp1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( { (/) }  i^i  { 1o } )  =  (/) )
9 df2o3 6579 . . . . 5  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
10 df-pr 3723 . . . . 5  |-  { (/) ,  1o }  =  ( { (/) }  u.  { 1o } )
119, 10eqtri 2378 . . . 4  |-  2o  =  ( { (/) }  u.  { 1o } )
1211a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  2o  =  ( {
(/) }  u.  { 1o } ) )
13 dprdpr.s . . 3  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
14 dprdpr.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  C_  ( Z `  T ) )
15 dprdpr.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  T
)  =  {  .0.  } )
16 dmdprdpr.z . . . . 5  |-  Z  =  (Cntz `  G )
17 dmdprdpr.0 . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
1816, 17, 1, 2dmdprdpr 15383 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  `' ( { S }  +c  { T } )  <->  ( S  C_  ( Z `  T
)  /\  ( S  i^i  T )  =  {  .0.  } ) ) )
1914, 15, 18mpbir2and 888 . . 3  |-  ( ph  ->  G dom DProd  `' ( { S }  +c  { T } ) )
204, 8, 12, 13, 19dprdsplit 15382 . 2  |-  ( ph  ->  ( G DProd  `' ( { S }  +c  { T } ) )  =  ( ( G DProd 
( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } ) )  .(+)  ( G DProd 
( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } ) ) ) )
21 ffn 5472 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( { S }  +c  { T } ) : 2o --> (SubGrp `  G )  ->  `' ( { S }  +c  { T } )  Fn  2o )
224, 21syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  `' ( { S }  +c  { T }
)  Fn  2o )
23 0ex 4231 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  _V
2423prid1 3810 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  { (/)
,  1o }
2524, 9eleqtrri 2431 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  2o
26 fnressn 5789 . . . . . . 7  |-  ( ( `' ( { S }  +c  { T }
)  Fn  2o  /\  (/) 
e.  2o )  -> 
( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } )  =  { <. (/)
,  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `  (/) ) >. } )
2722, 25, 26sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } )  =  { <. (/)
,  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `  (/) ) >. } )
28 xpsc0 13561 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `  (/) )  =  S )
291, 28syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `  (/) )  =  S )
3029opeq2d 3884 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
<. (/) ,  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `
 (/) ) >.  =  <. (/)
,  S >. )
3130sneqd 3729 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { <. (/) ,  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `
 (/) ) >. }  =  { <. (/) ,  S >. } )
3227, 31eqtrd 2390 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } )  =  { <. (/)
,  S >. } )
3332oveq2d 5961 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } ) )  =  ( G DProd  { <. (/)
,  S >. } ) )
34 dprdsn 15370 . . . . . 6  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  S  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  ( G dom DProd  { <. (/) ,  S >. }  /\  ( G DProd  { <. (/)
,  S >. } )  =  S ) )
3523, 1, 34sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  { <. (/)
,  S >. }  /\  ( G DProd  { <. (/) ,  S >. } )  =  S ) )
3635simprd 449 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G DProd  { <. (/)
,  S >. } )  =  S )
3733, 36eqtrd 2390 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } ) )  =  S )
38 1on 6573 . . . . . . . . . 10  |-  1o  e.  On
3938elexi 2873 . . . . . . . . 9  |-  1o  e.  _V
4039prid2 3811 . . . . . . . 8  |-  1o  e.  {
(/) ,  1o }
4140, 9eleqtrri 2431 . . . . . . 7  |-  1o  e.  2o
42 fnressn 5789 . . . . . . 7  |-  ( ( `' ( { S }  +c  { T }
)  Fn  2o  /\  1o  e.  2o )  -> 
( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } )  =  { <. 1o ,  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `
 1o ) >. } )
4322, 41, 42sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } )  =  { <. 1o ,  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `
 1o ) >. } )
44 xpsc1 13562 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `  1o )  =  T
)
452, 44syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `  1o )  =  T )
4645opeq2d 3884 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
<. 1o ,  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `
 1o ) >.  =  <. 1o ,  T >. )
4746sneqd 3729 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { <. 1o ,  ( `' ( { S }  +c  { T }
) `  1o ) >. }  =  { <. 1o ,  T >. } )
4843, 47eqtrd 2390 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } )  =  { <. 1o ,  T >. } )
4948oveq2d 5961 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } ) )  =  ( G DProd  { <. 1o ,  T >. } ) )
50 dprdsn 15370 . . . . . 6  |-  ( ( 1o  e.  On  /\  T  e.  (SubGrp `  G
) )  ->  ( G dom DProd  { <. 1o ,  T >. }  /\  ( G DProd  { <. 1o ,  T >. } )  =  T ) )
5138, 2, 50sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  { <. 1o ,  T >. }  /\  ( G DProd  { <. 1o ,  T >. } )  =  T ) )
5251simprd 449 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G DProd  { <. 1o ,  T >. } )  =  T )
5349, 52eqtrd 2390 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } ) )  =  T )
5437, 53oveq12d 5963 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T }
)  |`  { (/) } ) )  .(+)  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T }
)  |`  { 1o }
) ) )  =  ( S  .(+)  T ) )
5520, 54eqtrd 2390 1  |-  ( ph  ->  ( G DProd  `' ( { S }  +c  { T } ) )  =  ( S  .(+)  T ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710    =/= wne 2521   _Vcvv 2864    u. cun 3226    i^i cin 3227    C_ wss 3228   (/)c0 3531   {csn 3716   {cpr 3717   <.cop 3719   class class class wbr 4104   Oncon0 4474   `'ccnv 4770   dom cdm 4771    |` cres 4773    Fn wfn 5332   -->wf 5333   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   1oc1o 6559   2oc2o 6560    +c ccda 7883   0gc0g 13499  SubGrpcsubg 14714  Cntzccntz 14890   LSSumclsm 15044   DProd cdprd 15330
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-inf2 7432  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-iin 3989  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-se 4435  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-isom 5346  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-of 6165  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-tpos 6321  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-2o 6567  df-oadd 6570  df-er 6747  df-map 6862  df-ixp 6906  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-oi 7315  df-card 7662  df-cda 7884  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-nn 9837  df-2 9894  df-n0 10058  df-z 10117  df-uz 10323  df-fz 10875  df-fzo 10963  df-seq 11139  df-hash 11431  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-sets 13251  df-ress 13252  df-plusg 13318  df-0g 13503  df-gsum 13504  df-mre 13587  df-mrc 13588  df-acs 13590  df-mnd 14466  df-mhm 14514  df-submnd 14515  df-grp 14588  df-minusg 14589  df-sbg 14590  df-mulg 14591  df-subg 14717  df-ghm 14780  df-gim 14822  df-cntz 14892  df-oppg 14918  df-lsm 15046  df-cmn 15190  df-dprd 15332
  Copyright terms: Public domain W3C validator