Theorem dprdpr 15608

Description: A singleton family is an internal direct product, the product of which is the given subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmdprdpr.z	|- Z = (Cntz ` G )
dmdprdpr.0	|- .0. = ( 0g ` G )
dmdprdpr.s	|- ( ph -> S e. (SubGrp ` G ) )
dmdprdpr.t	|- ( ph -> T e. (SubGrp ` G ) )
dprdpr.s	|- .(+) = ( LSSum ` G )
dprdpr.1	|- ( ph -> S C_ ( Z ` T ) )
dprdpr.2	|- ( ph -> ( S i^i T ) = { .0. } )

Assertion

Ref	Expression
dprdpr	|- ( ph -> ( G DProd `' ( { S } +c { T } ) ) = ( S .(+) T ) )

Proof of Theorem dprdpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmdprdpr.s	. . . 4 |- ( ph -> S e. (SubGrp ` G ) )
2		dmdprdpr.t	. . . 4 |- ( ph -> T e. (SubGrp ` G ) )
3		xpscf 13791	. . . 4 |- ( `' ( { S } +c { T } ) : 2o --> (SubGrp ` G ) <-> ( S e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) ) )
4	1, 2, 3	sylanbrc 646	. . 3 |- ( ph -> `' ( { S } +c { T } ) : 2o --> (SubGrp ` G ) )
5		1n0 6739	. . . . 5 |- 1o =/= (/)
6	5	necomi 2686	. . . 4 |- (/) =/= 1o
7		disjsn2 3869	. . . 4 |- ( (/) =/= 1o -> ( { (/) } i^i { 1o } ) = (/) )
8	6, 7	mp1i 12	. . 3 |- ( ph -> ( { (/) } i^i { 1o } ) = (/) )
9		df2o3 6737	. . . . 5 |- 2o = { (/) , 1o }
10		df-pr 3821	. . . . 5 |- { (/) , 1o } = ( { (/) } u. { 1o } )
11	9, 10	eqtri 2456	. . . 4 |- 2o = ( { (/) } u. { 1o } )
12	11	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> 2o = ( { (/) } u. { 1o } ) )
13		dprdpr.s	. . 3 |- .(+) = ( LSSum ` G )
14		dprdpr.1	. . . 4 |- ( ph -> S C_ ( Z ` T ) )
15		dprdpr.2	. . . 4 |- ( ph -> ( S i^i T ) = { .0. } )
16		dmdprdpr.z	. . . . 5 |- Z = (Cntz ` G )
17		dmdprdpr.0	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` G )
18	16, 17, 1, 2	dmdprdpr 15607	. . . 4 |- ( ph -> ( G dom DProd `' ( { S } +c { T } ) <-> ( S C_ ( Z ` T ) /\ ( S i^i T ) = { .0. } ) ) )
19	14, 15, 18	mpbir2and 889	. . 3 |- ( ph -> G dom DProd `' ( { S } +c { T } ) )
20	4, 8, 12, 13, 19	dprdsplit 15606	. 2 |- ( ph -> ( G DProd `' ( { S } +c { T } ) ) = ( ( G DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { (/) } ) ) .(+) ( G DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { 1o } ) ) ) )
21		ffn 5591	. . . . . . . 8 |- ( `' ( { S } +c { T } ) : 2o --> (SubGrp ` G ) -> `' ( { S } +c { T } ) Fn 2o )
22	4, 21	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> `' ( { S } +c { T } ) Fn 2o )
23		0ex 4339	. . . . . . . . 9 |- (/) e. _V
24	23	prid1 3912	. . . . . . . 8 |- (/) e. { (/) , 1o }
25	24, 9	eleqtrri 2509	. . . . . . 7 |- (/) e. 2o
26		fnressn 5918	. . . . . . 7 |- ( ( `' ( { S } +c { T } ) Fn 2o /\ (/) e. 2o ) -> ( `' ( { S } +c { T } ) |` { (/) } ) = { <. (/) , ( `' ( { S } +c { T } ) ` (/) ) >. } )
27	22, 25, 26	sylancl 644	. . . . . 6 |- ( ph -> ( `' ( { S } +c { T } ) |` { (/) } ) = { <. (/) , ( `' ( { S } +c { T } ) ` (/) ) >. } )
28		xpsc0 13785	. . . . . . . . 9 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> ( `' ( { S } +c { T } ) ` (/) ) = S )
29	1, 28	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( `' ( { S } +c { T } ) ` (/) ) = S )
30	29	opeq2d 3991	. . . . . . 7 |- ( ph -> <. (/) , ( `' ( { S } +c { T } ) ` (/) ) >. = <. (/) , S >. )
31	30	sneqd 3827	. . . . . 6 |- ( ph -> { <. (/) , ( `' ( { S } +c { T } ) ` (/) ) >. } = { <. (/) , S >. } )
32	27, 31	eqtrd 2468	. . . . 5 |- ( ph -> ( `' ( { S } +c { T } ) |` { (/) } ) = { <. (/) , S >. } )
33	32	oveq2d 6097	. . . 4 |- ( ph -> ( G DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { (/) } ) ) = ( G DProd { <. (/) , S >. } ) )
34		dprdsn 15594	. . . . . 6 |- ( ( (/) e. _V /\ S e. (SubGrp ` G ) ) -> ( G dom DProd { <. (/) , S >. } /\ ( G DProd { <. (/) , S >. } ) = S ) )
35	23, 1, 34	sylancr 645	. . . . 5 |- ( ph -> ( G dom DProd { <. (/) , S >. } /\ ( G DProd { <. (/) , S >. } ) = S ) )
36	35	simprd 450	. . . 4 |- ( ph -> ( G DProd { <. (/) , S >. } ) = S )
37	33, 36	eqtrd 2468	. . 3 |- ( ph -> ( G DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { (/) } ) ) = S )
38		1on 6731	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. On
39	38	elexi 2965	. . . . . . . . 9 |- 1o e. _V
40	39	prid2 3913	. . . . . . . 8 |- 1o e. { (/) , 1o }
41	40, 9	eleqtrri 2509	. . . . . . 7 |- 1o e. 2o
42		fnressn 5918	. . . . . . 7 |- ( ( `' ( { S } +c { T } ) Fn 2o /\ 1o e. 2o ) -> ( `' ( { S } +c { T } ) |` { 1o } ) = { <. 1o , ( `' ( { S } +c { T } ) ` 1o ) >. } )
43	22, 41, 42	sylancl 644	. . . . . 6 |- ( ph -> ( `' ( { S } +c { T } ) |` { 1o } ) = { <. 1o , ( `' ( { S } +c { T } ) ` 1o ) >. } )
44		xpsc1 13786	. . . . . . . . 9 |- ( T e. (SubGrp ` G ) -> ( `' ( { S } +c { T } ) ` 1o ) = T )
45	2, 44	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( `' ( { S } +c { T } ) ` 1o ) = T )
46	45	opeq2d 3991	. . . . . . 7 |- ( ph -> <. 1o , ( `' ( { S } +c { T } ) ` 1o ) >. = <. 1o , T >. )
47	46	sneqd 3827	. . . . . 6 |- ( ph -> { <. 1o , ( `' ( { S } +c { T } ) ` 1o ) >. } = { <. 1o , T >. } )
48	43, 47	eqtrd 2468	. . . . 5 |- ( ph -> ( `' ( { S } +c { T } ) |` { 1o } ) = { <. 1o , T >. } )
49	48	oveq2d 6097	. . . 4 |- ( ph -> ( G DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { 1o } ) ) = ( G DProd { <. 1o , T >. } ) )
50		dprdsn 15594	. . . . . 6 |- ( ( 1o e. On /\ T e. (SubGrp ` G ) ) -> ( G dom DProd { <. 1o , T >. } /\ ( G DProd { <. 1o , T >. } ) = T ) )
51	38, 2, 50	sylancr 645	. . . . 5 |- ( ph -> ( G dom DProd { <. 1o , T >. } /\ ( G DProd { <. 1o , T >. } ) = T ) )
52	51	simprd 450	. . . 4 |- ( ph -> ( G DProd { <. 1o , T >. } ) = T )
53	49, 52	eqtrd 2468	. . 3 |- ( ph -> ( G DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { 1o } ) ) = T )
54	37, 53	oveq12d 6099	. 2 |- ( ph -> ( ( G DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { (/) } ) ) .(+) ( G DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { 1o } ) ) ) = ( S .(+) T ) )
55	20, 54	eqtrd 2468	1 |- ( ph -> ( G DProd `' ( { S } +c { T } ) ) = ( S .(+) T ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 359   = wceq 1652   e. wcel 1725   =/= wne 2599   _Vcvv 2956   u. cun 3318   i^i cin 3319   C_ wss 3320   (/)c0 3628   {csn 3814   {cpr 3815   <.cop 3817   class class class wbr 4212   Oncon0 4581   `'ccnv 4877   dom cdm 4878   |` cres 4880   Fn wfn 5449   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   1oc1o 6717   2oc2o 6718   +c ccda 8047   0gc0g 13723  SubGrpcsubg 14938  Cntzccntz 15114   LSSumclsm 15268   DProd cdprd 15554

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-hash 11619  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-mhm 14738  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-mulg 14815  df-subg 14941  df-ghm 15004  df-gim 15046  df-cntz 15116  df-oppg 15142  df-lsm 15270  df-cmn 15414  df-dprd 15556