Theorem dtopcl 10531

Description: The open sets of a discrete topology are closed and its closed sets are open.

Hypothesis

Ref	Expression
dtopcl.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
dtopcl	|- P~A = (Clsd` P~A)

Proof of Theorem dtopcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dtopcl.1	. . . 4 |- A e. V
2	1	distop 7609	. . 3 |- P~A e. Top
3		eqid 1474	. . . . 5 |- U.P~A = U.P~A
4	3	iscld 7629	. . . 4 |- (P~A e. Top -> (x e. (Clsd` P~A) <-> (x (_ U.P~A /\ (U.P~A \ x) e. P~A)))
5		unipw 2752	. . . . . . . . 9 |- U.P~A = A
6	5	sseq2i 2083	. . . . . . . 8 |- (x (_ U.P~A <-> x (_ A)
7	6	biimp 151	. . . . . . 7 |- (x (_ U.P~A -> x (_ A)
8		visset 1810	. . . . . . . 8 |- x e. V
9	8	elpw 2401	. . . . . . 7 |- (x e. P~A <-> x (_ A)
10	7, 9	sylibr 200	. . . . . 6 |- (x (_ U.P~A -> x e. P~A)
11	10	adantr 389	. . . . 5 |- ((x (_ U.P~A /\ (U.P~A \ x) e. P~A) -> x e. P~A)
12		elssuni 2522	. . . . . 6 |- (x e. P~A -> x (_ U.P~A)
13		difss 2164	. . . . . . . 8 |- (U.P~A \ x) (_ U.P~A
14	13, 5	sseqtr 2090	. . . . . . 7 |- (U.P~A \ x) (_ A
15	5, 1	eqeltr 1542	. . . . . . . . 9 |- U.P~A e. V
16		difexg 2718	. . . . . . . . 9 |- (U.P~A e. V -> (U.P~A \ x) e. V)
17	15, 16	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (U.P~A \ x) e. V
18	17	elpw 2401	. . . . . . 7 |- ((U.P~A \ x) e. P~A <-> (U.P~A \ x) (_ A)
19	14, 18	mpbir 190	. . . . . 6 |- (U.P~A \ x) e. P~A
20	12, 19	jctir 293	. . . . 5 |- (x e. P~A -> (x (_ U.P~A /\ (U.P~A \ x) e. P~A))
21	11, 20	impbi 157	. . . 4 |- ((x (_ U.P~A /\ (U.P~A \ x) e. P~A) <-> x e. P~A)
22	4, 21	syl6rbb 536	. . 3 |- (P~A e. Top -> (x e. P~A <-> x e. (Clsd` P~A)))
23	2, 22	ax-mp 7	. 2 |- (x e. P~A <-> x e. (Clsd` P~A))
24	23	eqriv 1473	1 |- P~A = (Clsd` P~A)

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  Vcvv 1808   \ cdif 2041   (_ wss 2044  P~cpw 2398  U.cuni 2499  ` cfv 3178  Topctop 7548  Clsdccld 7620

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-sep 2699  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-ral 1647  df-rex 1648  df-rab 1650  df-v 1809  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-nul 2278  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-op 2413  df-uni 2500  df-br 2616  df-opab 2663  df-id 2831  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fv 3194  df-top 7552  df-cld 7623

Copyright terms: Public domain