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Theorem dvcnp2 19673
Description: A function is continuous at each point for which it is differentiable. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcnp.j  |-  J  =  ( Kt  A )
dvcnp.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
dvcnp2  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B  e.  dom  ( S  _D  F ) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
)

Proof of Theorem dvcnp2
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldmg 5005 . . 3  |-  ( B  e.  dom  ( S  _D  F )  -> 
( B  e.  dom  ( S  _D  F
)  <->  E. y  B ( S  _D  F ) y ) )
21ibi 233 . 2  |-  ( B  e.  dom  ( S  _D  F )  ->  E. y  B ( S  _D  F ) y )
3 simpl2 961 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  F : A --> CC )
43ffvelrnda 5809 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
5 dvcnp.k . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
65cnfldtop 18689 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  K  e. 
Top
7 simpl1 960 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  S  C_  CC )
8 cnex 9004 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  CC  e.  _V
9 ssexg 4290 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  S  e.  _V )
107, 8, 9sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  S  e.  _V )
11 resttop 17146 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  Top  /\  S  e.  _V )  ->  ( Kt  S )  e.  Top )
126, 10, 11sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( Kt  S )  e.  Top )
13 simpl3 962 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  A  C_  S
)
145cnfldtopon 18688 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
15 resttopon 17147 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  C_  CC )  ->  ( Kt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
1614, 7, 15sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( Kt  S )  e.  (TopOn `  S
) )
17 toponuni 16915 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Kt  S )  e.  (TopOn `  S )  ->  S  =  U. ( Kt  S ) )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  S  =  U. ( Kt  S ) )
1913, 18sseqtrd 3327 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  A  C_  U. ( Kt  S ) )
20 eqid 2387 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. ( Kt  S )  =  U. ( Kt  S )
2120ntrss2 17044 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Kt  S )  e.  Top  /\  A  C_  U. ( Kt  S ) )  -> 
( ( int `  ( Kt  S ) ) `  A )  C_  A
)
2212, 19, 21syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  A )  C_  A
)
23 eqid 2387 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Kt  S )  =  ( Kt  S )
24 eqid 2387 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  B )
)  /  ( z  -  B ) ) )  =  ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  B )
)  /  ( z  -  B ) ) )
25 simp1 957 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  ->  S  C_  CC )
26 simp2 958 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  ->  F : A --> CC )
27 simp3 959 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  ->  A  C_  S )
2823, 5, 24, 25, 26, 27eldv 19652 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  ->  ( B ( S  _D  F ) y  <->  ( B  e.  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  A )  /\  y  e.  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 B ) )  /  ( z  -  B ) ) ) lim
CC  B ) ) ) )
2928simprbda 607 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  B  e.  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  A ) )
3022, 29sseldd 3292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  B  e.  A
)
313, 30ffvelrnd 5810 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( F `  B )  e.  CC )
3231adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  B )  e.  CC )
334, 32subcld 9343 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  A )  ->  (
( F `  z
)  -  ( F `
 B ) )  e.  CC )
34 ssid 3310 . . . . . . . . 9  |-  CC  C_  CC
3534a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  CC  C_  CC )
36 txtopon 17544 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  K  e.  (TopOn `  CC )
)  ->  ( K  tX  K )  e.  (TopOn `  ( CC  X.  CC ) ) )
3714, 14, 36mp2an 654 . . . . . . . . . 10  |-  ( K 
tX  K )  e.  (TopOn `  ( CC  X.  CC ) )
3837toponunii 16920 . . . . . . . . . . 11  |-  ( CC 
X.  CC )  = 
U. ( K  tX  K )
3938restid 13588 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  tX  K )  e.  (TopOn `  ( CC  X.  CC ) )  ->  ( ( K 
tX  K )t  ( CC 
X.  CC ) )  =  ( K  tX  K ) )
4037, 39ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  tX  K )t  ( CC  X.  CC ) )  =  ( K 
tX  K )
4140eqcomi 2391 . . . . . . . 8  |-  ( K 
tX  K )  =  ( ( K  tX  K )t  ( CC  X.  CC ) )
4213, 7sstrd 3301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  A  C_  CC )
433, 42, 30dvlem 19650 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  B ) )  /  ( z  -  B ) )  e.  CC )
4442ssdifssd 3428 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( A  \  { B } )  C_  CC )
4544sselda 3291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
z  e.  CC )
4642, 30sseldd 3292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  B  e.  CC )
4746adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  ->  B  e.  CC )
4845, 47subcld 9343 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( z  -  B
)  e.  CC )
4928simplbda 608 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  y  e.  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 B ) )  /  ( z  -  B ) ) ) lim
CC  B ) )
50 limcresi 19639 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  A  |->  ( z  -  B ) ) lim CC  B ) 
C_  ( ( ( z  e.  A  |->  ( z  -  B ) )  |`  ( A  \  { B } ) ) lim CC  B )
51 difss 3417 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A 
\  { B }
)  C_  A
52 resmpt 5131 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  \  { B } )  C_  A  ->  ( ( z  e.  A  |->  ( z  -  B ) )  |`  ( A  \  { B } ) )  =  ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( z  -  B ) ) )
5351, 52ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  A  |->  ( z  -  B ) )  |`  ( A  \  { B } ) )  =  ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( z  -  B ) )
5453oveq1i 6030 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  A  |->  ( z  -  B
) )  |`  ( A  \  { B }
) ) lim CC  B
)  =  ( ( z  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( z  -  B ) ) lim CC  B )
5550, 54sseqtri 3323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  A  |->  ( z  -  B ) ) lim CC  B ) 
C_  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( z  -  B ) ) lim CC  B )
5646subidd 9331 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( B  -  B )  =  0 )
575subcn 18767 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K
)
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  -  e.  ( ( K  tX  K
)  Cn  K ) )
59 cncfmptid 18813 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
z  e.  A  |->  z )  e.  ( A
-cn-> CC ) )
6042, 34, 59sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( z  e.  A  |->  z )  e.  ( A -cn-> CC ) )
61 cncfmptc 18812 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  CC  /\  A  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
z  e.  A  |->  B )  e.  ( A
-cn-> CC ) )
6246, 42, 35, 61syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( z  e.  A  |->  B )  e.  ( A -cn-> CC ) )
635, 58, 60, 62cncfmpt2f 18815 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( z  e.  A  |->  ( z  -  B ) )  e.  ( A -cn-> CC ) )
64 oveq1 6027 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  B  ->  (
z  -  B )  =  ( B  -  B ) )
6563, 30, 64cnmptlimc 19644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( B  -  B )  e.  ( ( z  e.  A  |->  ( z  -  B
) ) lim CC  B
) )
6656, 65eqeltrrd 2462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  0  e.  ( ( z  e.  A  |->  ( z  -  B
) ) lim CC  B
) )
6755, 66sseldi 3289 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  0  e.  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( z  -  B ) ) lim
CC  B ) )
685mulcn 18768 . . . . . . . . . . . 12  |-  x.  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K
)
6925, 26, 27dvcl 19653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  y  e.  CC )
70 0cn 9017 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  CC
71 opelxpi 4850 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  CC  /\  0  e.  CC )  -> 
<. y ,  0 >.  e.  ( CC  X.  CC ) )
7269, 70, 71sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  <. y ,  0
>.  e.  ( CC  X.  CC ) )
7338cncnpi 17264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  x.  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K )  /\  <.
y ,  0 >.  e.  ( CC  X.  CC ) )  ->  x.  e.  ( ( ( K 
tX  K )  CnP 
K ) `  <. y ,  0 >. )
)
7468, 72, 73sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  x.  e.  ( ( ( K  tX  K )  CnP  K
) `  <. y ,  0 >. ) )
7543, 48, 35, 35, 5, 41, 49, 67, 74limccnp2 19646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( y  x.  0 )  e.  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  B )
)  /  ( z  -  B ) )  x.  ( z  -  B ) ) ) lim
CC  B ) )
7669mul01d 9197 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( y  x.  0 )  =  0 )
773adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  ->  F : A --> CC )
78 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
z  e.  ( A 
\  { B }
) )
7951, 78sseldi 3289 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
z  e.  A )
8077, 79ffvelrnd 5810 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( F `  z
)  e.  CC )
8131adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( F `  B
)  e.  CC )
8280, 81subcld 9343 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( ( F `  z )  -  ( F `  B )
)  e.  CC )
83 eldifsni 3871 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  ( A  \  { B } )  -> 
z  =/=  B )
8483adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
z  =/=  B )
8545, 47, 84subne0d 9352 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( z  -  B
)  =/=  0 )
8682, 48, 85divcan1d 9723 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) )  / 
( z  -  B
) )  x.  (
z  -  B ) )  =  ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) ) )
8786mpteq2dva 4236 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  B )
)  /  ( z  -  B ) )  x.  ( z  -  B ) ) )  =  ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) ) ) )
8887oveq1d 6035 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  B ) )  /  ( z  -  B ) )  x.  ( z  -  B ) ) ) lim
CC  B )  =  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) ) ) lim
CC  B ) )
8975, 76, 883eltr3d 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  0  e.  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) ) ) lim
CC  B ) )
90 eqid 2387 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  A  |->  ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) ) )  =  ( z  e.  A  |->  ( ( F `
 z )  -  ( F `  B ) ) )
9133, 90fmptd 5832 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( z  e.  A  |->  ( ( F `
 z )  -  ( F `  B ) ) ) : A --> CC )
9291limcdif 19630 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( ( z  e.  A  |->  ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) ) ) lim
CC  B )  =  ( ( ( z  e.  A  |->  ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) ) )  |`  ( A  \  { B } ) ) lim CC  B ) )
93 resmpt 5131 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  \  { B } )  C_  A  ->  ( ( z  e.  A  |->  ( ( F `
 z )  -  ( F `  B ) ) )  |`  ( A  \  { B }
) )  =  ( z  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( F `
 z )  -  ( F `  B ) ) ) )
9451, 93ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  A  |->  ( ( F `  z
)  -  ( F `
 B ) ) )  |`  ( A  \  { B } ) )  =  ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( F `  z
)  -  ( F `
 B ) ) )
9594oveq1i 6030 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  A  |->  ( ( F `  z )  -  ( F `  B )
) )  |`  ( A  \  { B }
) ) lim CC  B
)  =  ( ( z  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( F `
 z )  -  ( F `  B ) ) ) lim CC  B
)
9692, 95syl6eq 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( ( z  e.  A  |->  ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) ) ) lim
CC  B )  =  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) ) ) lim
CC  B ) )
9789, 96eleqtrrd 2464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  0  e.  ( ( z  e.  A  |->  ( ( F `  z )  -  ( F `  B )
) ) lim CC  B
) )
98 cncfmptc 18812 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  B
)  e.  CC  /\  A  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
z  e.  A  |->  ( F `  B ) )  e.  ( A
-cn-> CC ) )
9931, 42, 35, 98syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( z  e.  A  |->  ( F `  B ) )  e.  ( A -cn-> CC ) )
100 eqidd 2388 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  B  ->  ( F `  B )  =  ( F `  B ) )
10199, 30, 100cnmptlimc 19644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( F `  B )  e.  ( ( z  e.  A  |->  ( F `  B
) ) lim CC  B
) )
1025addcn 18766 . . . . . . . . 9  |-  +  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K
)
103 opelxpi 4850 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  ( F `  B )  e.  CC )  ->  <. 0 ,  ( F `
 B ) >.  e.  ( CC  X.  CC ) )
10470, 31, 103sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  <. 0 ,  ( F `  B )
>.  e.  ( CC  X.  CC ) )
10538cncnpi 17264 . . . . . . . . 9  |-  ( (  +  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K )  /\  <.
0 ,  ( F `
 B ) >.  e.  ( CC  X.  CC ) )  ->  +  e.  ( ( ( K 
tX  K )  CnP 
K ) `  <. 0 ,  ( F `  B ) >. )
)
106102, 104, 105sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  +  e.  ( ( ( K  tX  K )  CnP  K
) `  <. 0 ,  ( F `  B
) >. ) )
10733, 32, 35, 35, 5, 41, 97, 101, 106limccnp2 19646 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( 0  +  ( F `  B
) )  e.  ( ( z  e.  A  |->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  B ) )  +  ( F `
 B ) ) ) lim CC  B ) )
10831addid2d 9199 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( 0  +  ( F `  B
) )  =  ( F `  B ) )
1094, 32npcand 9347 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  A )  ->  (
( ( F `  z )  -  ( F `  B )
)  +  ( F `
 B ) )  =  ( F `  z ) )
110109mpteq2dva 4236 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( z  e.  A  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) )  +  ( F `  B
) ) )  =  ( z  e.  A  |->  ( F `  z
) ) )
1113feqmptd 5718 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  F  =  ( z  e.  A  |->  ( F `  z ) ) )
112110, 111eqtr4d 2422 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( z  e.  A  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) )  +  ( F `  B
) ) )  =  F )
113112oveq1d 6035 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( ( z  e.  A  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 B ) )  +  ( F `  B ) ) ) lim
CC  B )  =  ( F lim CC  B
) )
114107, 108, 1133eltr3d 2467 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( F `  B )  e.  ( F lim CC  B ) )
115 dvcnp.j . . . . . . . 8  |-  J  =  ( Kt  A )
1165, 115cnplimc 19641 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B )  <->  ( F : A --> CC  /\  ( F `  B )  e.  ( F lim CC  B
) ) ) )
11742, 30, 116syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B )  <-> 
( F : A --> CC  /\  ( F `  B )  e.  ( F lim CC  B ) ) ) )
1183, 114, 117mpbir2and 889 . . . . 5  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
)
119118ex 424 . . . 4  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  ->  ( B ( S  _D  F ) y  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B ) ) )
120119exlimdv 1643 . . 3  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  ->  ( E. y  B ( S  _D  F ) y  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
) )
121120imp 419 . 2  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  E. y  B ( S  _D  F ) y )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B ) )
1222, 121sylan2 461 1  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B  e.  dom  ( S  _D  F ) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550   _Vcvv 2899    \ cdif 3260    C_ wss 3263   {csn 3757   <.cop 3760   U.cuni 3957   class class class wbr 4153    e. cmpt 4207    X. cxp 4816   dom cdm 4818    |` cres 4820   -->wf 5390   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   CCcc 8921   0cc0 8923    + caddc 8926    x. cmul 8928    - cmin 9223    / cdiv 9609   ↾t crest 13575   TopOpenctopn 13576  ℂfldccnfld 16626   Topctop 16881  TopOnctopon 16882   intcnt 17004    Cn ccn 17210    CnP ccnp 17211    tX ctx 17513   -cn->ccncf 18777   lim CC climc 19616    _D cdv 19617
This theorem is referenced by:  dvcn  19674  dvmulbr  19692  dvcobr  19699
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001  ax-addf 9002  ax-mulf 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-iin 4038  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-of 6244  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-pm 6957  df-ixp 7000  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-fi 7351  df-sup 7381  df-oi 7412  df-card 7759  df-cda 7981  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-7 9995  df-8 9996  df-9 9997  df-10 9998  df-n0 10154  df-z 10215  df-dec 10315  df-uz 10421  df-q 10507  df-rp 10545  df-xneg 10642  df-xadd 10643  df-xmul 10644  df-icc 10855  df-fz 10976  df-fzo 11066  df-seq 11251  df-exp 11310  df-hash 11546  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-struct 13398  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-ress 13403  df-plusg 13469  df-mulr 13470  df-starv 13471  df-sca 13472  df-vsca 13473  df-tset 13475  df-ple 13476  df-ds 13478  df-unif 13479  df-hom 13480  df-cco 13481  df-rest 13577  df-topn 13578  df-topgen 13594  df-pt 13595  df-prds 13598  df-xrs 13653  df-0g 13654  df-gsum 13655  df-qtop 13660  df-imas 13661  df-xps 13663  df-mre 13738  df-mrc 13739  df-acs 13741  df-mnd 14617  df-submnd 14666  df-mulg 14742  df-cntz 15043  df-cmn 15341  df-xmet 16619  df-met 16620  df-bl 16621  df-mopn 16622  df-cnfld 16627  df-top 16886  df-bases 16888  df-topon 16889  df-topsp 16890  df-ntr 17007  df-cn 17213  df-cnp 17214  df-tx 17515  df-hmeo 17708  df-xms 18259  df-ms 18260  df-tms 18261  df-cncf 18779  df-limc 19620  df-dv 19621
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