MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcof Structured version   Unicode version

Theorem dvcof 19834
Description: The chain rule for everywhere-differentiable functions. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcof.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvcof.t  |-  ( ph  ->  T  e.  { RR ,  CC } )
dvcof.f  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
dvcof.g  |-  ( ph  ->  G : Y --> X )
dvcof.df  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  F )  =  X )
dvcof.dg  |-  ( ph  ->  dom  ( T  _D  G )  =  Y )
Assertion
Ref Expression
dvcof  |-  ( ph  ->  ( T  _D  ( F  o.  G )
)  =  ( ( ( S  _D  F
)  o.  G )  o F  x.  ( T  _D  G ) ) )

Proof of Theorem dvcof
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvcof.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
21adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  F : X --> CC )
3 dvcof.df . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  F )  =  X )
4 dvbsss 19789 . . . . . 6  |-  dom  ( S  _D  F )  C_  S
53, 4syl6eqssr 3399 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
65adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  X  C_  S )
7 dvcof.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G : Y --> X )
87adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  G : Y --> X )
9 dvcof.dg . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( T  _D  G )  =  Y )
10 dvbsss 19789 . . . . . 6  |-  dom  ( T  _D  G )  C_  T
119, 10syl6eqssr 3399 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  C_  T )
1211adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  Y  C_  T )
13 dvcof.s . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
1413adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
15 dvcof.t . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  { RR ,  CC } )
1615adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  T  e.  { RR ,  CC } )
177ffvelrnda 5870 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( G `  x )  e.  X )
183adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  dom  ( S  _D  F
)  =  X )
1917, 18eleqtrrd 2513 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( G `  x )  e.  dom  ( S  _D  F ) )
209eleq2d 2503 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  dom  ( T  _D  G
)  <->  x  e.  Y
) )
2120biimpar 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  x  e.  dom  ( T  _D  G ) )
222, 6, 8, 12, 14, 16, 19, 21dvco 19833 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( T  _D  ( F  o.  G )
) `  x )  =  ( ( ( S  _D  F ) `
 ( G `  x ) )  x.  ( ( T  _D  G ) `  x
) ) )
2322mpteq2dva 4295 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  Y  |->  ( ( T  _D  ( F  o.  G
) ) `  x
) )  =  ( x  e.  Y  |->  ( ( ( S  _D  F ) `  ( G `  x )
)  x.  ( ( T  _D  G ) `
 x ) ) ) )
24 dvfg 19793 . . . . 5  |-  ( T  e.  { RR ,  CC }  ->  ( T  _D  ( F  o.  G
) ) : dom  ( T  _D  ( F  o.  G )
) --> CC )
2515, 24syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T  _D  ( F  o.  G )
) : dom  ( T  _D  ( F  o.  G ) ) --> CC )
26 recnprss 19791 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  { RR ,  CC }  ->  T  C_  CC )
2715, 26syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  C_  CC )
28 fco 5600 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : X --> CC  /\  G : Y --> X )  ->  ( F  o.  G ) : Y --> CC )
291, 7, 28syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F  o.  G
) : Y --> CC )
3027, 29, 11dvbss 19788 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( T  _D  ( F  o.  G
) )  C_  Y
)
31 recnprss 19791 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
3214, 31syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  S  C_  CC )
3316, 26syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  T  C_  CC )
34 fvex 5742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  _D  F ) `
 ( G `  x ) )  e. 
_V
3534a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( S  _D  F
) `  ( G `  x ) )  e. 
_V )
36 fvex 5742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  _D  G ) `
 x )  e. 
_V
3736a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( T  _D  G
) `  x )  e.  _V )
38 dvfg 19793 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F
) --> CC )
3914, 38syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F ) --> CC )
40 ffun 5593 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F ) --> CC 
->  Fun  ( S  _D  F ) )
41 funfvbrb 5843 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Fun  ( S  _D  F
)  ->  ( ( G `  x )  e.  dom  ( S  _D  F )  <->  ( G `  x ) ( S  _D  F ) ( ( S  _D  F
) `  ( G `  x ) ) ) )
4239, 40, 413syl 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( G `  x
)  e.  dom  ( S  _D  F )  <->  ( G `  x ) ( S  _D  F ) ( ( S  _D  F
) `  ( G `  x ) ) ) )
4319, 42mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( G `  x )
( S  _D  F
) ( ( S  _D  F ) `  ( G `  x ) ) )
44 dvfg 19793 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  { RR ,  CC }  ->  ( T  _D  G ) : dom  ( T  _D  G
) --> CC )
4516, 44syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( T  _D  G ) : dom  ( T  _D  G ) --> CC )
46 ffun 5593 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  _D  G ) : dom  ( T  _D  G ) --> CC 
->  Fun  ( T  _D  G ) )
47 funfvbrb 5843 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Fun  ( T  _D  G
)  ->  ( x  e.  dom  ( T  _D  G )  <->  x ( T  _D  G ) ( ( T  _D  G
) `  x )
) )
4845, 46, 473syl 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
x  e.  dom  ( T  _D  G )  <->  x ( T  _D  G ) ( ( T  _D  G
) `  x )
) )
4921, 48mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  x
( T  _D  G
) ( ( T  _D  G ) `  x ) )
50 eqid 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
512, 6, 8, 12, 32, 33, 35, 37, 43, 49, 50dvcobr 19832 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  x
( T  _D  ( F  o.  G )
) ( ( ( S  _D  F ) `
 ( G `  x ) )  x.  ( ( T  _D  G ) `  x
) ) )
52 reldv 19757 . . . . . . . . . 10  |-  Rel  ( T  _D  ( F  o.  G ) )
5352releldmi 5106 . . . . . . . . 9  |-  ( x ( T  _D  ( F  o.  G )
) ( ( ( S  _D  F ) `
 ( G `  x ) )  x.  ( ( T  _D  G ) `  x
) )  ->  x  e.  dom  ( T  _D  ( F  o.  G
) ) )
5451, 53syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  x  e.  dom  ( T  _D  ( F  o.  G
) ) )
5554ex 424 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  Y  ->  x  e.  dom  ( T  _D  ( F  o.  G ) ) ) )
5655ssrdv 3354 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  C_  dom  ( T  _D  ( F  o.  G ) ) )
5730, 56eqssd 3365 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( T  _D  ( F  o.  G
) )  =  Y )
5857feq2d 5581 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( T  _D  ( F  o.  G
) ) : dom  ( T  _D  ( F  o.  G )
) --> CC  <->  ( T  _D  ( F  o.  G
) ) : Y --> CC ) )
5925, 58mpbid 202 . . 3  |-  ( ph  ->  ( T  _D  ( F  o.  G )
) : Y --> CC )
6059feqmptd 5779 . 2  |-  ( ph  ->  ( T  _D  ( F  o.  G )
)  =  ( x  e.  Y  |->  ( ( T  _D  ( F  o.  G ) ) `
 x ) ) )
6115, 11ssexd 4350 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  _V )
627feqmptd 5779 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  Y  |->  ( G `
 x ) ) )
6313, 38syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S  _D  F
) : dom  ( S  _D  F ) --> CC )
643feq2d 5581 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F
) --> CC  <->  ( S  _D  F ) : X --> CC ) )
6563, 64mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S  _D  F
) : X --> CC )
6665feqmptd 5779 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  _D  F
)  =  ( y  e.  X  |->  ( ( S  _D  F ) `
 y ) ) )
67 fveq2 5728 . . . 4  |-  ( y  =  ( G `  x )  ->  (
( S  _D  F
) `  y )  =  ( ( S  _D  F ) `  ( G `  x ) ) )
6817, 62, 66, 67fmptco 5901 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  F )  o.  G
)  =  ( x  e.  Y  |->  ( ( S  _D  F ) `
 ( G `  x ) ) ) )
6915, 44syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( T  _D  G
) : dom  ( T  _D  G ) --> CC )
709feq2d 5581 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( T  _D  G ) : dom  ( T  _D  G
) --> CC  <->  ( T  _D  G ) : Y --> CC ) )
7169, 70mpbid 202 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T  _D  G
) : Y --> CC )
7271feqmptd 5779 . . 3  |-  ( ph  ->  ( T  _D  G
)  =  ( x  e.  Y  |->  ( ( T  _D  G ) `
 x ) ) )
7361, 35, 37, 68, 72offval2 6322 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  _D  F )  o.  G )  o F  x.  ( T  _D  G ) )  =  ( x  e.  Y  |->  ( ( ( S  _D  F ) `  ( G `  x ) )  x.  ( ( T  _D  G ) `
 x ) ) ) )
7423, 60, 733eqtr4d 2478 1  |-  ( ph  ->  ( T  _D  ( F  o.  G )
)  =  ( ( ( S  _D  F
)  o.  G )  o F  x.  ( T  _D  G ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2956    C_ wss 3320   {cpr 3815   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   dom cdm 4878    o. ccom 4882   Fun wfun 5448   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    o Fcof 6303   CCcc 8988   RRcr 8989    x. cmul 8995   TopOpenctopn 13649  ℂfldccnfld 16703    _D cdv 19750
This theorem is referenced by:  dvmptco  19858
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-prds 13671  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-xps 13736  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-mulg 14815  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-nei 17162  df-lp 17200  df-perf 17201  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-haus 17379  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-fil 17878  df-fm 17970  df-flim 17971  df-flf 17972  df-xms 18350  df-ms 18351  df-tms 18352  df-cncf 18908  df-limc 19753  df-dv 19754
  Copyright terms: Public domain W3C validator