MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcof Unicode version

Theorem dvcof 19293
Description: The chain rule for everywhere-differentiable functions. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcof.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvcof.t  |-  ( ph  ->  T  e.  { RR ,  CC } )
dvcof.f  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
dvcof.g  |-  ( ph  ->  G : Y --> X )
dvcof.df  |-  ( ph  ->  dom  (  S  _D  F )  =  X )
dvcof.dg  |-  ( ph  ->  dom  (  T  _D  G )  =  Y )
Assertion
Ref Expression
dvcof  |-  ( ph  ->  ( T  _D  ( F  o.  G )
)  =  ( ( ( S  _D  F
)  o.  G )  o F  x.  ( T  _D  G ) ) )
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Proof of Theorem dvcof
StepHypRef Expression
1 dvcof.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
21adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  F : X --> CC )
3 dvcof.df . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  (  S  _D  F )  =  X )
4 dvbsss 19248 . . . . . . 7  |-  dom  (  S  _D  F )  C_  S
54a1i 12 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  (  S  _D  F )  C_  S
)
63, 5eqsstr3d 3216 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
76adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  X  C_  S )
8 dvcof.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G : Y --> X )
98adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  G : Y --> X )
10 dvcof.dg . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  (  T  _D  G )  =  Y )
11 dvbsss 19248 . . . . . . 7  |-  dom  (  T  _D  G )  C_  T
1211a1i 12 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  (  T  _D  G )  C_  T
)
1310, 12eqsstr3d 3216 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  C_  T )
1413adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  Y  C_  T )
15 dvcof.s . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
1615adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
17 dvcof.t . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  { RR ,  CC } )
1817adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  T  e.  { RR ,  CC } )
19 ffvelrn 5626 . . . . . 6  |-  ( ( G : Y --> X  /\  x  e.  Y )  ->  ( G `  x
)  e.  X )
208, 19sylan 459 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( G `  x )  e.  X )
213adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  dom  (  S  _D  F
)  =  X )
2220, 21eleqtrrd 2363 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( G `  x )  e.  dom  (  S  _D  F ) )
2310eleq2d 2353 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  dom  (  T  _D  G
)  <->  x  e.  Y
) )
2423biimpar 473 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  x  e.  dom  (  T  _D  G ) )
252, 7, 9, 14, 16, 18, 22, 24dvco 19292 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( T  _D  ( F  o.  G )
) `  x )  =  ( ( ( S  _D  F ) `
 ( G `  x ) )  x.  ( ( T  _D  G ) `  x
) ) )
2625mpteq2dva 4109 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  Y  |->  ( ( T  _D  ( F  o.  G
) ) `  x
) )  =  ( x  e.  Y  |->  ( ( ( S  _D  F ) `  ( G `  x )
)  x.  ( ( T  _D  G ) `
 x ) ) ) )
27 dvfg 19252 . . . . 5  |-  ( T  e.  { RR ,  CC }  ->  ( T  _D  ( F  o.  G
) ) : dom  (  T  _D  ( F  o.  G )
) --> CC )
2817, 27syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T  _D  ( F  o.  G )
) : dom  (  T  _D  ( F  o.  G ) ) --> CC )
29 recnprss 19250 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  { RR ,  CC }  ->  T  C_  CC )
3017, 29syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  C_  CC )
31 fco 5365 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : X --> CC  /\  G : Y --> X )  ->  ( F  o.  G ) : Y --> CC )
321, 8, 31syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F  o.  G
) : Y --> CC )
3330, 32, 13dvbss 19247 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  (  T  _D  ( F  o.  G
) )  C_  Y
)
34 recnprss 19250 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
3516, 34syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  S  C_  CC )
3618, 29syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  T  C_  CC )
37 fvex 5501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  _D  F ) `
 ( G `  x ) )  e. 
_V
3837a1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( S  _D  F
) `  ( G `  x ) )  e. 
_V )
39 fvex 5501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  _D  G ) `
 x )  e. 
_V
4039a1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( T  _D  G
) `  x )  e.  _V )
41 dvfg 19252 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( S  _D  F ) : dom  (  S  _D  F
) --> CC )
4216, 41syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( S  _D  F ) : dom  (  S  _D  F ) --> CC )
43 ffun 5358 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  _D  F ) : dom  (  S  _D  F ) --> CC 
->  Fun  ( S  _D  F ) )
44 funfvbrb 5601 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Fun  ( S  _D  F
)  ->  ( ( G `  x )  e.  dom  (  S  _D  F )  <->  ( G `  x ) ( S  _D  F ) ( ( S  _D  F
) `  ( G `  x ) ) ) )
4542, 43, 443syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( G `  x
)  e.  dom  (  S  _D  F )  <->  ( G `  x ) ( S  _D  F ) ( ( S  _D  F
) `  ( G `  x ) ) ) )
4622, 45mpbid 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( G `  x )
( S  _D  F
) ( ( S  _D  F ) `  ( G `  x ) ) )
47 dvfg 19252 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  { RR ,  CC }  ->  ( T  _D  G ) : dom  (  T  _D  G
) --> CC )
4818, 47syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( T  _D  G ) : dom  (  T  _D  G ) --> CC )
49 ffun 5358 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  _D  G ) : dom  (  T  _D  G ) --> CC 
->  Fun  ( T  _D  G ) )
50 funfvbrb 5601 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Fun  ( T  _D  G
)  ->  ( x  e.  dom  (  T  _D  G )  <->  x ( T  _D  G ) ( ( T  _D  G
) `  x )
) )
5148, 49, 503syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
x  e.  dom  (  T  _D  G )  <->  x ( T  _D  G ) ( ( T  _D  G
) `  x )
) )
5224, 51mpbid 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  x
( T  _D  G
) ( ( T  _D  G ) `  x ) )
53 eqid 2286 . . . . . . . . . 10  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
542, 7, 9, 14, 35, 36, 38, 40, 46, 52, 53dvcobr 19291 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  x
( T  _D  ( F  o.  G )
) ( ( ( S  _D  F ) `
 ( G `  x ) )  x.  ( ( T  _D  G ) `  x
) ) )
55 reldv 19216 . . . . . . . . . 10  |-  Rel  ( T  _D  ( F  o.  G ) )
5655releldmi 4916 . . . . . . . . 9  |-  ( x ( T  _D  ( F  o.  G )
) ( ( ( S  _D  F ) `
 ( G `  x ) )  x.  ( ( T  _D  G ) `  x
) )  ->  x  e.  dom  (  T  _D  ( F  o.  G
) ) )
5754, 56syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  x  e.  dom  (  T  _D  ( F  o.  G
) ) )
5857ex 425 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  Y  ->  x  e.  dom  (  T  _D  ( F  o.  G ) ) ) )
5958ssrdv 3188 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  C_  dom  (  T  _D  ( F  o.  G ) ) )
6033, 59eqssd 3199 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  (  T  _D  ( F  o.  G
) )  =  Y )
6160feq2d 5347 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( T  _D  ( F  o.  G
) ) : dom  (  T  _D  ( F  o.  G )
) --> CC  <->  ( T  _D  ( F  o.  G
) ) : Y --> CC ) )
6228, 61mpbid 203 . . 3  |-  ( ph  ->  ( T  _D  ( F  o.  G )
) : Y --> CC )
6362feqmptd 5538 . 2  |-  ( ph  ->  ( T  _D  ( F  o.  G )
)  =  ( x  e.  Y  |->  ( ( T  _D  ( F  o.  G ) ) `
 x ) ) )
6413, 30sstrd 3192 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  C_  CC )
65 cnex 8815 . . . 4  |-  CC  e.  _V
66 ssexg 4163 . . . 4  |-  ( ( Y  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  Y  e.  _V )
6764, 65, 66sylancl 645 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  _V )
688feqmptd 5538 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  Y  |->  ( G `
 x ) ) )
6915, 41syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S  _D  F
) : dom  (  S  _D  F ) --> CC )
703feq2d 5347 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  F ) : dom  (  S  _D  F
) --> CC  <->  ( S  _D  F ) : X --> CC ) )
7169, 70mpbid 203 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S  _D  F
) : X --> CC )
7271feqmptd 5538 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  _D  F
)  =  ( y  e.  X  |->  ( ( S  _D  F ) `
 y ) ) )
73 fveq2 5487 . . . 4  |-  ( y  =  ( G `  x )  ->  (
( S  _D  F
) `  y )  =  ( ( S  _D  F ) `  ( G `  x ) ) )
7420, 68, 72, 73fmptco 5654 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  F )  o.  G
)  =  ( x  e.  Y  |->  ( ( S  _D  F ) `
 ( G `  x ) ) ) )
7517, 47syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( T  _D  G
) : dom  (  T  _D  G ) --> CC )
7610feq2d 5347 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( T  _D  G ) : dom  (  T  _D  G
) --> CC  <->  ( T  _D  G ) : Y --> CC ) )
7775, 76mpbid 203 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T  _D  G
) : Y --> CC )
7877feqmptd 5538 . . 3  |-  ( ph  ->  ( T  _D  G
)  =  ( x  e.  Y  |->  ( ( T  _D  G ) `
 x ) ) )
7967, 38, 40, 74, 78offval2 6058 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  _D  F )  o.  G )  o F  x.  ( T  _D  G ) )  =  ( x  e.  Y  |->  ( ( ( S  _D  F ) `  ( G `  x ) )  x.  ( ( T  _D  G ) `
 x ) ) ) )
8026, 63, 793eqtr4d 2328 1  |-  ( ph  ->  ( T  _D  ( F  o.  G )
)  =  ( ( ( S  _D  F
)  o.  G )  o F  x.  ( T  _D  G ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1625    e. wcel 1687   _Vcvv 2791    C_ wss 3155   {cpr 3644   class class class wbr 4026    e. cmpt 4080   dom cdm 4690    o. ccom 4694   Fun wfun 5217   -->wf 5219   ` cfv 5223  (class class class)co 5821    o Fcof 6039   CCcc 8732   RRcr 8733    x. cmul 8739   TopOpenctopn 13322  ℂfldccnfld 16373    _D cdv 19209
This theorem is referenced by:  dvmptco  19317
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1638  ax-8 1646  ax-13 1689  ax-14 1691  ax-6 1706  ax-7 1711  ax-11 1718  ax-12 1870  ax-ext 2267  ax-rep 4134  ax-sep 4144  ax-nul 4152  ax-pow 4189  ax-pr 4215  ax-un 4513  ax-inf2 7339  ax-cnex 8790  ax-resscn 8791  ax-1cn 8792  ax-icn 8793  ax-addcl 8794  ax-addrcl 8795  ax-mulcl 8796  ax-mulrcl 8797  ax-mulcom 8798  ax-addass 8799  ax-mulass 8800  ax-distr 8801  ax-i2m1 8802  ax-1ne0 8803  ax-1rid 8804  ax-rnegex 8805  ax-rrecex 8806  ax-cnre 8807  ax-pre-lttri 8808  ax-pre-lttrn 8809  ax-pre-ltadd 8810  ax-pre-mulgt0 8811  ax-pre-sup 8812  ax-addf 8813  ax-mulf 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1633  df-eu 2150  df-mo 2151  df-clab 2273  df-cleq 2279  df-clel 2282  df-nfc 2411  df-ne 2451  df-nel 2452  df-ral 2551  df-rex 2552  df-reu 2553  df-rmo 2554  df-rab 2555  df-v 2793  df-sbc 2995  df-csb 3085  df-dif 3158  df-un 3160  df-in 3162  df-ss 3169  df-pss 3171  df-nul 3459  df-if 3569  df-pw 3630  df-sn 3649  df-pr 3650  df-tp 3651  df-op 3652  df-uni 3831  df-int 3866  df-iun 3910  df-iin 3911  df-br 4027  df-opab 4081  df-mpt 4082  df-tr 4117  df-eprel 4306  df-id 4310  df-po 4315  df-so 4316  df-fr 4353  df-se 4354  df-we 4355  df-ord 4396  df-on 4397  df-lim 4398  df-suc 4399  df-om 4658  df-xp 4696  df-rel 4697  df-cnv 4698  df-co 4699  df-dm 4700  df-rn 4701  df-res 4702  df-ima 4703  df-fun 5225  df-fn 5226  df-f 5227  df-f1 5228  df-fo 5229  df-f1o 5230  df-fv 5231  df-isom 5232  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpt2 5826  df-of 6041  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-iota 6254  df-riota 6301  df-recs 6385  df-rdg 6420  df-1o 6476  df-2o 6477  df-oadd 6480  df-er 6657  df-map 6771  df-pm 6772  df-ixp 6815  df-en 6861  df-dom 6862  df-sdom 6863  df-fin 6864  df-fi 7162  df-sup 7191  df-oi 7222  df-card 7569  df-cda 7791  df-pnf 8866  df-mnf 8867  df-xr 8868  df-ltxr 8869  df-le 8870  df-sub 9036  df-neg 9037  df-div 9421  df-nn 9744  df-2 9801  df-3 9802  df-4 9803  df-5 9804  df-6 9805  df-7 9806  df-8 9807  df-9 9808  df-10 9809  df-n0 9963  df-z 10022  df-dec 10122  df-uz 10228  df-q 10314  df-rp 10352  df-xneg 10449  df-xadd 10450  df-xmul 10451  df-icc 10659  df-fz 10779  df-fzo 10867  df-seq 11043  df-exp 11101  df-hash 11334  df-cj 11580  df-re 11581  df-im 11582  df-sqr 11716  df-abs 11717  df-struct 13146  df-ndx 13147  df-slot 13148  df-base 13149  df-sets 13150  df-ress 13151  df-plusg 13217  df-mulr 13218  df-starv 13219  df-sca 13220  df-vsca 13221  df-tset 13223  df-ple 13224  df-ds 13226  df-hom 13228  df-cco 13229  df-rest 13323  df-topn 13324  df-topgen 13340  df-pt 13341  df-prds 13344  df-xrs 13399  df-0g 13400  df-gsum 13401  df-qtop 13406  df-imas 13407  df-xps 13409  df-mre 13484  df-mrc 13485  df-acs 13487  df-mnd 14363  df-submnd 14412  df-mulg 14488  df-cntz 14789  df-cmn 15087  df-xmet 16369  df-met 16370  df-bl 16371  df-mopn 16372  df-cnfld 16374  df-top 16632  df-bases 16634  df-topon 16635  df-topsp 16636  df-cld 16752  df-ntr 16753  df-cls 16754  df-nei 16831  df-lp 16864  df-perf 16865  df-cn 16953  df-cnp 16954  df-haus 17039  df-tx 17253  df-hmeo 17442  df-fbas 17516  df-fg 17517  df-fil 17537  df-fm 17629  df-flim 17630  df-flf 17631  df-xms 17881  df-ms 17882  df-tms 17883  df-cncf 18378  df-limc 19212  df-dv 19213
  Copyright terms: Public domain W3C validator