MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcof Unicode version

Theorem dvcof 19259
Description: The chain rule for everywhere-differentiable functions. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcof.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvcof.t  |-  ( ph  ->  T  e.  { RR ,  CC } )
dvcof.f  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
dvcof.g  |-  ( ph  ->  G : Y --> X )
dvcof.df  |-  ( ph  ->  dom  (  S  _D  F )  =  X )
dvcof.dg  |-  ( ph  ->  dom  (  T  _D  G )  =  Y )
Assertion
Ref Expression
dvcof  |-  ( ph  ->  ( T  _D  ( F  o.  G )
)  =  ( ( ( S  _D  F
)  o.  G )  o F  x.  ( T  _D  G ) ) )

Proof of Theorem dvcof
StepHypRef Expression
1 dvcof.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
21adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  F : X --> CC )
3 dvcof.df . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  (  S  _D  F )  =  X )
4 dvbsss 19214 . . . . . . 7  |-  dom  (  S  _D  F )  C_  S
54a1i 12 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  (  S  _D  F )  C_  S
)
63, 5eqsstr3d 3188 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
76adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  X  C_  S )
8 dvcof.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G : Y --> X )
98adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  G : Y --> X )
10 dvcof.dg . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  (  T  _D  G )  =  Y )
11 dvbsss 19214 . . . . . . 7  |-  dom  (  T  _D  G )  C_  T
1211a1i 12 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  (  T  _D  G )  C_  T
)
1310, 12eqsstr3d 3188 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  C_  T )
1413adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  Y  C_  T )
15 dvcof.s . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
1615adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
17 dvcof.t . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  { RR ,  CC } )
1817adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  T  e.  { RR ,  CC } )
19 ffvelrn 5597 . . . . . 6  |-  ( ( G : Y --> X  /\  x  e.  Y )  ->  ( G `  x
)  e.  X )
208, 19sylan 459 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( G `  x )  e.  X )
213adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  dom  (  S  _D  F
)  =  X )
2220, 21eleqtrrd 2335 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( G `  x )  e.  dom  (  S  _D  F ) )
2310eleq2d 2325 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  dom  (  T  _D  G
)  <->  x  e.  Y
) )
2423biimpar 473 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  x  e.  dom  (  T  _D  G ) )
252, 7, 9, 14, 16, 18, 22, 24dvco 19258 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( T  _D  ( F  o.  G )
) `  x )  =  ( ( ( S  _D  F ) `
 ( G `  x ) )  x.  ( ( T  _D  G ) `  x
) ) )
2625mpteq2dva 4080 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  Y  |->  ( ( T  _D  ( F  o.  G
) ) `  x
) )  =  ( x  e.  Y  |->  ( ( ( S  _D  F ) `  ( G `  x )
)  x.  ( ( T  _D  G ) `
 x ) ) ) )
27 dvfg 19218 . . . . 5  |-  ( T  e.  { RR ,  CC }  ->  ( T  _D  ( F  o.  G
) ) : dom  (  T  _D  ( F  o.  G )
) --> CC )
2817, 27syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T  _D  ( F  o.  G )
) : dom  (  T  _D  ( F  o.  G ) ) --> CC )
29 recnprss 19216 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  { RR ,  CC }  ->  T  C_  CC )
3017, 29syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  C_  CC )
31 fco 5336 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : X --> CC  /\  G : Y --> X )  ->  ( F  o.  G ) : Y --> CC )
321, 8, 31syl2anc 645 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F  o.  G
) : Y --> CC )
3330, 32, 13dvbss 19213 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  (  T  _D  ( F  o.  G
) )  C_  Y
)
34 recnprss 19216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
3516, 34syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  S  C_  CC )
3618, 29syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  T  C_  CC )
37 fvex 5472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  _D  F ) `
 ( G `  x ) )  e. 
_V
3837a1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( S  _D  F
) `  ( G `  x ) )  e. 
_V )
39 fvex 5472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  _D  G ) `
 x )  e. 
_V
4039a1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( T  _D  G
) `  x )  e.  _V )
41 dvfg 19218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( S  _D  F ) : dom  (  S  _D  F
) --> CC )
4216, 41syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( S  _D  F ) : dom  (  S  _D  F ) --> CC )
43 ffun 5329 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  _D  F ) : dom  (  S  _D  F ) --> CC 
->  Fun  ( S  _D  F ) )
44 funfvbrb 5572 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Fun  ( S  _D  F
)  ->  ( ( G `  x )  e.  dom  (  S  _D  F )  <->  ( G `  x ) ( S  _D  F ) ( ( S  _D  F
) `  ( G `  x ) ) ) )
4542, 43, 443syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( G `  x
)  e.  dom  (  S  _D  F )  <->  ( G `  x ) ( S  _D  F ) ( ( S  _D  F
) `  ( G `  x ) ) ) )
4622, 45mpbid 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( G `  x )
( S  _D  F
) ( ( S  _D  F ) `  ( G `  x ) ) )
47 dvfg 19218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  { RR ,  CC }  ->  ( T  _D  G ) : dom  (  T  _D  G
) --> CC )
4818, 47syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( T  _D  G ) : dom  (  T  _D  G ) --> CC )
49 ffun 5329 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  _D  G ) : dom  (  T  _D  G ) --> CC 
->  Fun  ( T  _D  G ) )
50 funfvbrb 5572 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Fun  ( T  _D  G
)  ->  ( x  e.  dom  (  T  _D  G )  <->  x ( T  _D  G ) ( ( T  _D  G
) `  x )
) )
5148, 49, 503syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
x  e.  dom  (  T  _D  G )  <->  x ( T  _D  G ) ( ( T  _D  G
) `  x )
) )
5224, 51mpbid 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  x
( T  _D  G
) ( ( T  _D  G ) `  x ) )
53 eqid 2258 . . . . . . . . . 10  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
542, 7, 9, 14, 35, 36, 38, 40, 46, 52, 53dvcobr 19257 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  x
( T  _D  ( F  o.  G )
) ( ( ( S  _D  F ) `
 ( G `  x ) )  x.  ( ( T  _D  G ) `  x
) ) )
55 reldv 19182 . . . . . . . . . 10  |-  Rel  ( T  _D  ( F  o.  G ) )
5655releldmi 4903 . . . . . . . . 9  |-  ( x ( T  _D  ( F  o.  G )
) ( ( ( S  _D  F ) `
 ( G `  x ) )  x.  ( ( T  _D  G ) `  x
) )  ->  x  e.  dom  (  T  _D  ( F  o.  G
) ) )
5754, 56syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  x  e.  dom  (  T  _D  ( F  o.  G
) ) )
5857ex 425 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  Y  ->  x  e.  dom  (  T  _D  ( F  o.  G ) ) ) )
5958ssrdv 3160 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  C_  dom  (  T  _D  ( F  o.  G ) ) )
6033, 59eqssd 3171 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  (  T  _D  ( F  o.  G
) )  =  Y )
6160feq2d 5318 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( T  _D  ( F  o.  G
) ) : dom  (  T  _D  ( F  o.  G )
) --> CC  <->  ( T  _D  ( F  o.  G
) ) : Y --> CC ) )
6228, 61mpbid 203 . . 3  |-  ( ph  ->  ( T  _D  ( F  o.  G )
) : Y --> CC )
6362feqmptd 5509 . 2  |-  ( ph  ->  ( T  _D  ( F  o.  G )
)  =  ( x  e.  Y  |->  ( ( T  _D  ( F  o.  G ) ) `
 x ) ) )
6413, 30sstrd 3164 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  C_  CC )
65 cnex 8786 . . . 4  |-  CC  e.  _V
66 ssexg 4134 . . . 4  |-  ( ( Y  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  Y  e.  _V )
6764, 65, 66sylancl 646 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  _V )
688feqmptd 5509 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  Y  |->  ( G `
 x ) ) )
6915, 41syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S  _D  F
) : dom  (  S  _D  F ) --> CC )
703feq2d 5318 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  F ) : dom  (  S  _D  F
) --> CC  <->  ( S  _D  F ) : X --> CC ) )
7169, 70mpbid 203 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S  _D  F
) : X --> CC )
7271feqmptd 5509 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  _D  F
)  =  ( y  e.  X  |->  ( ( S  _D  F ) `
 y ) ) )
73 fveq2 5458 . . . 4  |-  ( y  =  ( G `  x )  ->  (
( S  _D  F
) `  y )  =  ( ( S  _D  F ) `  ( G `  x ) ) )
7420, 68, 72, 73fmptco 5625 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  F )  o.  G
)  =  ( x  e.  Y  |->  ( ( S  _D  F ) `
 ( G `  x ) ) ) )
7517, 47syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( T  _D  G
) : dom  (  T  _D  G ) --> CC )
7610feq2d 5318 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( T  _D  G ) : dom  (  T  _D  G
) --> CC  <->  ( T  _D  G ) : Y --> CC ) )
7775, 76mpbid 203 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T  _D  G
) : Y --> CC )
7877feqmptd 5509 . . 3  |-  ( ph  ->  ( T  _D  G
)  =  ( x  e.  Y  |->  ( ( T  _D  G ) `
 x ) ) )
7967, 38, 40, 74, 78offval2 6029 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  _D  F )  o.  G )  o F  x.  ( T  _D  G ) )  =  ( x  e.  Y  |->  ( ( ( S  _D  F ) `  ( G `  x ) )  x.  ( ( T  _D  G ) `
 x ) ) ) )
8026, 63, 793eqtr4d 2300 1  |-  ( ph  ->  ( T  _D  ( F  o.  G )
)  =  ( ( ( S  _D  F
)  o.  G )  o F  x.  ( T  _D  G ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   _Vcvv 2763    C_ wss 3127   {cpr 3615   class class class wbr 3997    e. cmpt 4051   dom cdm 4661    o. ccom 4665   Fun wfun 4667   -->wf 4669   ` cfv 4673  (class class class)co 5792    o Fcof 6010   CCcc 8703   RRcr 8704    x. cmul 8710   TopOpenctopn 13288  ℂfldccnfld 16339    _D cdv 19175
This theorem is referenced by:  dvmptco  19283
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-inf2 7310  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782  ax-pre-sup 8783  ax-addf 8784  ax-mulf 8785
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-iin 3882  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-se 4325  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-isom 4690  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-of 6012  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-2o 6448  df-oadd 6451  df-er 6628  df-map 6742  df-pm 6743  df-ixp 6786  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-fin 6835  df-fi 7133  df-sup 7162  df-oi 7193  df-card 7540  df-cda 7762  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-n 9715  df-2 9772  df-3 9773  df-4 9774  df-5 9775  df-6 9776  df-7 9777  df-8 9778  df-9 9779  df-10 9780  df-n0 9933  df-z 9992  df-dec 10092  df-uz 10198  df-q 10284  df-rp 10322  df-xneg 10419  df-xadd 10420  df-xmul 10421  df-icc 10629  df-fz 10749  df-fzo 10837  df-seq 11013  df-exp 11071  df-hash 11304  df-cj 11549  df-re 11550  df-im 11551  df-sqr 11685  df-abs 11686  df-struct 13112  df-ndx 13113  df-slot 13114  df-base 13115  df-sets 13116  df-ress 13117  df-plusg 13183  df-mulr 13184  df-starv 13185  df-sca 13186  df-vsca 13187  df-tset 13189  df-ple 13190  df-ds 13192  df-hom 13194  df-cco 13195  df-rest 13289  df-topn 13290  df-topgen 13306  df-pt 13307  df-prds 13310  df-xrs 13365  df-0g 13366  df-gsum 13367  df-qtop 13372  df-imas 13373  df-xps 13375  df-mre 13450  df-mrc 13451  df-acs 13453  df-mnd 14329  df-submnd 14378  df-mulg 14454  df-cntz 14755  df-cmn 15053  df-xmet 16335  df-met 16336  df-bl 16337  df-mopn 16338  df-cnfld 16340  df-top 16598  df-bases 16600  df-topon 16601  df-topsp 16602  df-cld 16718  df-ntr 16719  df-cls 16720  df-nei 16797  df-lp 16830  df-perf 16831  df-cn 16919  df-cnp 16920  df-haus 17005  df-tx 17219  df-hmeo 17408  df-fbas 17482  df-fg 17483  df-fil 17503  df-fm 17595  df-flim 17596  df-flf 17597  df-xms 17847  df-ms 17848  df-tms 17849  df-cncf 18344  df-limc 19178  df-dv 19179
  Copyright terms: Public domain W3C validator