MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcof Unicode version

Theorem dvcof 19702
Description: The chain rule for everywhere-differentiable functions. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcof.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvcof.t  |-  ( ph  ->  T  e.  { RR ,  CC } )
dvcof.f  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
dvcof.g  |-  ( ph  ->  G : Y --> X )
dvcof.df  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  F )  =  X )
dvcof.dg  |-  ( ph  ->  dom  ( T  _D  G )  =  Y )
Assertion
Ref Expression
dvcof  |-  ( ph  ->  ( T  _D  ( F  o.  G )
)  =  ( ( ( S  _D  F
)  o.  G )  o F  x.  ( T  _D  G ) ) )

Proof of Theorem dvcof
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvcof.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
21adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  F : X --> CC )
3 dvcof.df . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  F )  =  X )
4 dvbsss 19657 . . . . . 6  |-  dom  ( S  _D  F )  C_  S
53, 4syl6eqssr 3343 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
65adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  X  C_  S )
7 dvcof.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G : Y --> X )
87adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  G : Y --> X )
9 dvcof.dg . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( T  _D  G )  =  Y )
10 dvbsss 19657 . . . . . 6  |-  dom  ( T  _D  G )  C_  T
119, 10syl6eqssr 3343 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  C_  T )
1211adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  Y  C_  T )
13 dvcof.s . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
1413adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
15 dvcof.t . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  { RR ,  CC } )
1615adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  T  e.  { RR ,  CC } )
177ffvelrnda 5810 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( G `  x )  e.  X )
183adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  dom  ( S  _D  F
)  =  X )
1917, 18eleqtrrd 2465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( G `  x )  e.  dom  ( S  _D  F ) )
209eleq2d 2455 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  dom  ( T  _D  G
)  <->  x  e.  Y
) )
2120biimpar 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  x  e.  dom  ( T  _D  G ) )
222, 6, 8, 12, 14, 16, 19, 21dvco 19701 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( T  _D  ( F  o.  G )
) `  x )  =  ( ( ( S  _D  F ) `
 ( G `  x ) )  x.  ( ( T  _D  G ) `  x
) ) )
2322mpteq2dva 4237 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  Y  |->  ( ( T  _D  ( F  o.  G
) ) `  x
) )  =  ( x  e.  Y  |->  ( ( ( S  _D  F ) `  ( G `  x )
)  x.  ( ( T  _D  G ) `
 x ) ) ) )
24 dvfg 19661 . . . . 5  |-  ( T  e.  { RR ,  CC }  ->  ( T  _D  ( F  o.  G
) ) : dom  ( T  _D  ( F  o.  G )
) --> CC )
2515, 24syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T  _D  ( F  o.  G )
) : dom  ( T  _D  ( F  o.  G ) ) --> CC )
26 recnprss 19659 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  { RR ,  CC }  ->  T  C_  CC )
2715, 26syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  C_  CC )
28 fco 5541 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : X --> CC  /\  G : Y --> X )  ->  ( F  o.  G ) : Y --> CC )
291, 7, 28syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F  o.  G
) : Y --> CC )
3027, 29, 11dvbss 19656 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( T  _D  ( F  o.  G
) )  C_  Y
)
31 recnprss 19659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
3214, 31syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  S  C_  CC )
3316, 26syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  T  C_  CC )
34 fvex 5683 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  _D  F ) `
 ( G `  x ) )  e. 
_V
3534a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( S  _D  F
) `  ( G `  x ) )  e. 
_V )
36 fvex 5683 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  _D  G ) `
 x )  e. 
_V
3736a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( T  _D  G
) `  x )  e.  _V )
38 dvfg 19661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F
) --> CC )
3914, 38syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F ) --> CC )
40 ffun 5534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F ) --> CC 
->  Fun  ( S  _D  F ) )
41 funfvbrb 5783 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Fun  ( S  _D  F
)  ->  ( ( G `  x )  e.  dom  ( S  _D  F )  <->  ( G `  x ) ( S  _D  F ) ( ( S  _D  F
) `  ( G `  x ) ) ) )
4239, 40, 413syl 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( G `  x
)  e.  dom  ( S  _D  F )  <->  ( G `  x ) ( S  _D  F ) ( ( S  _D  F
) `  ( G `  x ) ) ) )
4319, 42mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( G `  x )
( S  _D  F
) ( ( S  _D  F ) `  ( G `  x ) ) )
44 dvfg 19661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  { RR ,  CC }  ->  ( T  _D  G ) : dom  ( T  _D  G
) --> CC )
4516, 44syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( T  _D  G ) : dom  ( T  _D  G ) --> CC )
46 ffun 5534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  _D  G ) : dom  ( T  _D  G ) --> CC 
->  Fun  ( T  _D  G ) )
47 funfvbrb 5783 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Fun  ( T  _D  G
)  ->  ( x  e.  dom  ( T  _D  G )  <->  x ( T  _D  G ) ( ( T  _D  G
) `  x )
) )
4845, 46, 473syl 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
x  e.  dom  ( T  _D  G )  <->  x ( T  _D  G ) ( ( T  _D  G
) `  x )
) )
4921, 48mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  x
( T  _D  G
) ( ( T  _D  G ) `  x ) )
50 eqid 2388 . . . . . . . . . 10  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
512, 6, 8, 12, 32, 33, 35, 37, 43, 49, 50dvcobr 19700 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  x
( T  _D  ( F  o.  G )
) ( ( ( S  _D  F ) `
 ( G `  x ) )  x.  ( ( T  _D  G ) `  x
) ) )
52 reldv 19625 . . . . . . . . . 10  |-  Rel  ( T  _D  ( F  o.  G ) )
5352releldmi 5047 . . . . . . . . 9  |-  ( x ( T  _D  ( F  o.  G )
) ( ( ( S  _D  F ) `
 ( G `  x ) )  x.  ( ( T  _D  G ) `  x
) )  ->  x  e.  dom  ( T  _D  ( F  o.  G
) ) )
5451, 53syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  x  e.  dom  ( T  _D  ( F  o.  G
) ) )
5554ex 424 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  Y  ->  x  e.  dom  ( T  _D  ( F  o.  G ) ) ) )
5655ssrdv 3298 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  C_  dom  ( T  _D  ( F  o.  G ) ) )
5730, 56eqssd 3309 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( T  _D  ( F  o.  G
) )  =  Y )
5857feq2d 5522 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( T  _D  ( F  o.  G
) ) : dom  ( T  _D  ( F  o.  G )
) --> CC  <->  ( T  _D  ( F  o.  G
) ) : Y --> CC ) )
5925, 58mpbid 202 . . 3  |-  ( ph  ->  ( T  _D  ( F  o.  G )
) : Y --> CC )
6059feqmptd 5719 . 2  |-  ( ph  ->  ( T  _D  ( F  o.  G )
)  =  ( x  e.  Y  |->  ( ( T  _D  ( F  o.  G ) ) `
 x ) ) )
6115, 11ssexd 4292 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  _V )
627feqmptd 5719 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  Y  |->  ( G `
 x ) ) )
6313, 38syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S  _D  F
) : dom  ( S  _D  F ) --> CC )
643feq2d 5522 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F
) --> CC  <->  ( S  _D  F ) : X --> CC ) )
6563, 64mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S  _D  F
) : X --> CC )
6665feqmptd 5719 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  _D  F
)  =  ( y  e.  X  |->  ( ( S  _D  F ) `
 y ) ) )
67 fveq2 5669 . . . 4  |-  ( y  =  ( G `  x )  ->  (
( S  _D  F
) `  y )  =  ( ( S  _D  F ) `  ( G `  x ) ) )
6817, 62, 66, 67fmptco 5841 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  F )  o.  G
)  =  ( x  e.  Y  |->  ( ( S  _D  F ) `
 ( G `  x ) ) ) )
6915, 44syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( T  _D  G
) : dom  ( T  _D  G ) --> CC )
709feq2d 5522 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( T  _D  G ) : dom  ( T  _D  G
) --> CC  <->  ( T  _D  G ) : Y --> CC ) )
7169, 70mpbid 202 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T  _D  G
) : Y --> CC )
7271feqmptd 5719 . . 3  |-  ( ph  ->  ( T  _D  G
)  =  ( x  e.  Y  |->  ( ( T  _D  G ) `
 x ) ) )
7361, 35, 37, 68, 72offval2 6262 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  _D  F )  o.  G )  o F  x.  ( T  _D  G ) )  =  ( x  e.  Y  |->  ( ( ( S  _D  F ) `  ( G `  x ) )  x.  ( ( T  _D  G ) `
 x ) ) ) )
7423, 60, 733eqtr4d 2430 1  |-  ( ph  ->  ( T  _D  ( F  o.  G )
)  =  ( ( ( S  _D  F
)  o.  G )  o F  x.  ( T  _D  G ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2900    C_ wss 3264   {cpr 3759   class class class wbr 4154    e. cmpt 4208   dom cdm 4819    o. ccom 4823   Fun wfun 5389   -->wf 5391   ` cfv 5395  (class class class)co 6021    o Fcof 6243   CCcc 8922   RRcr 8923    x. cmul 8929   TopOpenctopn 13577  ℂfldccnfld 16627    _D cdv 19618
This theorem is referenced by:  dvmptco  19726
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002  ax-addf 9003  ax-mulf 9004
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-iin 4039  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-of 6245  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-2o 6662  df-oadd 6665  df-er 6842  df-map 6957  df-pm 6958  df-ixp 7001  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-fi 7352  df-sup 7382  df-oi 7413  df-card 7760  df-cda 7982  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-7 9996  df-8 9997  df-9 9998  df-10 9999  df-n0 10155  df-z 10216  df-dec 10316  df-uz 10422  df-q 10508  df-rp 10546  df-xneg 10643  df-xadd 10644  df-xmul 10645  df-icc 10856  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-seq 11252  df-exp 11311  df-hash 11547  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969  df-struct 13399  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-ress 13404  df-plusg 13470  df-mulr 13471  df-starv 13472  df-sca 13473  df-vsca 13474  df-tset 13476  df-ple 13477  df-ds 13479  df-unif 13480  df-hom 13481  df-cco 13482  df-rest 13578  df-topn 13579  df-topgen 13595  df-pt 13596  df-prds 13599  df-xrs 13654  df-0g 13655  df-gsum 13656  df-qtop 13661  df-imas 13662  df-xps 13664  df-mre 13739  df-mrc 13740  df-acs 13742  df-mnd 14618  df-submnd 14667  df-mulg 14743  df-cntz 15044  df-cmn 15342  df-xmet 16620  df-met 16621  df-bl 16622  df-mopn 16623  df-fbas 16624  df-fg 16625  df-cnfld 16628  df-top 16887  df-bases 16889  df-topon 16890  df-topsp 16891  df-cld 17007  df-ntr 17008  df-cls 17009  df-nei 17086  df-lp 17124  df-perf 17125  df-cn 17214  df-cnp 17215  df-haus 17302  df-tx 17516  df-hmeo 17709  df-fil 17800  df-fm 17892  df-flim 17893  df-flf 17894  df-xms 18260  df-ms 18261  df-tms 18262  df-cncf 18780  df-limc 19621  df-dv 19622
  Copyright terms: Public domain W3C validator