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Theorem dvconstbi 27654
Description: The derivative of a function on  S is zero iff it is a constant function. Roughly a biconditional  S analog of dvconst 19282 and dveq0 19363. Corresponds to integration formula " S. 0  _d x  =  C " in section 4.1 of [LarsonHostetlerEdwards] p. 278. (Contributed by Steve Rodriguez, 11-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvconstbi.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvconstbi.y  |-  ( ph  ->  Y : S --> CC )
dvconstbi.dy  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  Y )  =  S )
Assertion
Ref Expression
dvconstbi  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  <->  E. c  e.  CC  Y  =  ( S  X.  { c } ) ) )
Distinct variable groups:    S, c    Y, c
Allowed substitution hint:    ph( c)

Proof of Theorem dvconstbi
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvconstbi.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y : S --> CC )
2 dvconstbi.s . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
3 elpri 3673 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( S  =  RR  \/  S  =  CC ) )
42, 3syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  =  RR  \/  S  =  CC ) )
5 0re 8854 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
6 eleq2 2357 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  =  RR  ->  (
0  e.  S  <->  0  e.  RR ) )
75, 6mpbiri 224 . . . . . . . . 9  |-  ( S  =  RR  ->  0  e.  S )
8 0cn 8847 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  CC
9 eleq2 2357 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  =  CC  ->  (
0  e.  S  <->  0  e.  CC ) )
108, 9mpbiri 224 . . . . . . . . 9  |-  ( S  =  CC  ->  0  e.  S )
117, 10jaoi 368 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  =  RR  \/  S  =  CC )  ->  0  e.  S )
124, 11syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  e.  S )
13 ffvelrn 5679 . . . . . . 7  |-  ( ( Y : S --> CC  /\  0  e.  S )  ->  ( Y `  0
)  e.  CC )
141, 12, 13syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Y `  0
)  e.  CC )
1514adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } ) )  -> 
( Y `  0
)  e.  CC )
16 ffn 5405 . . . . . . . 8  |-  ( Y : S --> CC  ->  Y  Fn  S )
171, 16syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  Fn  S )
1817adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } ) )  ->  Y  Fn  S )
19 fvex 5555 . . . . . . 7  |-  ( Y `
 0 )  e. 
_V
20 fnconstg 5445 . . . . . . 7  |-  ( ( Y `  0 )  e.  _V  ->  ( S  X.  { ( Y `
 0 ) } )  Fn  S )
2119, 20mp1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } ) )  -> 
( S  X.  {
( Y `  0
) } )  Fn  S )
2219fvconst2 5745 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  S  ->  (
( S  X.  {
( Y `  0
) } ) `  y )  =  ( Y `  0 ) )
2322adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  {
0 } ) )  /\  y  e.  S
)  ->  ( ( S  X.  { ( Y `
 0 ) } ) `  y )  =  ( Y ` 
0 ) )
24 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S
) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) )
252, 24sblpnf 27642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  0  e.  S )  ->  (
0 ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S
) ) )  +oo )  =  S )
2612, 25mpdan 649 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 0 ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) )  +oo )  =  S )
2726eleq2d 2363 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( 0 ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S
) ) )  +oo ) 
<->  y  e.  S ) )
2827biimpar 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  ( 0 ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) )  +oo ) )
2912, 26eleqtrrd 2373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  0  e.  ( 0 ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S
) ) )  +oo ) )
302adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } ) )  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
31 ssid 3210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  S  C_  S
3231a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } ) )  ->  S  C_  S )
331adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } ) )  ->  Y : S --> CC )
3412adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } ) )  -> 
0  e.  S )
35 pnfxr 10471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  +oo  e.  RR*
3635a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } ) )  ->  +oo  e.  RR* )
37 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0 ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S
) ) )  +oo )  =  ( 0 ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S
) ) )  +oo )
3826adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } ) )  -> 
( 0 ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) )  +oo )  =  S )
39 dvconstbi.dy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  Y )  =  S )
4039adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } ) )  ->  dom  ( S  _D  Y
)  =  S )
4138, 40eqtr4d 2331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } ) )  -> 
( 0 ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) )  +oo )  =  dom  ( S  _D  Y ) )
42 eqimss 3243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 0 ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S
) ) )  +oo )  =  dom  ( S  _D  Y )  -> 
( 0 ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) )  +oo )  C_  dom  ( S  _D  Y
) )
4341, 42syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } ) )  -> 
( 0 ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) )  +oo )  C_  dom  ( S  _D  Y
) )
445a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } ) )  -> 
0  e.  RR )
4526eleq2d 2363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S
) ) )  +oo ) 
<->  x  e.  S ) )
4645biimpa 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) )  +oo ) )  ->  x  e.  S
)
47463adant2 974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  x  e.  ( 0 ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) )  +oo ) )  ->  x  e.  S
)
48 fveq1 5540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  ->  ( ( S  _D  Y ) `  x )  =  ( ( S  X.  {
0 } ) `  x ) )
49 c0ex 8848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  0  e.  _V
5049fvconst2 5745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  e.  S  ->  (
( S  X.  {
0 } ) `  x )  =  0 )
5148, 50sylan9eq 2348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( S  _D  Y
)  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  x  e.  S )  ->  (
( S  _D  Y
) `  x )  =  0 )
5251, 8syl6eqel 2384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( S  _D  Y
)  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  x  e.  S )  ->  (
( S  _D  Y
) `  x )  e.  CC )
5352abscld 11934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( S  _D  Y
)  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  x  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( S  _D  Y ) `  x ) )  e.  RR )
54 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( S  _D  Y
) `  x )  =  0  ->  ( abs `  ( ( S  _D  Y ) `  x ) )  =  ( abs `  0
) )
55 abs0 11786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( abs `  0 )  =  0
5654, 55syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( S  _D  Y
) `  x )  =  0  ->  ( abs `  ( ( S  _D  Y ) `  x ) )  =  0 )
5751, 56syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( S  _D  Y
)  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  x  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( S  _D  Y ) `  x ) )  =  0 )
58 eqle 8939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( abs `  (
( S  _D  Y
) `  x )
)  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( S  _D  Y ) `
 x ) )  =  0 )  -> 
( abs `  (
( S  _D  Y
) `  x )
)  <_  0 )
5953, 57, 58syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( S  _D  Y
)  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  x  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( S  _D  Y ) `  x ) )  <_ 
0 )
60593adant1 973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  x  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( S  _D  Y ) `  x ) )  <_ 
0 )
6147, 60syld3an3 1227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  x  e.  ( 0 ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) )  +oo ) )  ->  ( abs `  (
( S  _D  Y
) `  x )
)  <_  0 )
62613expa 1151 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  {
0 } ) )  /\  x  e.  ( 0 ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S
) ) )  +oo ) )  ->  ( abs `  ( ( S  _D  Y ) `  x ) )  <_ 
0 )
6330, 24, 32, 33, 34, 36, 37, 43, 44, 62dvlip2 19358 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  {
0 } ) )  /\  ( 0  e.  ( 0 ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) )  +oo )  /\  y  e.  ( 0 ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S
) ) )  +oo ) ) )  -> 
( abs `  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) ) )  <_  ( 0  x.  ( abs `  (
0  -  y ) ) ) )
6429, 63sylanr1 633 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  {
0 } ) )  /\  ( ph  /\  y  e.  ( 0 ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S
) ) )  +oo ) ) )  -> 
( abs `  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) ) )  <_  ( 0  x.  ( abs `  (
0  -  y ) ) ) )
65643impdi 1237 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  y  e.  ( 0 ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) )  +oo ) )  ->  ( abs `  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) ) )  <_  ( 0  x.  ( abs `  (
0  -  y ) ) ) )
6628, 65syl3an3 1217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  ( ph  /\  y  e.  S
) )  ->  ( abs `  ( ( Y `
 0 )  -  ( Y `  y ) ) )  <_  (
0  x.  ( abs `  ( 0  -  y
) ) ) )
67663expa 1151 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  {
0 } ) )  /\  ( ph  /\  y  e.  S )
)  ->  ( abs `  ( ( Y ` 
0 )  -  ( Y `  y )
) )  <_  (
0  x.  ( abs `  ( 0  -  y
) ) ) )
68673impdi 1237 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( Y `
 0 )  -  ( Y `  y ) ) )  <_  (
0  x.  ( abs `  ( 0  -  y
) ) ) )
69 recnprss 19270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
702, 69syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
7170sseld 3192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( y  e.  S  ->  y  e.  CC ) )
72 subcl 9067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( 0  -  y
)  e.  CC )
7372abscld 11934 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( abs `  (
0  -  y ) )  e.  RR )
748, 73mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  CC  ->  ( abs `  ( 0  -  y ) )  e.  RR )
7571, 74syl6 29 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( y  e.  S  ->  ( abs `  (
0  -  y ) )  e.  RR ) )
7675imp 418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  ( 0  -  y ) )  e.  RR )
7776recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  ( 0  -  y ) )  e.  CC )
7877mul02d 9026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
0  x.  ( abs `  ( 0  -  y
) ) )  =  0 )
79783adant2 974 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  y  e.  S )  ->  (
0  x.  ( abs `  ( 0  -  y
) ) )  =  0 )
8068, 79breqtrd 4063 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( Y `
 0 )  -  ( Y `  y ) ) )  <_  0
)
81 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Y : S --> CC  /\  y  e.  S )  ->  ( Y `  y
)  e.  CC )
8213, 81anim12dan 810 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Y : S --> CC  /\  ( 0  e.  S  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( Y `  0
)  e.  CC  /\  ( Y `  y )  e.  CC ) )
831, 82sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( 0  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( ( Y ` 
0 )  e.  CC  /\  ( Y `  y
)  e.  CC ) )
84833impb 1147 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  0  e.  S  /\  y  e.  S
)  ->  ( ( Y `  0 )  e.  CC  /\  ( Y `
 y )  e.  CC ) )
8512, 84syl3an2 1216 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( Y `  0
)  e.  CC  /\  ( Y `  y )  e.  CC ) )
86853anidm12 1239 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( Y `  0
)  e.  CC  /\  ( Y `  y )  e.  CC ) )
87 subcl 9067 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Y `  0
)  e.  CC  /\  ( Y `  y )  e.  CC )  -> 
( ( Y ` 
0 )  -  ( Y `  y )
)  e.  CC )
8886, 87syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) )  e.  CC )
8988absge0d 11942 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  0  <_  ( abs `  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) ) ) )
90893adant2 974 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  y  e.  S )  ->  0  <_  ( abs `  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) ) ) )
9188abscld 11934 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( Y `
 0 )  -  ( Y `  y ) ) )  e.  RR )
92 letri3 8923 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( abs `  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( abs `  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) ) )  =  0  <->  (
( abs `  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) ) )  <_  0  /\  0  <_  ( abs `  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) ) ) ) ) )
9391, 5, 92sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( abs `  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) ) )  =  0  <->  (
( abs `  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) ) )  <_  0  /\  0  <_  ( abs `  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) ) ) ) ) )
94933adant2 974 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  y  e.  S )  ->  (
( abs `  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) ) )  =  0  <->  (
( abs `  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) ) )  <_  0  /\  0  <_  ( abs `  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) ) ) ) ) )
9580, 90, 94mpbir2and 888 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( Y `
 0 )  -  ( Y `  y ) ) )  =  0 )
96 abs00 11790 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) )  e.  CC  ->  (
( abs `  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) ) )  =  0  <->  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) )  =  0 ) )
9788, 96syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( abs `  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) ) )  =  0  <->  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) )  =  0 ) )
98973adant2 974 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  y  e.  S )  ->  (
( abs `  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) ) )  =  0  <->  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) )  =  0 ) )
9995, 98mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  y  e.  S )  ->  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) )  =  0 )
100 subeq0 9089 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Y `  0
)  e.  CC  /\  ( Y `  y )  e.  CC )  -> 
( ( ( Y `
 0 )  -  ( Y `  y ) )  =  0  <->  ( Y `  0 )  =  ( Y `  y ) ) )
10186, 100syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( ( Y ` 
0 )  -  ( Y `  y )
)  =  0  <->  ( Y `  0 )  =  ( Y `  y ) ) )
1021013adant2 974 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  y  e.  S )  ->  (
( ( Y ` 
0 )  -  ( Y `  y )
)  =  0  <->  ( Y `  0 )  =  ( Y `  y ) ) )
10399, 102mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  y  e.  S )  ->  ( Y `  0 )  =  ( Y `  y ) )
1041033expa 1151 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  {
0 } ) )  /\  y  e.  S
)  ->  ( Y `  0 )  =  ( Y `  y
) )
10523, 104eqtr2d 2329 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  {
0 } ) )  /\  y  e.  S
)  ->  ( Y `  y )  =  ( ( S  X.  {
( Y `  0
) } ) `  y ) )
10618, 21, 105eqfnfvd 5641 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } ) )  ->  Y  =  ( S  X.  { ( Y ` 
0 ) } ) )
107 sneq 3664 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( Y ` 
0 )  ->  { x }  =  { ( Y `  0 ) } )
108107xpeq2d 4729 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( Y ` 
0 )  ->  ( S  X.  { x }
)  =  ( S  X.  { ( Y `
 0 ) } ) )
109108eqeq2d 2307 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( Y ` 
0 )  ->  ( Y  =  ( S  X.  { x } )  <-> 
Y  =  ( S  X.  { ( Y `
 0 ) } ) ) )
110109rspcev 2897 . . . . 5  |-  ( ( ( Y `  0
)  e.  CC  /\  Y  =  ( S  X.  { ( Y ` 
0 ) } ) )  ->  E. x  e.  CC  Y  =  ( S  X.  { x } ) )
11115, 106, 110syl2anc 642 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } ) )  ->  E. x  e.  CC  Y  =  ( S  X.  { x } ) )
112111ex 423 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  ->  E. x  e.  CC  Y  =  ( S  X.  { x } ) ) )
113 oveq2 5882 . . . . . 6  |-  ( Y  =  ( S  X.  { x } )  ->  ( S  _D  Y )  =  ( S  _D  ( S  X.  { x }
) ) )
1141133ad2ant3 978 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  Y  =  ( S  X.  { x } ) )  -> 
( S  _D  Y
)  =  ( S  _D  ( S  X.  { x } ) ) )
115 dvsconst 27650 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  x  e.  CC )  ->  ( S  _D  ( S  X.  { x } ) )  =  ( S  X.  { 0 } ) )
1162, 115sylan 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( S  _D  ( S  X.  { x } ) )  =  ( S  X.  { 0 } ) )
1171163adant3 975 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  Y  =  ( S  X.  { x } ) )  -> 
( S  _D  ( S  X.  { x }
) )  =  ( S  X.  { 0 } ) )
118114, 117eqtrd 2328 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  Y  =  ( S  X.  { x } ) )  -> 
( S  _D  Y
)  =  ( S  X.  { 0 } ) )
119118rexlimdv3a 2682 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  CC  Y  =  ( S  X.  { x } )  ->  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  {
0 } ) ) )
120112, 119impbid 183 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  <->  E. x  e.  CC  Y  =  ( S  X.  { x } ) ) )
121 sneq 3664 . . . . 5  |-  ( c  =  x  ->  { c }  =  { x } )
122121xpeq2d 4729 . . . 4  |-  ( c  =  x  ->  ( S  X.  { c } )  =  ( S  X.  { x }
) )
123122eqeq2d 2307 . . 3  |-  ( c  =  x  ->  ( Y  =  ( S  X.  { c } )  <-> 
Y  =  ( S  X.  { x }
) ) )
124123cbvrexv 2778 . 2  |-  ( E. c  e.  CC  Y  =  ( S  X.  { c } )  <->  E. x  e.  CC  Y  =  ( S  X.  { x } ) )
125120, 124syl6bbr 254 1  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  <->  E. c  e.  CC  Y  =  ( S  X.  { c } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   {csn 3653   {cpr 3654   class class class wbr 4039    X. cxp 4703   dom cdm 4705    |` cres 4707    o. ccom 4709    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753    x. cmul 8758    +oocpnf 8880   RR*cxr 8882    <_ cle 8884    - cmin 9053   abscabs 11735   ballcbl 16387    _D cdv 19229
This theorem is referenced by:  expgrowth  27655
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-cmp 17130  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233
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