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Theorem dvconstbi 26950
Description: The derivative of a function on  S is zero iff it is a constant function. Roughly a biconditional  S analog of dvconst 19260 and dveq0 19341. Corresponds to integration formula " S. 0  _d x  =  C " in section 4.1 of [LarsonHostetlerEdwards] p. 278. (Contributed by Steve Rodriguez, 11-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvconstbi.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvconstbi.y  |-  ( ph  ->  Y : S --> CC )
dvconstbi.dy  |-  ( ph  ->  dom  (  S  _D  Y )  =  S )
Assertion
Ref Expression
dvconstbi  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  <->  E. c  e.  CC  Y  =  ( S  X.  { c } ) ) )
Distinct variable groups:    S, c    Y, c
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
Allowed substitution hint:    ph( c)

Proof of Theorem dvconstbi
StepHypRef Expression
1 dvconstbi.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y : S --> CC )
2 dvconstbi.s . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
3 elpri 3661 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( S  =  RR  \/  S  =  CC ) )
42, 3syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  =  RR  \/  S  =  CC ) )
5 0re 8833 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
6 eleq2 2345 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  =  RR  ->  (
0  e.  S  <->  0  e.  RR ) )
75, 6mpbiri 226 . . . . . . . . 9  |-  ( S  =  RR  ->  0  e.  S )
8 0cn 8826 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  CC
9 eleq2 2345 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  =  CC  ->  (
0  e.  S  <->  0  e.  CC ) )
108, 9mpbiri 226 . . . . . . . . 9  |-  ( S  =  CC  ->  0  e.  S )
117, 10jaoi 370 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  =  RR  \/  S  =  CC )  ->  0  e.  S )
124, 11syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  e.  S )
13 ffvelrn 5624 . . . . . . 7  |-  ( ( Y : S --> CC  /\  0  e.  S )  ->  ( Y `  0
)  e.  CC )
141, 12, 13syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Y `  0
)  e.  CC )
1514adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } ) )  -> 
( Y `  0
)  e.  CC )
16 ffn 5354 . . . . . . . 8  |-  ( Y : S --> CC  ->  Y  Fn  S )
171, 16syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  Fn  S )
1817adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } ) )  ->  Y  Fn  S )
19 fvex 5499 . . . . . . 7  |-  ( Y `
 0 )  e. 
_V
20 fnconstg 5394 . . . . . . 7  |-  ( ( Y `  0 )  e.  _V  ->  ( S  X.  { ( Y `
 0 ) } )  Fn  S )
2119, 20mp1i 13 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } ) )  -> 
( S  X.  {
( Y `  0
) } )  Fn  S )
2219fvconst2 5690 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  S  ->  (
( S  X.  {
( Y `  0
) } ) `  y )  =  ( Y `  0 ) )
2322adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  {
0 } ) )  /\  y  e.  S
)  ->  ( ( S  X.  { ( Y `
 0 ) } ) `  y )  =  ( Y ` 
0 ) )
24 eqid 2284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S
) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) )
252, 24sblpnf 26938 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  0  e.  S )  ->  (
0 ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S
) ) )  +oo )  =  S )
2612, 25mpdan 651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 0 ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) )  +oo )  =  S )
2726eleq2d 2351 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( 0 ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S
) ) )  +oo ) 
<->  y  e.  S ) )
2827biimpar 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  ( 0 ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) )  +oo ) )
2912, 26eleqtrrd 2361 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  0  e.  ( 0 ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S
) ) )  +oo ) )
302adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } ) )  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
31 ssid 3198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  S  C_  S
3231a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } ) )  ->  S  C_  S )
331adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } ) )  ->  Y : S --> CC )
3412adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } ) )  -> 
0  e.  S )
35 pnfxr 10450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  +oo  e.  RR*
3635a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } ) )  ->  +oo  e.  RR* )
37 eqid 2284 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0 ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S
) ) )  +oo )  =  ( 0 ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S
) ) )  +oo )
3826adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } ) )  -> 
( 0 ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) )  +oo )  =  S )
39 dvconstbi.dy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  dom  (  S  _D  Y )  =  S )
4039adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } ) )  ->  dom  (  S  _D  Y )  =  S )
4138, 40eqtr4d 2319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } ) )  -> 
( 0 ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) )  +oo )  =  dom  (  S  _D  Y ) )
42 eqimss 3231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 0 ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S
) ) )  +oo )  =  dom  (  S  _D  Y )  -> 
( 0 ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) )  +oo )  C_  dom  (  S  _D  Y ) )
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } ) )  -> 
( 0 ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) )  +oo )  C_  dom  (  S  _D  Y ) )
445a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } ) )  -> 
0  e.  RR )
4526eleq2d 2351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S
) ) )  +oo ) 
<->  x  e.  S ) )
4645biimpa 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) )  +oo ) )  ->  x  e.  S
)
47463adant2 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  x  e.  ( 0 ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) )  +oo ) )  ->  x  e.  S
)
48 fveq1 5484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  ->  ( ( S  _D  Y ) `  x )  =  ( ( S  X.  {
0 } ) `  x ) )
49 c0ex 8827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  0  e.  _V
5049fvconst2 5690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  e.  S  ->  (
( S  X.  {
0 } ) `  x )  =  0 )
5148, 50sylan9eq 2336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( S  _D  Y
)  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  x  e.  S )  ->  (
( S  _D  Y
) `  x )  =  0 )
5251, 8syl6eqel 2372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( S  _D  Y
)  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  x  e.  S )  ->  (
( S  _D  Y
) `  x )  e.  CC )
5352abscld 11912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( S  _D  Y
)  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  x  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( S  _D  Y ) `  x ) )  e.  RR )
54 fveq2 5485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( S  _D  Y
) `  x )  =  0  ->  ( abs `  ( ( S  _D  Y ) `  x ) )  =  ( abs `  0
) )
55 abs0 11764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( abs `  0 )  =  0
5654, 55syl6eq 2332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( S  _D  Y
) `  x )  =  0  ->  ( abs `  ( ( S  _D  Y ) `  x ) )  =  0 )
5751, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( S  _D  Y
)  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  x  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( S  _D  Y ) `  x ) )  =  0 )
58 eqle 8918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( abs `  (
( S  _D  Y
) `  x )
)  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( S  _D  Y ) `
 x ) )  =  0 )  -> 
( abs `  (
( S  _D  Y
) `  x )
)  <_  0 )
5953, 57, 58syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( S  _D  Y
)  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  x  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( S  _D  Y ) `  x ) )  <_ 
0 )
60593adant1 975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  x  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( S  _D  Y ) `  x ) )  <_ 
0 )
6147, 60syld3an3 1229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  x  e.  ( 0 ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) )  +oo ) )  ->  ( abs `  (
( S  _D  Y
) `  x )
)  <_  0 )
62613expa 1153 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  {
0 } ) )  /\  x  e.  ( 0 ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S
) ) )  +oo ) )  ->  ( abs `  ( ( S  _D  Y ) `  x ) )  <_ 
0 )
6330, 24, 32, 33, 34, 36, 37, 43, 44, 62dvlip2 19336 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  {
0 } ) )  /\  ( 0  e.  ( 0 ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) )  +oo )  /\  y  e.  ( 0 ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S
) ) )  +oo ) ) )  -> 
( abs `  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) ) )  <_  ( 0  x.  ( abs `  (
0  -  y ) ) ) )
6429, 63sylanr1 635 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  {
0 } ) )  /\  ( ph  /\  y  e.  ( 0 ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S
) ) )  +oo ) ) )  -> 
( abs `  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) ) )  <_  ( 0  x.  ( abs `  (
0  -  y ) ) ) )
65643impdi 1239 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  y  e.  ( 0 ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) )  +oo ) )  ->  ( abs `  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) ) )  <_  ( 0  x.  ( abs `  (
0  -  y ) ) ) )
6628, 65syl3an3 1219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  ( ph  /\  y  e.  S
) )  ->  ( abs `  ( ( Y `
 0 )  -  ( Y `  y ) ) )  <_  (
0  x.  ( abs `  ( 0  -  y
) ) ) )
67663expa 1153 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  {
0 } ) )  /\  ( ph  /\  y  e.  S )
)  ->  ( abs `  ( ( Y ` 
0 )  -  ( Y `  y )
) )  <_  (
0  x.  ( abs `  ( 0  -  y
) ) ) )
68673impdi 1239 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( Y `
 0 )  -  ( Y `  y ) ) )  <_  (
0  x.  ( abs `  ( 0  -  y
) ) ) )
69 recnprss 19248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
702, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
7170sseld 3180 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( y  e.  S  ->  y  e.  CC ) )
72 subcl 9046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( 0  -  y
)  e.  CC )
7372abscld 11912 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( abs `  (
0  -  y ) )  e.  RR )
748, 73mpan 653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  CC  ->  ( abs `  ( 0  -  y ) )  e.  RR )
7571, 74syl6 31 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( y  e.  S  ->  ( abs `  (
0  -  y ) )  e.  RR ) )
7675imp 420 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  ( 0  -  y ) )  e.  RR )
7776recnd 8856 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  ( 0  -  y ) )  e.  CC )
7877mul02d 9005 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
0  x.  ( abs `  ( 0  -  y
) ) )  =  0 )
79783adant2 976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  y  e.  S )  ->  (
0  x.  ( abs `  ( 0  -  y
) ) )  =  0 )
8068, 79breqtrd 4048 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( Y `
 0 )  -  ( Y `  y ) ) )  <_  0
)
81 ffvelrn 5624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Y : S --> CC  /\  y  e.  S )  ->  ( Y `  y
)  e.  CC )
8213, 81anim12dan 812 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Y : S --> CC  /\  ( 0  e.  S  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( Y `  0
)  e.  CC  /\  ( Y `  y )  e.  CC ) )
831, 82sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( 0  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( ( Y ` 
0 )  e.  CC  /\  ( Y `  y
)  e.  CC ) )
84833impb 1149 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  0  e.  S  /\  y  e.  S
)  ->  ( ( Y `  0 )  e.  CC  /\  ( Y `
 y )  e.  CC ) )
8512, 84syl3an2 1218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( Y `  0
)  e.  CC  /\  ( Y `  y )  e.  CC ) )
86853anidm12 1241 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( Y `  0
)  e.  CC  /\  ( Y `  y )  e.  CC ) )
87 subcl 9046 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Y `  0
)  e.  CC  /\  ( Y `  y )  e.  CC )  -> 
( ( Y ` 
0 )  -  ( Y `  y )
)  e.  CC )
8886, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) )  e.  CC )
8988absge0d 11920 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  0  <_  ( abs `  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) ) ) )
90893adant2 976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  y  e.  S )  ->  0  <_  ( abs `  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) ) ) )
9188abscld 11912 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( Y `
 0 )  -  ( Y `  y ) ) )  e.  RR )
92 letri3 8902 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( abs `  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( abs `  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) ) )  =  0  <->  (
( abs `  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) ) )  <_  0  /\  0  <_  ( abs `  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) ) ) ) ) )
9391, 5, 92sylancl 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( abs `  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) ) )  =  0  <->  (
( abs `  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) ) )  <_  0  /\  0  <_  ( abs `  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) ) ) ) ) )
94933adant2 976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  y  e.  S )  ->  (
( abs `  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) ) )  =  0  <->  (
( abs `  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) ) )  <_  0  /\  0  <_  ( abs `  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) ) ) ) ) )
9580, 90, 94mpbir2and 890 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( Y `
 0 )  -  ( Y `  y ) ) )  =  0 )
96 abs00 11768 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) )  e.  CC  ->  (
( abs `  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) ) )  =  0  <->  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) )  =  0 ) )
9788, 96syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( abs `  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) ) )  =  0  <->  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) )  =  0 ) )
98973adant2 976 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  y  e.  S )  ->  (
( abs `  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) ) )  =  0  <->  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) )  =  0 ) )
9995, 98mpbid 203 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  y  e.  S )  ->  (
( Y `  0
)  -  ( Y `
 y ) )  =  0 )
100 subeq0 9068 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Y `  0
)  e.  CC  /\  ( Y `  y )  e.  CC )  -> 
( ( ( Y `
 0 )  -  ( Y `  y ) )  =  0  <->  ( Y `  0 )  =  ( Y `  y ) ) )
10186, 100syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( ( Y ` 
0 )  -  ( Y `  y )
)  =  0  <->  ( Y `  0 )  =  ( Y `  y ) ) )
1021013adant2 976 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  y  e.  S )  ->  (
( ( Y ` 
0 )  -  ( Y `  y )
)  =  0  <->  ( Y `  0 )  =  ( Y `  y ) ) )
10399, 102mpbid 203 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  /\  y  e.  S )  ->  ( Y `  0 )  =  ( Y `  y ) )
1041033expa 1153 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  {
0 } ) )  /\  y  e.  S
)  ->  ( Y `  0 )  =  ( Y `  y
) )
10523, 104eqtr2d 2317 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  {
0 } ) )  /\  y  e.  S
)  ->  ( Y `  y )  =  ( ( S  X.  {
( Y `  0
) } ) `  y ) )
10618, 21, 105eqfnfvd 5586 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } ) )  ->  Y  =  ( S  X.  { ( Y ` 
0 ) } ) )
107 sneq 3652 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( Y ` 
0 )  ->  { x }  =  { ( Y `  0 ) } )
108107xpeq2d 4712 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( Y ` 
0 )  ->  ( S  X.  { x }
)  =  ( S  X.  { ( Y `
 0 ) } ) )
109108eqeq2d 2295 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( Y ` 
0 )  ->  ( Y  =  ( S  X.  { x } )  <-> 
Y  =  ( S  X.  { ( Y `
 0 ) } ) ) )
110109rspcev 2885 . . . . 5  |-  ( ( ( Y `  0
)  e.  CC  /\  Y  =  ( S  X.  { ( Y ` 
0 ) } ) )  ->  E. x  e.  CC  Y  =  ( S  X.  { x } ) )
11115, 106, 110syl2anc 644 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } ) )  ->  E. x  e.  CC  Y  =  ( S  X.  { x } ) )
112111ex 425 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  ->  E. x  e.  CC  Y  =  ( S  X.  { x } ) ) )
113 oveq2 5827 . . . . . 6  |-  ( Y  =  ( S  X.  { x } )  ->  ( S  _D  Y )  =  ( S  _D  ( S  X.  { x }
) ) )
1141133ad2ant3 980 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  Y  =  ( S  X.  { x } ) )  -> 
( S  _D  Y
)  =  ( S  _D  ( S  X.  { x } ) ) )
115 dvsconst 26946 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  x  e.  CC )  ->  ( S  _D  ( S  X.  { x } ) )  =  ( S  X.  { 0 } ) )
1162, 115sylan 459 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( S  _D  ( S  X.  { x } ) )  =  ( S  X.  { 0 } ) )
1171163adant3 977 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  Y  =  ( S  X.  { x } ) )  -> 
( S  _D  ( S  X.  { x }
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118114, 117eqtrd 2316 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  Y  =  ( S  X.  { x } ) )  -> 
( S  _D  Y
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119118rexlimdv3a 2670 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  CC  Y  =  ( S  X.  { x } )  ->  ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  {
0 } ) ) )
120112, 119impbid 185 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  <->  E. x  e.  CC  Y  =  ( S  X.  { x } ) ) )
121 sneq 3652 . . . . 5  |-  ( c  =  x  ->  { c }  =  { x } )
122121xpeq2d 4712 . . . 4  |-  ( c  =  x  ->  ( S  X.  { c } )  =  ( S  X.  { x }
) )
123122eqeq2d 2295 . . 3  |-  ( c  =  x  ->  ( Y  =  ( S  X.  { c } )  <-> 
Y  =  ( S  X.  { x }
) ) )
124123cbvrexv 2766 . 2  |-  ( E. c  e.  CC  Y  =  ( S  X.  { c } )  <->  E. x  e.  CC  Y  =  ( S  X.  { x } ) )
125120, 124syl6bbr 256 1  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  Y )  =  ( S  X.  { 0 } )  <->  E. c  e.  CC  Y  =  ( S  X.  { c } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 936    = wceq 1624    e. wcel 1685   E.wrex 2545   _Vcvv 2789    C_ wss 3153   {csn 3641   {cpr 3642   class class class wbr 4024    X. cxp 4686   dom cdm 4688    |` cres 4690    o. ccom 4692    Fn wfn 5216   -->wf 5217   ` cfv 5221  (class class class)co 5819   CCcc 8730   RRcr 8731   0cc0 8732    x. cmul 8737    +oocpnf 8859   RR*cxr 8861    <_ cle 8863    - cmin 9032   abscabs 11713   ballcbl 16365    _D cdv 19207
This theorem is referenced by:  expgrowth  26951
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7337  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809  ax-pre-sup 8810  ax-addf 8811  ax-mulf 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-iin 3909  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-se 4352  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-of 6039  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-iota 6252  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-1o 6474  df-2o 6475  df-oadd 6478  df-er 6655  df-map 6769  df-pm 6770  df-ixp 6813  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-fin 6862  df-fi 7160  df-sup 7189  df-oi 7220  df-card 7567  df-cda 7789  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-div 9419  df-nn 9742  df-2 9799  df-3 9800  df-4 9801  df-5 9802  df-6 9803  df-7 9804  df-8 9805  df-9 9806  df-10 9807  df-n0 9961  df-z 10020  df-dec 10120  df-uz 10226  df-q 10312  df-rp 10350  df-xneg 10447  df-xadd 10448  df-xmul 10449  df-ioo 10654  df-ico 10656  df-icc 10657  df-fz 10777  df-fzo 10865  df-seq 11041  df-exp 11099  df-hash 11332  df-cj 11578  df-re 11579  df-im 11580  df-sqr 11714  df-abs 11715  df-struct 13144  df-ndx 13145  df-slot 13146  df-base 13147  df-sets 13148  df-ress 13149  df-plusg 13215  df-mulr 13216  df-starv 13217  df-sca 13218  df-vsca 13219  df-tset 13221  df-ple 13222  df-ds 13224  df-hom 13226  df-cco 13227  df-rest 13321  df-topn 13322  df-topgen 13338  df-pt 13339  df-prds 13342  df-xrs 13397  df-0g 13398  df-gsum 13399  df-qtop 13404  df-imas 13405  df-xps 13407  df-mre 13482  df-mrc 13483  df-acs 13485  df-mnd 14361  df-submnd 14410  df-mulg 14486  df-cntz 14787  df-cmn 15085  df-xmet 16367  df-met 16368  df-bl 16369  df-mopn 16370  df-cnfld 16372  df-top 16630  df-bases 16632  df-topon 16633  df-topsp 16634  df-cld 16750  df-ntr 16751  df-cls 16752  df-nei 16829  df-lp 16862  df-perf 16863  df-cn 16951  df-cnp 16952  df-haus 17037  df-cmp 17108  df-tx 17251  df-hmeo 17440  df-fbas 17514  df-fg 17515  df-fil 17535  df-fm 17627  df-flim 17628  df-flf 17629  df-xms 17879  df-ms 17880  df-tms 17881  df-cncf 18376  df-limc 19210  df-dv 19211
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