MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcxp2 Structured version   Unicode version

Theorem dvcxp2 20628
Description: The derivative of a complex power with respect to the second argument. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvcxp2  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( A  ^ c  x ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( log `  A )  x.  ( A  ^ c  x ) ) ) )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem dvcxp2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnex 9072 . . . . 5  |-  CC  e.  _V
21prid2 3914 . . . 4  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
32a1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  CC  e.  { RR ,  CC }
)
4 simpr 449 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  x  e.  CC )  ->  x  e.  CC )
5 relogcl 20474 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  A )  e.  RR )
65adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  x  e.  CC )  ->  ( log `  A )  e.  RR )
76recnd 9115 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  x  e.  CC )  ->  ( log `  A )  e.  CC )
84, 7mulcld 9109 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  x  e.  CC )  ->  (
x  x.  ( log `  A ) )  e.  CC )
9 efcl 12686 . . . 4  |-  ( y  e.  CC  ->  ( exp `  y )  e.  CC )
109adantl 454 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  y  e.  CC )  ->  ( exp `  y )  e.  CC )
114, 7mulcomd 9110 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  x  e.  CC )  ->  (
x  x.  ( log `  A ) )  =  ( ( log `  A
)  x.  x ) )
1211mpteq2dva 4296 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( x  e.  CC  |->  ( x  x.  ( log `  A
) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( log `  A
)  x.  x ) ) )
1312oveq2d 6098 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( x  x.  ( log `  A
) ) ) )  =  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( ( log `  A
)  x.  x ) ) ) )
14 ax-1cn 9049 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
1514a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  x  e.  CC )  ->  1  e.  CC )
163dvmptid 19844 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  x ) )  =  ( x  e.  CC  |->  1 ) )
175recnd 9115 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  A )  e.  CC )
183, 4, 15, 16, 17dvmptcmul 19851 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( ( log `  A )  x.  x
) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( log `  A
)  x.  1 ) ) )
197mulid1d 9106 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  x  e.  CC )  ->  (
( log `  A
)  x.  1 )  =  ( log `  A
) )
2019mpteq2dva 4296 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( log `  A )  x.  1 ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( log `  A
) ) )
2113, 18, 203eqtrd 2473 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( x  x.  ( log `  A
) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( log `  A
) ) )
22 dvef 19865 . . . 4  |-  ( CC 
_D  exp )  =  exp
23 eff 12685 . . . . . . . 8  |-  exp : CC
--> CC
2423a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  exp : CC
--> CC )
2524feqmptd 5780 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  exp  =  ( y  e.  CC  |->  ( exp `  y ) ) )
2625eqcomd 2442 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( y  e.  CC  |->  ( exp `  y ) )  =  exp )
2726oveq2d 6098 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( CC 
_D  ( y  e.  CC  |->  ( exp `  y
) ) )  =  ( CC  _D  exp ) )
2822, 27, 263eqtr4a 2495 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( CC 
_D  ( y  e.  CC  |->  ( exp `  y
) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( exp `  y ) ) )
29 fveq2 5729 . . 3  |-  ( y  =  ( x  x.  ( log `  A
) )  ->  ( exp `  y )  =  ( exp `  (
x  x.  ( log `  A ) ) ) )
303, 3, 8, 6, 10, 10, 21, 28, 29, 29dvmptco 19859 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( exp `  (
x  x.  ( log `  A ) ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( exp `  (
x  x.  ( log `  A ) ) )  x.  ( log `  A
) ) ) )
31 rpcn 10621 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  CC )
3231adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  x  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
33 rpne0 10628 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  =/=  0 )
3433adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  x  e.  CC )  ->  A  =/=  0 )
3532, 34, 4cxpefd 20604 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  x  e.  CC )  ->  ( A  ^ c  x )  =  ( exp `  (
x  x.  ( log `  A ) ) ) )
3635mpteq2dva 4296 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( x  e.  CC  |->  ( A  ^ c  x ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( exp `  ( x  x.  ( log `  A ) ) ) ) )
3736oveq2d 6098 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( A  ^ c  x ) ) )  =  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( exp `  ( x  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) )
3832, 4cxpcld 20600 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  x  e.  CC )  ->  ( A  ^ c  x )  e.  CC )
397, 38mulcomd 9110 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  x  e.  CC )  ->  (
( log `  A
)  x.  ( A  ^ c  x ) )  =  ( ( A  ^ c  x )  x.  ( log `  A ) ) )
4035oveq1d 6097 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  x  e.  CC )  ->  (
( A  ^ c  x )  x.  ( log `  A ) )  =  ( ( exp `  ( x  x.  ( log `  A ) ) )  x.  ( log `  A ) ) )
4139, 40eqtrd 2469 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  x  e.  CC )  ->  (
( log `  A
)  x.  ( A  ^ c  x ) )  =  ( ( exp `  ( x  x.  ( log `  A
) ) )  x.  ( log `  A
) ) )
4241mpteq2dva 4296 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( log `  A )  x.  ( A  ^ c  x ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( exp `  ( x  x.  ( log `  A ) ) )  x.  ( log `  A ) ) ) )
4330, 37, 423eqtr4d 2479 1  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( A  ^ c  x ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( log `  A )  x.  ( A  ^ c  x ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2600   {cpr 3816    e. cmpt 4267   -->wf 5451   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   CCcc 8989   RRcr 8990   0cc0 8991   1c1 8992    x. cmul 8996   RR+crp 10613   expce 12665    _D cdv 19751   logclog 20453    ^ c ccxp 20454
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-inf2 7597  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-pre-sup 9069  ax-addf 9070  ax-mulf 9071
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-iin 4097  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-se 4543  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-isom 5464  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-of 6306  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-2o 6726  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-pm 7022  df-ixp 7065  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-fi 7417  df-sup 7447  df-oi 7480  df-card 7827  df-cda 8049  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-7 10064  df-8 10065  df-9 10066  df-10 10067  df-n0 10223  df-z 10284  df-dec 10384  df-uz 10490  df-q 10576  df-rp 10614  df-xneg 10711  df-xadd 10712  df-xmul 10713  df-ioo 10921  df-ioc 10922  df-ico 10923  df-icc 10924  df-fz 11045  df-fzo 11137  df-fl 11203  df-mod 11252  df-seq 11325  df-exp 11384  df-fac 11568  df-bc 11595  df-hash 11620  df-shft 11883  df-cj 11905  df-re 11906  df-im 11907  df-sqr 12041  df-abs 12042  df-limsup 12266  df-clim 12283  df-rlim 12284  df-sum 12481  df-ef 12671  df-sin 12673  df-cos 12674  df-pi 12676  df-struct 13472  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-ress 13477  df-plusg 13543  df-mulr 13544  df-starv 13545  df-sca 13546  df-vsca 13547  df-tset 13549  df-ple 13550  df-ds 13552  df-unif 13553  df-hom 13554  df-cco 13555  df-rest 13651  df-topn 13652  df-topgen 13668  df-pt 13669  df-prds 13672  df-xrs 13727  df-0g 13728  df-gsum 13729  df-qtop 13734  df-imas 13735  df-xps 13737  df-mre 13812  df-mrc 13813  df-acs 13815  df-mnd 14691  df-submnd 14740  df-mulg 14816  df-cntz 15117  df-cmn 15415  df-psmet 16695  df-xmet 16696  df-met 16697  df-bl 16698  df-mopn 16699  df-fbas 16700  df-fg 16701  df-cnfld 16705  df-top 16964  df-bases 16966  df-topon 16967  df-topsp 16968  df-cld 17084  df-ntr 17085  df-cls 17086  df-nei 17163  df-lp 17201  df-perf 17202  df-cn 17292  df-cnp 17293  df-haus 17380  df-tx 17595  df-hmeo 17788  df-fil 17879  df-fm 17971  df-flim 17972  df-flf 17973  df-xms 18351  df-ms 18352  df-tms 18353  df-cncf 18909  df-limc 19754  df-dv 19755  df-log 20455  df-cxp 20456
  Copyright terms: Public domain W3C validator