MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsadd Structured version   Unicode version

Theorem dvdsadd 12890
Description: An integer divides another iff it divides their sum. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
dvdsadd  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N  <->  M 
||  ( M  +  N ) ) )

Proof of Theorem dvdsadd
StepHypRef Expression
1 simpl 445 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  M  e.  ZZ )
2 zaddcl 10319 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  N
)  e.  ZZ )
3 simpr 449 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
4 iddvds 12865 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  ||  M )
54adantr 453 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  M  ||  M )
6 zcn 10289 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
7 zcn 10289 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
8 pncan 9313 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( ( M  +  N )  -  N
)  =  M )
96, 7, 8syl2an 465 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  +  N )  -  N
)  =  M )
105, 9breqtrrd 4240 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  M  ||  ( ( M  +  N )  -  N ) )
11 dvdssub2 12889 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  ( M  +  N
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  ||  ( ( M  +  N )  -  N ) )  ->  ( M  ||  ( M  +  N
)  <->  M  ||  N ) )
121, 2, 3, 10, 11syl31anc 1188 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  ( M  +  N )  <->  M 
||  N ) )
1312bicomd 194 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N  <->  M 
||  ( M  +  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   class class class wbr 4214  (class class class)co 6083   CCcc 8990    + caddc 8995    - cmin 9293   ZZcz 10284    || cdivides 12854
This theorem is referenced by:  dvdsaddr  12891  dvdssub  12892  dvdssubr  12893  oddp1even  12912  dec5dvds2  13403  lgsdir2lem2  21110  acongrep  27047  acongeq  27050
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-n0 10224  df-z 10285  df-dvds 12855
  Copyright terms: Public domain W3C validator