MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdstr Structured version   Unicode version

Theorem dvdstr 12921
Description: The divides relation is transitive. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvdstr  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( K  ||  M  /\  M  ||  N )  ->  K  ||  N
) )

Proof of Theorem dvdstr
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3simpa 955 . 2  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )
2 3simpc 957 . 2  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )
3 3simpb 956 . 2  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )
4 zmulcl 10362 . . 3  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( x  x.  y
)  e.  ZZ )
54adantl 454 . 2  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( x  x.  y )  e.  ZZ )
6 oveq2 6125 . . . . 5  |-  ( ( x  x.  K )  =  M  ->  (
y  x.  ( x  x.  K ) )  =  ( y  x.  M ) )
76adantr 453 . . . 4  |-  ( ( ( x  x.  K
)  =  M  /\  ( y  x.  M
)  =  N )  ->  ( y  x.  ( x  x.  K
) )  =  ( y  x.  M ) )
8 eqeq2 2452 . . . . 5  |-  ( ( y  x.  M )  =  N  ->  (
( y  x.  (
x  x.  K ) )  =  ( y  x.  M )  <->  ( y  x.  ( x  x.  K
) )  =  N ) )
98adantl 454 . . . 4  |-  ( ( ( x  x.  K
)  =  M  /\  ( y  x.  M
)  =  N )  ->  ( ( y  x.  ( x  x.  K ) )  =  ( y  x.  M
)  <->  ( y  x.  ( x  x.  K
) )  =  N ) )
107, 9mpbid 203 . . 3  |-  ( ( ( x  x.  K
)  =  M  /\  ( y  x.  M
)  =  N )  ->  ( y  x.  ( x  x.  K
) )  =  N )
11 zcn 10325 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
12 zcn 10325 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  CC )
13 zcn 10325 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  CC )
14 mulass 9116 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  (
( x  x.  y
)  x.  K )  =  ( x  x.  ( y  x.  K
) ) )
15 mul12 9270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  (
x  x.  ( y  x.  K ) )  =  ( y  x.  ( x  x.  K
) ) )
1614, 15eqtrd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  (
( x  x.  y
)  x.  K )  =  ( y  x.  ( x  x.  K
) ) )
1711, 12, 13, 16syl3an 1227 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( x  x.  y
)  x.  K )  =  ( y  x.  ( x  x.  K
) ) )
18173comr 1162 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  (
( x  x.  y
)  x.  K )  =  ( y  x.  ( x  x.  K
) ) )
19183expb 1155 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
x  x.  y )  x.  K )  =  ( y  x.  (
x  x.  K ) ) )
20193ad2antl1 1120 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
x  x.  y )  x.  K )  =  ( y  x.  (
x  x.  K ) ) )
2120eqeq1d 2451 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( x  x.  y
)  x.  K )  =  N  <->  ( y  x.  ( x  x.  K
) )  =  N ) )
2210, 21syl5ibr 214 . 2  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( x  x.  K
)  =  M  /\  ( y  x.  M
)  =  N )  ->  ( ( x  x.  y )  x.  K )  =  N ) )
231, 2, 3, 5, 22dvds2lem 12900 1  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( K  ||  M  /\  M  ||  N )  ->  K  ||  N
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1654    e. wcel 1728   class class class wbr 4243  (class class class)co 6117   CCcc 9026    x. cmul 9033   ZZcz 10320    || cdivides 12890
This theorem is referenced by:  dvdsmultr1  12922  dvdsmultr2  12923  bitsmod  12986  dvdsgcdb  13082  dvdsmulgcd  13092  mulgcddvds  13142  rpmulgcd2  13143  exprmfct  13148  isprm5  13150  rpexp  13158  rpdvds  13162  phimullem  13206  pcpremul  13255  pcdvdsb  13280  pcdvdstr  13287  pcprmpw2  13293  pockthlem  13311  prmreclem3  13324  4sqlem8  13351  odmulg  15230  ablfac1b  15666  ablfac1eu  15669  znunit  16882  wilth  20892  muval1  20954  dvdssqf  20959  sqff1o  21003  fsumdvdsdiaglem  21006  dvdsmulf1o  21017  vmasum  21038  bposlem3  21108  lgsmod  21143  lgsquad2lem1  21180  2sqlem3  21188  2sqlem8  21194  dvdspw  25404  dvdsacongtr  27161  jm2.20nn  27180  jm2.27a  27188  jm2.27c  27190
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-sep 4361  ax-nul 4369  ax-pow 4412  ax-pr 4438  ax-un 4736  ax-resscn 9085  ax-1cn 9086  ax-icn 9087  ax-addcl 9088  ax-addrcl 9089  ax-mulcl 9090  ax-mulrcl 9091  ax-mulcom 9092  ax-addass 9093  ax-mulass 9094  ax-distr 9095  ax-i2m1 9096  ax-1ne0 9097  ax-1rid 9098  ax-rnegex 9099  ax-rrecex 9100  ax-cnre 9101  ax-pre-lttri 9102  ax-pre-lttrn 9103  ax-pre-ltadd 9104
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3768  df-pw 3830  df-sn 3849  df-pr 3850  df-tp 3851  df-op 3852  df-uni 4045  df-iun 4124  df-br 4244  df-opab 4298  df-mpt 4299  df-tr 4334  df-eprel 4529  df-id 4533  df-po 4538  df-so 4539  df-fr 4576  df-we 4578  df-ord 4619  df-on 4620  df-lim 4621  df-suc 4622  df-om 4881  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5453  df-fun 5491  df-fn 5492  df-f 5493  df-f1 5494  df-fo 5495  df-f1o 5496  df-fv 5497  df-ov 6120  df-oprab 6121  df-mpt2 6122  df-riota 6585  df-recs 6669  df-rdg 6704  df-er 6941  df-en 7146  df-dom 7147  df-sdom 7148  df-pnf 9160  df-mnf 9161  df-ltxr 9163  df-sub 9331  df-neg 9332  df-nn 10039  df-n0 10260  df-z 10321  df-dvds 12891
  Copyright terms: Public domain W3C validator