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Theorem dveflem 19816
Description: Derivative of the exponential function at 0. The key step in the proof is eftlub 12665, to show that  abs ( exp ( x )  - 
1  -  x )  <_  abs ( x ) ^ 2  x.  (
3  /  4 ). (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
dveflem  |-  0
( CC  _D  exp ) 1

Proof of Theorem dveflem
Dummy variables  k  n  w  x  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 9040 . . 3  |-  0  e.  CC
2 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
32cnfldtop 18771 . . . 4  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
42cnfldtopon 18770 . . . . . 6  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
54toponunii 16952 . . . . 5  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
65ntrtop 17089 . . . 4  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  Top  ->  ( ( int `  ( TopOpen
` fld
) ) `  CC )  =  CC )
73, 6ax-mp 8 . . 3  |-  ( ( int `  ( TopOpen ` fld )
) `  CC )  =  CC
81, 7eleqtrri 2477 . 2  |-  0  e.  ( ( int `  ( TopOpen
` fld
) ) `  CC )
9 ax-1cn 9004 . . 3  |-  1  e.  CC
10 1rp 10572 . . . . . 6  |-  1  e.  RR+
11 ifcl 3735 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  e.  RR+ )  ->  if ( x  <_  1 ,  x ,  1 )  e.  RR+ )
1210, 11mpan2 653 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  ->  if ( x  <_  1 ,  x ,  1 )  e.  RR+ )
13 eldifsn 3887 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )
14 simprl 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  (
w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  ->  w  e.  CC )
1514subid1d 9356 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  (
w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  ->  ( w  - 
0 )  =  w )
1615fveq2d 5691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  (
w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  ->  ( abs `  (
w  -  0 ) )  =  ( abs `  w ) )
1716breq1d 4182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  (
w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  ->  ( ( abs `  ( w  -  0 ) )  <  if ( x  <_  1 ,  x ,  1 )  <-> 
( abs `  w
)  <  if (
x  <_  1 ,  x ,  1 ) ) )
1814abscld 12193 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  (
w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  ->  ( abs `  w
)  e.  RR )
19 rpre 10574 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
2019adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  (
w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  ->  x  e.  RR )
21 1re 9046 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
2221a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  (
w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  ->  1  e.  RR )
23 ltmin 10737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs `  w
)  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( abs `  w
)  <  if (
x  <_  1 ,  x ,  1 )  <-> 
( ( abs `  w
)  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 ) ) )
2418, 20, 22, 23syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  (
w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  ->  ( ( abs `  w )  <  if ( x  <_  1 ,  x ,  1 )  <-> 
( ( abs `  w
)  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 ) ) )
2517, 24bitrd 245 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  (
w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  ->  ( ( abs `  ( w  -  0 ) )  <  if ( x  <_  1 ,  x ,  1 )  <-> 
( ( abs `  w
)  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 ) ) )
26 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  /\  ( ( abs `  w )  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 ) )  -> 
( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )
2726, 13sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  /\  ( ( abs `  w )  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 ) )  ->  w  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
28 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  w  ->  ( exp `  z )  =  ( exp `  w
) )
2928oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  w  ->  (
( exp `  z
)  -  1 )  =  ( ( exp `  w )  -  1 ) )
30 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  w  ->  z  =  w )
3129, 30oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  w  ->  (
( ( exp `  z
)  -  1 )  /  z )  =  ( ( ( exp `  w )  -  1 )  /  w ) )
32 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( ( ( exp `  z )  -  1 )  /  z ) )  =  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( ( ( exp `  z )  -  1 )  /  z ) )
33 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( exp `  w
)  -  1 )  /  w )  e. 
_V
3431, 32, 33fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( ( ( exp `  z )  -  1 )  /  z ) ) `  w )  =  ( ( ( exp `  w )  -  1 )  /  w ) )
3527, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  /\  ( ( abs `  w )  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 ) )  -> 
( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( ( ( exp `  z
)  -  1 )  /  z ) ) `
 w )  =  ( ( ( exp `  w )  -  1 )  /  w ) )
3635oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  /\  ( ( abs `  w )  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 ) )  -> 
( ( ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( ( ( exp `  z )  -  1 )  /  z ) ) `  w )  -  1 )  =  ( ( ( ( exp `  w )  -  1 )  /  w )  -  1 ) )
3736fveq2d 5691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  /\  ( ( abs `  w )  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 ) )  -> 
( abs `  (
( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( ( ( exp `  z
)  -  1 )  /  z ) ) `
 w )  - 
1 ) )  =  ( abs `  (
( ( ( exp `  w )  -  1 )  /  w )  -  1 ) ) )
38 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  /\  ( ( abs `  w )  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 ) )  ->  w  e.  CC )
39 efcl 12640 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  CC  ->  ( exp `  w )  e.  CC )
4038, 39syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  /\  ( ( abs `  w )  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 ) )  -> 
( exp `  w
)  e.  CC )
419a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  /\  ( ( abs `  w )  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 ) )  -> 
1  e.  CC )
4240, 41subcld 9367 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  /\  ( ( abs `  w )  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 ) )  -> 
( ( exp `  w
)  -  1 )  e.  CC )
43 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  /\  ( ( abs `  w )  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 ) )  ->  w  =/=  0 )
4442, 38, 43divcld 9746 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  /\  ( ( abs `  w )  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 ) )  -> 
( ( ( exp `  w )  -  1 )  /  w )  e.  CC )
4544, 41subcld 9367 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  /\  ( ( abs `  w )  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 ) )  -> 
( ( ( ( exp `  w )  -  1 )  /  w )  -  1 )  e.  CC )
4645abscld 12193 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  /\  ( ( abs `  w )  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 ) )  -> 
( abs `  (
( ( ( exp `  w )  -  1 )  /  w )  -  1 ) )  e.  RR )
4738abscld 12193 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  /\  ( ( abs `  w )  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 ) )  -> 
( abs `  w
)  e.  RR )
48 simpll 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  /\  ( ( abs `  w )  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 ) )  ->  x  e.  RR+ )
4948rpred 10604 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  /\  ( ( abs `  w )  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 ) )  ->  x  e.  RR )
50 abscl 12038 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  CC  ->  ( abs `  w )  e.  RR )
5150ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( abs `  w
)  e.  RR )
5239ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( exp `  w
)  e.  CC )
53 subcl 9261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( exp `  w
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( exp `  w
)  -  1 )  e.  CC )
5452, 9, 53sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( exp `  w )  -  1 )  e.  CC )
55 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  w  e.  CC )
56 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  w  =/=  0
)
5754, 55, 56divcld 9746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( ( exp `  w )  -  1 )  /  w )  e.  CC )
589a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  1  e.  CC )
5957, 58subcld 9367 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( ( ( exp `  w
)  -  1 )  /  w )  - 
1 )  e.  CC )
6059abscld 12193 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( abs `  (
( ( ( exp `  w )  -  1 )  /  w )  -  1 ) )  e.  RR )
6151, 60remulcld 9072 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( abs `  w )  x.  ( abs `  ( ( ( ( exp `  w
)  -  1 )  /  w )  - 
1 ) ) )  e.  RR )
6251resqcld 11504 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( abs `  w ) ^ 2 )  e.  RR )
63 3re 10027 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  3  e.  RR
64 4nn 10091 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  4  e.  NN
65 nndivre 9991 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  4  e.  NN )  ->  ( 3  /  4
)  e.  RR )
6663, 64, 65mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 3  /  4 )  e.  RR
67 remulcl 9031 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( abs `  w
) ^ 2 )  e.  RR  /\  (
3  /  4 )  e.  RR )  -> 
( ( ( abs `  w ) ^ 2 )  x.  ( 3  /  4 ) )  e.  RR )
6862, 66, 67sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( ( abs `  w ) ^ 2 )  x.  ( 3  /  4
) )  e.  RR )
6954, 55subcld 9367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( ( exp `  w )  -  1 )  -  w )  e.  CC )
7069, 55, 56divcan2d 9748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( w  x.  ( ( ( ( exp `  w )  -  1 )  -  w )  /  w
) )  =  ( ( ( exp `  w
)  -  1 )  -  w ) )
7154, 55, 55, 56divsubdird 9785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( ( ( exp `  w
)  -  1 )  -  w )  /  w )  =  ( ( ( ( exp `  w )  -  1 )  /  w )  -  ( w  /  w ) ) )
7255, 56dividd 9744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( w  /  w )  =  1 )
7372oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( ( ( exp `  w
)  -  1 )  /  w )  -  ( w  /  w
) )  =  ( ( ( ( exp `  w )  -  1 )  /  w )  -  1 ) )
7471, 73eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( ( ( exp `  w
)  -  1 )  -  w )  /  w )  =  ( ( ( ( exp `  w )  -  1 )  /  w )  -  1 ) )
7574oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( w  x.  ( ( ( ( exp `  w )  -  1 )  -  w )  /  w
) )  =  ( w  x.  ( ( ( ( exp `  w
)  -  1 )  /  w )  - 
1 ) ) )
7652, 58, 55subsub4d 9398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( ( exp `  w )  -  1 )  -  w )  =  ( ( exp `  w
)  -  ( 1  +  w ) ) )
77 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( w ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( w ^ n )  / 
( ! `  n
) ) )
78 df-2 10014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  2  =  ( 1  +  1 )
79 1nn0 10193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  1  e.  NN0
80 1e0p1 10366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  1  =  ( 0  +  1 )
81 0nn0 10192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  0  e.  NN0
821a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  0  e.  CC )
8377efval2 12641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( w  e.  CC  ->  ( exp `  w )  = 
sum_ k  e.  NN0  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( w ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k ) )
8483ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( exp `  w
)  =  sum_ k  e.  NN0  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( w ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k ) )
85 nn0uz 10476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
8685sumeq1i 12447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  sum_ k  e.  NN0  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( w ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k )  = 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  0 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( w ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
)
8784, 86syl6req 2453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  0 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( w ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
)  =  ( exp `  w ) )
8887oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( 0  + 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  0 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( w ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) )  =  ( 0  +  ( exp `  w ) ) )
8952addid2d 9223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( 0  +  ( exp `  w
) )  =  ( exp `  w ) )
9088, 89eqtr2d 2437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( exp `  w
)  =  ( 0  +  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  0 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( w ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) ) )
91 eft0val 12668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( w ^ 0 )  /  ( ! `
 0 ) )  =  1 )
9291ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( w ^ 0 )  / 
( ! `  0
) )  =  1 )
9392oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( 0  +  ( ( w ^
0 )  /  ( ! `  0 )
) )  =  ( 0  +  1 ) )
9493, 80syl6eqr 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( 0  +  ( ( w ^
0 )  /  ( ! `  0 )
) )  =  1 )
9577, 80, 81, 55, 82, 90, 94efsep 12666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( exp `  w
)  =  ( 1  +  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  1 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( w ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) ) )
96 exp1 11342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w ^ 1 )  =  w )
9796ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( w ^
1 )  =  w )
9897oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( w ^ 1 )  / 
( ! `  1
) )  =  ( w  /  ( ! `
 1 ) ) )
99 fac1 11525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ! `
 1 )  =  1
10099oveq2i 6051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( w  /  ( ! ` 
1 ) )  =  ( w  /  1
)
10198, 100syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( w ^ 1 )  / 
( ! `  1
) )  =  ( w  /  1 ) )
102 div1 9663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  /  1 )  =  w )
103102ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( w  / 
1 )  =  w )
104101, 103eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( w ^ 1 )  / 
( ! `  1
) )  =  w )
105104oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( 1  +  ( ( w ^
1 )  /  ( ! `  1 )
) )  =  ( 1  +  w ) )
10677, 78, 79, 55, 58, 95, 105efsep 12666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( exp `  w
)  =  ( ( 1  +  w )  +  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  2 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( w ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) ) )
107106eqcomd 2409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( 1  +  w )  + 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  2 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( w ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) )  =  ( exp `  w ) )
108 addcl 9028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( 1  +  w
)  e.  CC )
1099, 55, 108sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( 1  +  w )  e.  CC )
110 2nn0 10194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  2  e.  NN0
11177eftlcl 12663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( w  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( w ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k )  e.  CC )
11255, 110, 111sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  2 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( w ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
)  e.  CC )
11352, 109, 112subaddd 9385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( ( exp `  w )  -  ( 1  +  w ) )  = 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  2 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( w ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
)  <->  ( ( 1  +  w )  + 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  2 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( w ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) )  =  ( exp `  w ) ) )
114107, 113mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( exp `  w )  -  (
1  +  w ) )  =  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  2 )
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( w ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k ) )
11576, 114eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( ( exp `  w )  -  1 )  -  w )  =  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( w ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k ) )
11670, 75, 1153eqtr3d 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( w  x.  ( ( ( ( exp `  w )  -  1 )  /  w )  -  1 ) )  =  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( w ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k ) )
117116fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( abs `  (
w  x.  ( ( ( ( exp `  w
)  -  1 )  /  w )  - 
1 ) ) )  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( w ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k ) ) )
11855, 59absmuld 12211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( abs `  (
w  x.  ( ( ( ( exp `  w
)  -  1 )  /  w )  - 
1 ) ) )  =  ( ( abs `  w )  x.  ( abs `  ( ( ( ( exp `  w
)  -  1 )  /  w )  - 
1 ) ) ) )
119117, 118eqtr3d 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( w ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k ) )  =  ( ( abs `  w )  x.  ( abs `  ( ( ( ( exp `  w
)  -  1 )  /  w )  - 
1 ) ) ) )
120 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( abs `  w
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( abs `  w ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) )
121 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( ( abs `  w
) ^ 2 )  /  ( ! ` 
2 ) )  x.  ( ( 1  / 
( 2  +  1 ) ) ^ n
) ) )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( ( abs `  w ) ^ 2 )  / 
( ! `  2
) )  x.  (
( 1  /  (
2  +  1 ) ) ^ n ) ) )
122 2nn 10089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  e.  NN
123122a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  2  e.  NN )
12421a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  1  e.  RR )
125 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( abs `  w
)  <  1 )
12651, 124, 125ltled 9177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( abs `  w
)  <_  1 )
12777, 120, 121, 123, 55, 126eftlub 12665 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( w ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k ) )  <_  ( ( ( abs `  w ) ^ 2 )  x.  ( ( 2  +  1 )  /  (
( ! `  2
)  x.  2 ) ) ) )
128119, 127eqbrtrrd 4194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( abs `  w )  x.  ( abs `  ( ( ( ( exp `  w
)  -  1 )  /  w )  - 
1 ) ) )  <_  ( ( ( abs `  w ) ^ 2 )  x.  ( ( 2  +  1 )  /  (
( ! `  2
)  x.  2 ) ) ) )
129 df-3 10015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  3  =  ( 2  +  1 )
130 fac2 11527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ! `
 2 )  =  2
131130oveq1i 6050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ! `  2 )  x.  2 )  =  ( 2  x.  2 )
132 2t2e4 10083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
133131, 132eqtr2i 2425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  4  =  ( ( ! `
 2 )  x.  2 )
134129, 133oveq12i 6052 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 3  /  4 )  =  ( ( 2  +  1 )  /  (
( ! `  2
)  x.  2 ) )
135134oveq2i 6051 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( abs `  w
) ^ 2 )  x.  ( 3  / 
4 ) )  =  ( ( ( abs `  w ) ^ 2 )  x.  ( ( 2  +  1 )  /  ( ( ! `
 2 )  x.  2 ) ) )
136128, 135syl6breqr 4212 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( abs `  w )  x.  ( abs `  ( ( ( ( exp `  w
)  -  1 )  /  w )  - 
1 ) ) )  <_  ( ( ( abs `  w ) ^ 2 )  x.  ( 3  /  4
) ) )
13766a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( 3  / 
4 )  e.  RR )
13851sqge0d 11505 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  0  <_  (
( abs `  w
) ^ 2 ) )
139 3lt4 10101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  3  <  4
140 4cn 10030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  4  e.  CC
141140mulid1i 9048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 4  x.  1 )  =  4
142139, 141breqtrri 4197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  3  <  ( 4  x.  1 )
143 4re 10029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  4  e.  RR
144 4pos 10042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  0  <  4
145143, 144pm3.2i 442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 4  e.  RR  /\  0  <  4 )
146 ltdivmul 9838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
4  e.  RR  /\  0  <  4 ) )  ->  ( ( 3  /  4 )  <  1  <->  3  <  (
4  x.  1 ) ) )
14763, 21, 145, 146mp3an 1279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 3  /  4 )  <  1  <->  3  <  ( 4  x.  1 ) )
148142, 147mpbir 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 3  /  4 )  <  1
14966, 21, 148ltleii 9152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 3  /  4 )  <_ 
1
150149a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( 3  / 
4 )  <_  1
)
151137, 124, 62, 138, 150lemul2ad 9907 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( ( abs `  w ) ^ 2 )  x.  ( 3  /  4
) )  <_  (
( ( abs `  w
) ^ 2 )  x.  1 ) )
15251recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( abs `  w
)  e.  CC )
153152sqcld 11476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( abs `  w ) ^ 2 )  e.  CC )
154153mulid1d 9061 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( ( abs `  w ) ^ 2 )  x.  1 )  =  ( ( abs `  w
) ^ 2 ) )
155151, 154breqtrd 4196 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( ( abs `  w ) ^ 2 )  x.  ( 3  /  4
) )  <_  (
( abs `  w
) ^ 2 ) )
15661, 68, 62, 136, 155letrd 9183 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( abs `  w )  x.  ( abs `  ( ( ( ( exp `  w
)  -  1 )  /  w )  - 
1 ) ) )  <_  ( ( abs `  w ) ^ 2 ) )
157152sqvald 11475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( abs `  w ) ^ 2 )  =  ( ( abs `  w )  x.  ( abs `  w
) ) )
158156, 157breqtrd 4196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( abs `  w )  x.  ( abs `  ( ( ( ( exp `  w
)  -  1 )  /  w )  - 
1 ) ) )  <_  ( ( abs `  w )  x.  ( abs `  w ) ) )
159 absgt0 12083 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  =/=  0  <->  0  <  ( abs `  w
) ) )
160159ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( w  =/=  0  <->  0  <  ( abs `  w ) ) )
16156, 160mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  0  <  ( abs `  w ) )
16251, 161elrpd 10602 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( abs `  w
)  e.  RR+ )
16360, 51, 162lemul2d 10644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( abs `  ( ( ( ( exp `  w )  -  1 )  /  w )  -  1 ) )  <_  ( abs `  w )  <->  ( ( abs `  w )  x.  ( abs `  (
( ( ( exp `  w )  -  1 )  /  w )  -  1 ) ) )  <_  ( ( abs `  w )  x.  ( abs `  w
) ) ) )
164158, 163mpbird 224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( abs `  (
( ( ( exp `  w )  -  1 )  /  w )  -  1 ) )  <_  ( abs `  w
) )
165164ad2ant2l 727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  /\  ( ( abs `  w )  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 ) )  -> 
( abs `  (
( ( ( exp `  w )  -  1 )  /  w )  -  1 ) )  <_  ( abs `  w
) )
166 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  /\  ( ( abs `  w )  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 ) )  -> 
( abs `  w
)  <  x )
16746, 47, 49, 165, 166lelttrd 9184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  /\  ( ( abs `  w )  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 ) )  -> 
( abs `  (
( ( ( exp `  w )  -  1 )  /  w )  -  1 ) )  <  x )
16837, 167eqbrtrd 4192 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  /\  ( ( abs `  w )  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 ) )  -> 
( abs `  (
( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( ( ( exp `  z
)  -  1 )  /  z ) ) `
 w )  - 
1 ) )  < 
x )
169168ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  (
w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  ->  ( ( ( abs `  w )  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( ( ( exp `  z )  -  1 )  / 
z ) ) `  w )  -  1 ) )  <  x
) )
17025, 169sylbid 207 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  (
w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  ->  ( ( abs `  ( w  -  0 ) )  <  if ( x  <_  1 ,  x ,  1 )  ->  ( abs `  (
( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( ( ( exp `  z
)  -  1 )  /  z ) ) `
 w )  - 
1 ) )  < 
x ) )
171170adantld 454 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  (
w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  ->  ( ( w  =/=  0  /\  ( abs `  ( w  - 
0 ) )  < 
if ( x  <_ 
1 ,  x ,  1 ) )  -> 
( abs `  (
( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( ( ( exp `  z
)  -  1 )  /  z ) ) `
 w )  - 
1 ) )  < 
x ) )
17213, 171sylan2b 462 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  w  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( ( w  =/=  0  /\  ( abs `  ( w  - 
0 ) )  < 
if ( x  <_ 
1 ,  x ,  1 ) )  -> 
( abs `  (
( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( ( ( exp `  z
)  -  1 )  /  z ) ) `
 w )  - 
1 ) )  < 
x ) )
173172ralrimiva 2749 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  ->  A. w  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( w  =/=  0  /\  ( abs `  (
w  -  0 ) )  <  if ( x  <_  1 ,  x ,  1 ) )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( ( ( exp `  z )  -  1 )  /  z ) ) `  w )  -  1 ) )  <  x ) )
174 breq2 4176 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  if ( x  <_  1 ,  x ,  1 )  -> 
( ( abs `  (
w  -  0 ) )  <  y  <->  ( abs `  ( w  -  0 ) )  <  if ( x  <_  1 ,  x ,  1 ) ) )
175174anbi2d 685 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  if ( x  <_  1 ,  x ,  1 )  -> 
( ( w  =/=  0  /\  ( abs `  ( w  -  0 ) )  <  y
)  <->  ( w  =/=  0  /\  ( abs `  ( w  -  0 ) )  <  if ( x  <_  1 ,  x ,  1 ) ) ) )
176175imbi1d 309 . . . . . . 7  |-  ( y  =  if ( x  <_  1 ,  x ,  1 )  -> 
( ( ( w  =/=  0  /\  ( abs `  ( w  - 
0 ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( ( ( exp `  z )  -  1 )  / 
z ) ) `  w )  -  1 ) )  <  x
)  <->  ( ( w  =/=  0  /\  ( abs `  ( w  - 
0 ) )  < 
if ( x  <_ 
1 ,  x ,  1 ) )  -> 
( abs `  (
( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( ( ( exp `  z
)  -  1 )  /  z ) ) `
 w )  - 
1 ) )  < 
x ) ) )
177176ralbidv 2686 . . . . . 6  |-  ( y  =  if ( x  <_  1 ,  x ,  1 )  -> 
( A. w  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( w  =/=  0  /\  ( abs `  (
w  -  0 ) )  <  y )  ->  ( abs `  (
( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( ( ( exp `  z
)  -  1 )  /  z ) ) `
 w )  - 
1 ) )  < 
x )  <->  A. w  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( w  =/=  0  /\  ( abs `  (
w  -  0 ) )  <  if ( x  <_  1 ,  x ,  1 ) )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( ( ( exp `  z )  -  1 )  /  z ) ) `  w )  -  1 ) )  <  x ) ) )
178177rspcev 3012 . . . . 5  |-  ( ( if ( x  <_ 
1 ,  x ,  1 )  e.  RR+  /\ 
A. w  e.  ( CC  \  { 0 } ) ( ( w  =/=  0  /\  ( abs `  (
w  -  0 ) )  <  if ( x  <_  1 ,  x ,  1 ) )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( ( ( exp `  z )  -  1 )  /  z ) ) `  w )  -  1 ) )  <  x ) )  ->  E. y  e.  RR+  A. w  e.  ( CC 
\  { 0 } ) ( ( w  =/=  0  /\  ( abs `  ( w  - 
0 ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( ( ( exp `  z )  -  1 )  / 
z ) ) `  w )  -  1 ) )  <  x
) )
17912, 173, 178syl2anc 643 . . . 4  |-  ( x  e.  RR+  ->  E. y  e.  RR+  A. w  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( w  =/=  0  /\  ( abs `  (
w  -  0 ) )  <  y )  ->  ( abs `  (
( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( ( ( exp `  z
)  -  1 )  /  z ) ) `
 w )  - 
1 ) )  < 
x ) )
180179rgen 2731 . . 3  |-  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. w  e.  ( CC  \  { 0 } ) ( ( w  =/=  0  /\  ( abs `  (
w  -  0 ) )  <  y )  ->  ( abs `  (
( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( ( ( exp `  z
)  -  1 )  /  z ) ) `
 w )  - 
1 ) )  < 
x )
181 eldifi 3429 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  z  e.  CC )
182 efcl 12640 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  CC  ->  ( exp `  z )  e.  CC )
183181, 182syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( exp `  z
)  e.  CC )
1849a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  1  e.  CC )
185183, 184subcld 9367 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( ( exp `  z )  -  1 )  e.  CC )
186 eldifsni 3888 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  z  =/=  0
)
187185, 181, 186divcld 9746 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( ( ( exp `  z )  -  1 )  / 
z )  e.  CC )
18832, 187fmpti 5851 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( ( ( exp `  z )  -  1 )  /  z ) ) : ( CC 
\  { 0 } ) --> CC
189188a1i 11 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( ( ( exp `  z
)  -  1 )  /  z ) ) : ( CC  \  { 0 } ) --> CC )
190 difssd 3435 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( CC  \  {
0 } )  C_  CC )
1911a1i 11 . . . . 5  |-  (  T. 
->  0  e.  CC )
192189, 190, 191ellimc3 19719 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( 1  e.  ( ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( ( ( exp `  z
)  -  1 )  /  z ) ) lim
CC  0 )  <->  ( 1  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. w  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( w  =/=  0  /\  ( abs `  (
w  -  0 ) )  <  y )  ->  ( abs `  (
( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( ( ( exp `  z
)  -  1 )  /  z ) ) `
 w )  - 
1 ) )  < 
x ) ) ) )
193192trud 1329 . . 3  |-  ( 1  e.  ( ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( ( ( exp `  z )  -  1 )  /  z ) ) lim CC  0 )  <-> 
( 1  e.  CC  /\ 
A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. w  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( w  =/=  0  /\  ( abs `  (
w  -  0 ) )  <  y )  ->  ( abs `  (
( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( ( ( exp `  z
)  -  1 )  /  z ) ) `
 w )  - 
1 ) )  < 
x ) ) )
1949, 180, 193mpbir2an 887 . 2  |-  1  e.  ( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( ( ( exp `  z
)  -  1 )  /  z ) ) lim
CC  0 )
1955restid 13616 . . . . . 6  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  Top  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
1963, 195ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
197196eqcomi 2408 . . . 4  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
198181subid1d 9356 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( z  - 
0 )  =  z )
199198oveq2d 6056 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( ( ( exp `  z )  -  ( exp `  0
) )  /  (
z  -  0 ) )  =  ( ( ( exp `  z
)  -  ( exp `  0 ) )  /  z ) )
200 ef0 12648 . . . . . . . 8  |-  ( exp `  0 )  =  1
201200oveq2i 6051 . . . . . . 7  |-  ( ( exp `  z )  -  ( exp `  0
) )  =  ( ( exp `  z
)  -  1 )
202201oveq1i 6050 . . . . . 6  |-  ( ( ( exp `  z
)  -  ( exp `  0 ) )  /  z )  =  ( ( ( exp `  z )  -  1 )  /  z )
203199, 202syl6req 2453 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( ( ( exp `  z )  -  1 )  / 
z )  =  ( ( ( exp `  z
)  -  ( exp `  0 ) )  /  ( z  - 
0 ) ) )
204203mpteq2ia 4251 . . . 4  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( ( ( exp `  z )  -  1 )  /  z ) )  =  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( ( ( exp `  z )  -  ( exp `  0 ) )  /  ( z  - 
0 ) ) )
205 ssid 3327 . . . . 5  |-  CC  C_  CC
206205a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  CC  C_  CC )
207 eff 12639 . . . . 5  |-  exp : CC
--> CC
208207a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  exp : CC --> CC )
209197, 2, 204, 206, 208, 206eldv 19738 . . 3  |-  (  T. 
->  ( 0 ( CC 
_D  exp ) 1  <->  (
0  e.  ( ( int `  ( TopOpen ` fld )
) `  CC )  /\  1  e.  (
( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( ( ( exp `  z
)  -  1 )  /  z ) ) lim
CC  0 ) ) ) )
210209trud 1329 . 2  |-  ( 0 ( CC  _D  exp ) 1  <->  ( 0  e.  ( ( int `  ( TopOpen ` fld ) ) `  CC )  /\  1  e.  ( ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( ( ( exp `  z
)  -  1 )  /  z ) ) lim
CC  0 ) ) )
2118, 194, 210mpbir2an 887 1  |-  0
( CC  _D  exp ) 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    T. wtru 1322    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667    \ cdif 3277    C_ wss 3280   ifcif 3699   {csn 3774   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   3c3 10006   4c4 10007   NN0cn0 10177   ZZ>=cuz 10444   RR+crp 10568   ^cexp 11337   !cfa 11521   abscabs 11994   sum_csu 12434   expce 12619   ↾t crest 13603   TopOpenctopn 13604  ℂfldccnfld 16658   Topctop 16913   intcnt 17036   lim CC climc 19702    _D cdv 19703
This theorem is referenced by:  dvef  19817
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ico 10878  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-ntr 17039  df-cnp 17246  df-xms 18303  df-ms 18304  df-limc 19706  df-dv 19707
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