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Theorem dvelimv 1879
Description: Similar to dvelim 1956 with first hypothesis replaced by distinct variable condition. (Contributed by NM, 25-Jul-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
dvelimv.1  |-  ( z  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
dvelimv  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( ps  ->  A. x ps )
)
Distinct variable groups:    x, z    y, z    ps, z    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( y, z)    ps( x, y)

Proof of Theorem dvelimv
StepHypRef Expression
1 ax-17 1603 . . . . . 6  |-  ( ps 
->  A. z ps )
21a1d 22 . . . . . 6  |-  ( ps 
->  ( z  =  y  ->  A. z ps )
)
31, 2alrimih 1552 . . . . 5  |-  ( ps 
->  A. z ( z  =  y  ->  A. z ps ) )
4 sp 1716 . . . . . . . 8  |-  ( A. z ps  ->  ps )
5 dvelimv.1 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
64, 5syl5ibr 212 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  ( A. z ps  ->  ph )
)
76a2i 12 . . . . . 6  |-  ( ( z  =  y  ->  A. z ps )  -> 
( z  =  y  ->  ph ) )
87alimi 1546 . . . . 5  |-  ( A. z ( z  =  y  ->  A. z ps )  ->  A. z
( z  =  y  ->  ph ) )
93, 8syl 15 . . . 4  |-  ( ps 
->  A. z ( z  =  y  ->  ph )
)
10 ax10lem3 1878 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  z  =  x  ->  A. x  x  =  z )
1110con3i 127 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  -.  A. z 
z  =  x )
12 hbn1 1704 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. z  z  =  x  ->  A. z  -.  A. z  z  =  x )
13 ax10lem3 1878 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  x  =  z  ->  A. z  z  =  x )
1413con3i 127 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. z  z  =  x  ->  -.  A. x  x  =  z )
1512, 14alrimih 1552 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. z  z  =  x  ->  A. z  -.  A. x  x  =  z )
1611, 15syl 15 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  A. z  -.  A. x  x  =  z )
17 ax-17 1603 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  A. z  -.  A. x  x  =  y )
1816, 17hban 1736 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y )  ->  A. z
( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y ) )
19 hbn1 1704 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  A. x  -.  A. x  x  =  z )
20 hbn1 1704 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  A. x  -.  A. x  x  =  y )
2119, 20hban 1736 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y )  ->  A. x
( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y ) )
22 ax12o 1875 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  ( -.  A. x  x  =  y  ->  ( z  =  y  ->  A. x  z  =  y )
) )
2322imp 418 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y )  ->  ( z  =  y  ->  A. x  z  =  y )
)
24 a17d 1604 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y )  ->  ( ph  ->  A. x ph )
)
2521, 23, 24hbimd 1721 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y )  ->  ( (
z  =  y  ->  ph )  ->  A. x
( z  =  y  ->  ph ) ) )
2618, 25hbald 1714 . . . 4  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y )  ->  ( A. z ( z  =  y  ->  ph )  ->  A. x A. z ( z  =  y  ->  ph ) ) )
275biimpd 198 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  ( ph  ->  ps ) )
2827a2i 12 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  =  y  ->  ph )  ->  ( z  =  y  ->  ps ) )
2928alimi 1546 . . . . . . 7  |-  ( A. z ( z  =  y  ->  ph )  ->  A. z ( z  =  y  ->  ps )
)
30 ax9v 1636 . . . . . . . 8  |-  -.  A. z  -.  z  =  y
31 con3 126 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  =  y  ->  ps )  ->  ( -. 
ps  ->  -.  z  =  y ) )
3231al2imi 1548 . . . . . . . 8  |-  ( A. z ( z  =  y  ->  ps )  ->  ( A. z  -. 
ps  ->  A. z  -.  z  =  y ) )
3330, 32mtoi 169 . . . . . . 7  |-  ( A. z ( z  =  y  ->  ps )  ->  -.  A. z  -. 
ps )
3429, 33syl 15 . . . . . 6  |-  ( A. z ( z  =  y  ->  ph )  ->  -.  A. z  -.  ps )
35 ax-17 1603 . . . . . 6  |-  ( -. 
ps  ->  A. z  -.  ps )
3634, 35nsyl2 119 . . . . 5  |-  ( A. z ( z  =  y  ->  ph )  ->  ps )
3736alimi 1546 . . . 4  |-  ( A. x A. z ( z  =  y  ->  ph )  ->  A. x ps )
389, 26, 37syl56 30 . . 3  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y )  ->  ( ps  ->  A. x ps )
)
3938expcom 424 . 2  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( -.  A. x  x  =  z  ->  ( ps  ->  A. x ps ) ) )
40 sp 1716 . . . 4  |-  ( A. x  x  =  z  ->  x  =  z )
41 ax-11 1715 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  ( A. z ps  ->  A. x
( x  =  z  ->  ps ) ) )
4240, 1, 41syl2im 34 . . 3  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( ps  ->  A. x
( x  =  z  ->  ps ) ) )
43 pm2.27 35 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  =  z  ->  ps )  ->  ps ) )
4443al2imi 1548 . . 3  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( A. x ( x  =  z  ->  ps )  ->  A. x ps ) )
4542, 44syld 40 . 2  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( ps  ->  A. x ps ) )
4639, 45pm2.61d2 152 1  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( ps  ->  A. x ps )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1527
This theorem is referenced by:  dveeq2  1880  ax10lem4  1881  dveeq1  1958  dveel1  1959  dveel2  1960  rgen2a  2609
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-an 360  df-ex 1529
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