MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvexp2 Unicode version

Theorem dvexp2 19797
Description: Derivative of an exponential, possibly zero power. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvexp2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  if ( N  =  0 ,  0 ,  ( N  x.  ( x ^ ( N  -  1 ) ) ) ) ) )
Distinct variable group:    x, N

Proof of Theorem dvexp2
StepHypRef Expression
1 elnn0 10183 . 2  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
2 dvexp 19796 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( N  x.  ( x ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
3 nnne0 9992 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
43neneqd 2587 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  -.  N  =  0 )
5 iffalse 3710 . . . . . 6  |-  ( -.  N  =  0  ->  if ( N  =  0 ,  0 ,  ( N  x.  ( x ^ ( N  - 
1 ) ) ) )  =  ( N  x.  ( x ^
( N  -  1 ) ) ) )
64, 5syl 16 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  if ( N  =  0 ,  0 ,  ( N  x.  ( x ^ ( N  - 
1 ) ) ) )  =  ( N  x.  ( x ^
( N  -  1 ) ) ) )
76mpteq2dv 4260 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
x  e.  CC  |->  if ( N  =  0 ,  0 ,  ( N  x.  ( x ^ ( N  - 
1 ) ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( N  x.  ( x ^ ( N  - 
1 ) ) ) ) )
82, 7eqtr4d 2443 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  if ( N  =  0 ,  0 ,  ( N  x.  ( x ^ ( N  -  1 ) ) ) ) ) )
9 oveq2 6052 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  =  0  ->  (
x ^ N )  =  ( x ^
0 ) )
10 exp0 11345 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x ^ 0 )  =  1 )
119, 10sylan9eq 2460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  =  0  /\  x  e.  CC )  ->  ( x ^ N )  =  1 )
1211mpteq2dva 4259 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  0  ->  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  =  ( x  e.  CC  |->  1 ) )
13 fconstmpt 4884 . . . . . . . 8  |-  ( CC 
X.  { 1 } )  =  ( x  e.  CC  |->  1 )
1412, 13syl6eqr 2458 . . . . . . 7  |-  ( N  =  0  ->  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  =  ( CC 
X.  { 1 } ) )
1514oveq2d 6060 . . . . . 6  |-  ( N  =  0  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) )  =  ( CC  _D  ( CC  X.  { 1 } ) ) )
16 ax-1cn 9008 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
17 dvconst 19760 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( CC  X.  { 1 } ) )  =  ( CC 
X.  { 0 } ) )
1816, 17ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( CC 
_D  ( CC  X.  { 1 } ) )  =  ( CC 
X.  { 0 } )
1915, 18syl6eq 2456 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) )  =  ( CC  X.  { 0 } ) )
20 fconstmpt 4884 . . . . 5  |-  ( CC 
X.  { 0 } )  =  ( x  e.  CC  |->  0 )
2119, 20syl6eq 2456 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  0 ) )
22 iftrue 3709 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  if ( N  =  0 ,  0 ,  ( N  x.  ( x ^ ( N  - 
1 ) ) ) )  =  0 )
2322mpteq2dv 4260 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  (
x  e.  CC  |->  if ( N  =  0 ,  0 ,  ( N  x.  ( x ^ ( N  - 
1 ) ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  0 ) )
2421, 23eqtr4d 2443 . . 3  |-  ( N  =  0  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  if ( N  =  0 ,  0 ,  ( N  x.  ( x ^ ( N  -  1 ) ) ) ) ) )
258, 24jaoi 369 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  \/  N  =  0 )  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  if ( N  =  0 ,  0 ,  ( N  x.  ( x ^ ( N  - 
1 ) ) ) ) ) )
261, 25sylbi 188 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  if ( N  =  0 ,  0 ,  ( N  x.  ( x ^ ( N  -  1 ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 358    = wceq 1649    e. wcel 1721   ifcif 3703   {csn 3778    e. cmpt 4230    X. cxp 4839  (class class class)co 6044   CCcc 8948   0cc0 8950   1c1 8951    x. cmul 8955    - cmin 9251   NNcn 9960   NN0cn0 10181   ^cexp 11341    _D cdv 19707
This theorem is referenced by:  dvexp3  19819  dvply1  20158  dvtaylp  20243  pserdvlem2  20301
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-inf2 7556  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027  ax-pre-sup 9028  ax-addf 9029  ax-mulf 9030
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-iin 4060  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-se 4506  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-of 6268  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-er 6868  df-map 6983  df-pm 6984  df-ixp 7027  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-fi 7378  df-sup 7408  df-oi 7439  df-card 7786  df-cda 8008  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-4 10020  df-5 10021  df-6 10022  df-7 10023  df-8 10024  df-9 10025  df-10 10026  df-n0 10182  df-z 10243  df-dec 10343  df-uz 10449  df-q 10535  df-rp 10573  df-xneg 10670  df-xadd 10671  df-xmul 10672  df-icc 10883  df-fz 11004  df-fzo 11095  df-seq 11283  df-exp 11342  df-hash 11578  df-cj 11863  df-re 11864  df-im 11865  df-sqr 11999  df-abs 12000  df-struct 13430  df-ndx 13431  df-slot 13432  df-base 13433  df-sets 13434  df-ress 13435  df-plusg 13501  df-mulr 13502  df-starv 13503  df-sca 13504  df-vsca 13505  df-tset 13507  df-ple 13508  df-ds 13510  df-unif 13511  df-hom 13512  df-cco 13513  df-rest 13609  df-topn 13610  df-topgen 13626  df-pt 13627  df-prds 13630  df-xrs 13685  df-0g 13686  df-gsum 13687  df-qtop 13692  df-imas 13693  df-xps 13695  df-mre 13770  df-mrc 13771  df-acs 13773  df-mnd 14649  df-submnd 14698  df-mulg 14774  df-cntz 15075  df-cmn 15373  df-psmet 16653  df-xmet 16654  df-met 16655  df-bl 16656  df-mopn 16657  df-fbas 16658  df-fg 16659  df-cnfld 16663  df-top 16922  df-bases 16924  df-topon 16925  df-topsp 16926  df-cld 17042  df-ntr 17043  df-cls 17044  df-nei 17121  df-lp 17159  df-perf 17160  df-cn 17249  df-cnp 17250  df-haus 17337  df-tx 17551  df-hmeo 17744  df-fil 17835  df-fm 17927  df-flim 17928  df-flf 17929  df-xms 18307  df-ms 18308  df-tms 18309  df-cncf 18865  df-limc 19710  df-dv 19711
  Copyright terms: Public domain W3C validator