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Theorem dvfsumlem3 19781
Description: Lemma for dvfsumrlim 19784. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum.s  |-  S  =  ( T (,)  +oo )
dvfsum.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
dvfsum.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
dvfsum.d  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
dvfsum.md  |-  ( ph  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
dvfsum.t  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
dvfsum.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
dvfsum.b1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
dvfsum.b2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
dvfsum.b3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
dvfsum.c  |-  ( x  =  k  ->  B  =  C )
dvfsum.u  |-  ( ph  ->  U  e.  RR* )
dvfsum.l  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  B )
dvfsum.h  |-  H  =  ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) ) )
dvfsumlem1.1  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
dvfsumlem1.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
dvfsumlem1.3  |-  ( ph  ->  D  <_  X )
dvfsumlem1.4  |-  ( ph  ->  X  <_  Y )
dvfsumlem1.5  |-  ( ph  ->  Y  <_  U )
Assertion
Ref Expression
dvfsumlem3  |-  ( ph  ->  ( ( H `  Y )  <_  ( H `  X )  /\  ( ( H `  X )  -  [_ X  /  x ]_ B
)  <_  ( ( H `  Y )  -  [_ Y  /  x ]_ B ) ) )
Distinct variable groups:    B, k    x, C    x, k, D    ph, k, x    S, k, x    k, M, x   
x, T    k, Y, x    x, Z    U, k, x    k, X, x
Allowed substitution hints:    A( x, k)    B( x)    C( k)    T( k)    H( x, k)    V( x, k)    Z( k)

Proof of Theorem dvfsumlem3
Dummy variables  y  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvfsum.s . . . 4  |-  S  =  ( T (,)  +oo )
2 ioossre 10906 . . . 4  |-  ( T (,)  +oo )  C_  RR
31, 2eqsstri 3323 . . 3  |-  S  C_  RR
4 dvfsumlem1.2 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
53, 4sseldi 3291 . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
6 dvfsumlem1.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
73, 6sseldi 3291 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
8 reflcl 11134 . . 3  |-  ( X  e.  RR  ->  ( |_ `  X )  e.  RR )
9 peano2re 9173 . . 3  |-  ( ( |_ `  X )  e.  RR  ->  (
( |_ `  X
)  +  1 )  e.  RR )
107, 8, 93syl 19 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  X )  +  1 )  e.  RR )
11 dvfsum.z . . 3  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
12 dvfsum.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
1312adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  <_  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )  ->  M  e.  ZZ )
14 dvfsum.d . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
1514adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  <_  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )  ->  D  e.  RR )
16 dvfsum.md . . . 4  |-  ( ph  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
1716adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  <_  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
18 dvfsum.t . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
1918adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  <_  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )  ->  T  e.  RR )
20 dvfsum.a . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
2120adantlr 696 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  Y  <_  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
22 dvfsum.b1 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
2322adantlr 696 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  Y  <_  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
24 dvfsum.b2 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
2524adantlr 696 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  Y  <_  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
26 dvfsum.b3 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
2726adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  <_  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
28 dvfsum.c . . 3  |-  ( x  =  k  ->  B  =  C )
29 dvfsum.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  RR* )
3029adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  <_  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )  ->  U  e.  RR* )
31 dvfsum.l . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  B )
32313adant1r 1177 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  Y  <_  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  /\  (
x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  B
)
33 dvfsum.h . . 3  |-  H  =  ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) ) )
346adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  <_  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )  ->  X  e.  S )
354adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  <_  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )  ->  Y  e.  S )
36 dvfsumlem1.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  <_  X )
3736adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  <_  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )  ->  D  <_  X )
38 dvfsumlem1.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  <_  Y )
3938adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  <_  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )  ->  X  <_  Y )
40 dvfsumlem1.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  <_  U )
4140adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  <_  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )  ->  Y  <_  U )
42 simpr 448 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  <_  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )  ->  Y  <_  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )
431, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 37, 39, 41, 42dvfsumlem2 19780 . 2  |-  ( (
ph  /\  Y  <_  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )  ->  ( ( H `  Y )  <_  ( H `  X
)  /\  ( ( H `  X )  -  [_ X  /  x ]_ B )  <_  (
( H `  Y
)  -  [_ Y  /  x ]_ B ) ) )
443a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  C_  RR )
4544sselda 3293 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  RR )
46 reflcl 11134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  e.  RR )
4745, 46syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  ( |_ `  x )  e.  RR )
4845, 47resubcld 9399 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
x  -  ( |_
`  x ) )  e.  RR )
4944, 20, 22, 26dvmptrecl 19777 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  RR )
5048, 49remulcld 9051 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  e.  RR )
51 fzfid 11241 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  ( M ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
5224ralrimiva 2734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  Z  B  e.  RR )
5352adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A. x  e.  Z  B  e.  RR )
54 elfzuz 10989 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
5554, 11syl6eleqr 2480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) )  ->  k  e.  Z )
5628eleq1d 2455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  k  ->  ( B  e.  RR  <->  C  e.  RR ) )
5756rspccva 2996 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. x  e.  Z  B  e.  RR  /\  k  e.  Z )  ->  C  e.  RR )
5853, 55, 57syl2an 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) )  ->  C  e.  RR )
5951, 58fsumrecl 12457 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  e.  RR )
6059, 20resubcld 9399 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  -  A )  e.  RR )
6150, 60readdcld 9050 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  -  A ) )  e.  RR )
6261, 33fmptd 5834 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  H : S --> RR )
6362adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  H : S
--> RR )
644adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  Y  e.  S )
6563, 64ffvelrnd 5812 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( H `  Y )  e.  RR )
665adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  Y  e.  RR )
67 reflcl 11134 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  RR  ->  ( |_ `  Y )  e.  RR )
6866, 67syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( |_ `  Y )  e.  RR )
6918adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  T  e.  RR )
707adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  X  e.  RR )
7170, 8, 93syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( ( |_ `  X )  +  1 )  e.  RR )
726, 1syl6eleq 2479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  e.  ( T (,)  +oo ) )
7318rexrd 9069 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  T  e.  RR* )
74 elioopnf 10932 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  RR*  ->  ( X  e.  ( T (,)  +oo )  <->  ( X  e.  RR  /\  T  < 
X ) ) )
7573, 74syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( T (,)  +oo )  <->  ( X  e.  RR  /\  T  <  X ) ) )
7672, 75mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X  e.  RR  /\  T  <  X ) )
7776simprd 450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  T  <  X )
78 fllep1 11139 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  RR  ->  X  <_  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )
797, 78syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  <_  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )
8018, 7, 10, 77, 79ltletrd 9164 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  <  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )
8180adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  T  <  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )
82 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)
8370flcld 11136 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( |_ `  X )  e.  ZZ )
8483peano2zd 10312 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( ( |_ `  X )  +  1 )  e.  ZZ )
85 flge 11143 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  e.  RR  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y 
<->  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  ( |_ `  Y ) ) )
8666, 84, 85syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y  <->  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  ( |_ `  Y ) ) )
8782, 86mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  ( |_ `  Y ) )
8869, 71, 68, 81, 87ltletrd 9164 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  T  <  ( |_ `  Y ) )
8973adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  T  e.  RR* )
90 elioopnf 10932 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  RR*  ->  ( ( |_ `  Y )  e.  ( T (,)  +oo )  <->  ( ( |_
`  Y )  e.  RR  /\  T  < 
( |_ `  Y
) ) ) )
9189, 90syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( ( |_ `  Y )  e.  ( T (,)  +oo ) 
<->  ( ( |_ `  Y )  e.  RR  /\  T  <  ( |_
`  Y ) ) ) )
9268, 88, 91mpbir2and 889 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( |_ `  Y )  e.  ( T (,)  +oo )
)
9392, 1syl6eleqr 2480 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( |_ `  Y )  e.  S
)
9463, 93ffvelrnd 5812 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( H `  ( |_ `  Y
) )  e.  RR )
956adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  X  e.  S )
9663, 95ffvelrnd 5812 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( H `  X )  e.  RR )
9712adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  M  e.  ZZ )
9814adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  D  e.  RR )
9916adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
10020adantlr 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
10122adantlr 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
10224adantlr 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
10326adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( RR  _D  ( x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
10429adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  U  e.  RR* )
105313adant1r 1177 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S
)  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_ 
k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  B )
10636adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  D  <_  X )
10770, 78syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  X  <_  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )
10898, 70, 71, 106, 107letrd 9161 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  D  <_  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )
10998, 71, 68, 108, 87letrd 9161 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  D  <_  ( |_ `  Y ) )
110 flle 11137 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  RR  ->  ( |_ `  Y )  <_  Y )
11166, 110syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( |_ `  Y )  <_  Y
)
11240adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  Y  <_  U )
113 fllep1 11139 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  RR  ->  Y  <_  ( ( |_ `  Y )  +  1 ) )
11466, 113syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  Y  <_  ( ( |_ `  Y
)  +  1 ) )
115 flidm 11146 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  RR  ->  ( |_ `  ( |_ `  Y ) )  =  ( |_ `  Y
) )
11666, 115syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( |_ `  ( |_ `  Y
) )  =  ( |_ `  Y ) )
117116oveq1d 6037 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( ( |_ `  ( |_ `  Y ) )  +  1 )  =  ( ( |_ `  Y
)  +  1 ) )
118114, 117breqtrrd 4181 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  Y  <_  ( ( |_ `  ( |_ `  Y ) )  +  1 ) )
1191, 11, 97, 98, 99, 69, 100, 101, 102, 103, 28, 104, 105, 33, 93, 64, 109, 111, 112, 118dvfsumlem2 19780 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( ( H `  Y )  <_  ( H `  ( |_ `  Y ) )  /\  ( ( H `
 ( |_ `  Y ) )  -  [_ ( |_ `  Y
)  /  x ]_ B )  <_  (
( H `  Y
)  -  [_ Y  /  x ]_ B ) ) )
120119simpld 446 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( H `  Y )  <_  ( H `  ( |_ `  Y ) ) )
121 elioopnf 10932 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  RR*  ->  ( ( ( |_ `  X
)  +  1 )  e.  ( T (,)  +oo )  <->  ( ( ( |_ `  X )  +  1 )  e.  RR  /\  T  < 
( ( |_ `  X )  +  1 ) ) ) )
12273, 121syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  X )  +  1 )  e.  ( T (,)  +oo )  <->  ( ( ( |_ `  X )  +  1 )  e.  RR  /\  T  <  ( ( |_
`  X )  +  1 ) ) ) )
12310, 80, 122mpbir2and 889 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  X )  +  1 )  e.  ( T (,)  +oo ) )
124123, 1syl6eleqr 2480 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  X )  +  1 )  e.  S )
125124adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( ( |_ `  X )  +  1 )  e.  S
)
12663, 125ffvelrnd 5812 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( H `  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  e.  RR )
12766flcld 11136 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( |_ `  Y )  e.  ZZ )
128 eluz2 10428 . . . . . . 7  |-  ( ( |_ `  Y )  e.  ( ZZ>= `  (
( |_ `  X
)  +  1 ) )  <->  ( ( ( |_ `  X )  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( |_
`  Y )  e.  ZZ  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_ 
( |_ `  Y
) ) )
12984, 127, 87, 128syl3anbrc 1138 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( |_ `  Y )  e.  (
ZZ>= `  ( ( |_
`  X )  +  1 ) ) )
13063adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  H : S --> RR )
131 elfzelz 10993 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ( ( ( |_ `  X )  +  1 ) ... ( |_ `  Y
) )  ->  m  e.  ZZ )
132131adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
133132zred 10309 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  m  e.  RR )
13469adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  T  e.  RR )
13571adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  ( ( |_
`  X )  +  1 )  e.  RR )
13680ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  T  <  (
( |_ `  X
)  +  1 ) )
137 elfzle1 10994 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ( ( ( |_ `  X )  +  1 ) ... ( |_ `  Y
) )  ->  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  m )
138137adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  ( ( |_
`  X )  +  1 )  <_  m
)
139134, 135, 133, 136, 138ltletrd 9164 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  T  <  m
)
14073ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  T  e.  RR* )
141 elioopnf 10932 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  RR*  ->  ( m  e.  ( T (,)  +oo )  <->  ( m  e.  RR  /\  T  < 
m ) ) )
142140, 141syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  ( m  e.  ( T (,)  +oo ) 
<->  ( m  e.  RR  /\  T  <  m ) ) )
143133, 139, 142mpbir2and 889 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  m  e.  ( T (,)  +oo )
)
144143, 1syl6eleqr 2480 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  m  e.  S
)
145130, 144ffvelrnd 5812 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  ( H `  m )  e.  RR )
14697adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
14798adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  D  e.  RR )
14816ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
14969adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  T  e.  RR )
150100adantlr 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  (
( ( |_ `  X )  +  1 ) ... ( ( |_ `  Y )  -  1 ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
151101adantlr 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  (
( ( |_ `  X )  +  1 ) ... ( ( |_ `  Y )  -  1 ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
152102adantlr 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  (
( ( |_ `  X )  +  1 ) ... ( ( |_ `  Y )  -  1 ) ) )  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
153103adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
154104adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  U  e.  RR* )
1551053adant1r 1177 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  (
( ( |_ `  X )  +  1 ) ... ( ( |_ `  Y )  -  1 ) ) )  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  B )
156 elfzelz 10993 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ( ( ( |_ `  X )  +  1 ) ... ( ( |_ `  Y )  -  1 ) )  ->  m  e.  ZZ )
157156adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
158157zred 10309 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  m  e.  RR )
15971adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  ( ( |_
`  X )  +  1 )  e.  RR )
16080ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  T  <  (
( |_ `  X
)  +  1 ) )
161 elfzle1 10994 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ( ( ( |_ `  X )  +  1 ) ... ( ( |_ `  Y )  -  1 ) )  ->  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  m )
162161adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  ( ( |_
`  X )  +  1 )  <_  m
)
163149, 159, 158, 160, 162ltletrd 9164 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  T  <  m
)
164149rexrd 9069 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  T  e.  RR* )
165164, 141syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  ( m  e.  ( T (,)  +oo ) 
<->  ( m  e.  RR  /\  T  <  m ) ) )
166158, 163, 165mpbir2and 889 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  m  e.  ( T (,)  +oo )
)
167166, 1syl6eleqr 2480 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  m  e.  S
)
168 peano2re 9173 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  RR  ->  (
m  +  1 )  e.  RR )
169158, 168syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  ( m  + 
1 )  e.  RR )
170158lep1d 9876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  m  <_  (
m  +  1 ) )
171149, 158, 169, 163, 170ltletrd 9164 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  T  <  (
m  +  1 ) )
172 elioopnf 10932 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  RR*  ->  ( ( m  +  1 )  e.  ( T (,)  +oo )  <->  ( ( m  +  1 )  e.  RR  /\  T  < 
( m  +  1 ) ) ) )
173164, 172syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  ( ( m  +  1 )  e.  ( T (,)  +oo ) 
<->  ( ( m  + 
1 )  e.  RR  /\  T  <  ( m  +  1 ) ) ) )
174169, 171, 173mpbir2and 889 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  ( m  + 
1 )  e.  ( T (,)  +oo )
)
175174, 1syl6eleqr 2480 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  ( m  + 
1 )  e.  S
)
176108adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  D  <_  (
( |_ `  X
)  +  1 ) )
177147, 159, 158, 176, 162letrd 9161 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  D  <_  m
)
178169rexrd 9069 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  ( m  + 
1 )  e.  RR* )
17968rexrd 9069 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( |_ `  Y )  e.  RR* )
180179adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  ( |_ `  Y )  e.  RR* )
181 elfzle2 10995 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ( ( ( |_ `  X )  +  1 ) ... ( ( |_ `  Y )  -  1 ) )  ->  m  <_  ( ( |_ `  Y )  -  1 ) )
182181adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  m  <_  (
( |_ `  Y
)  -  1 ) )
183 1re 9025 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
184183a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  1  e.  RR )
18566adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  Y  e.  RR )
186185, 67syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  ( |_ `  Y )  e.  RR )
187 leaddsub 9438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( |_ `  Y )  e.  RR )  ->  (
( m  +  1 )  <_  ( |_ `  Y )  <->  m  <_  ( ( |_ `  Y
)  -  1 ) ) )
188158, 184, 186, 187syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  ( ( m  +  1 )  <_ 
( |_ `  Y
)  <->  m  <_  ( ( |_ `  Y )  -  1 ) ) )
189182, 188mpbird 224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  ( m  + 
1 )  <_  ( |_ `  Y ) )
19066rexrd 9069 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  Y  e.  RR* )
191179, 190, 104, 111, 112xrletrd 10686 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( |_ `  Y )  <_  U
)
192191adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  ( |_ `  Y )  <_  U
)
193178, 180, 154, 189, 192xrletrd 10686 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  ( m  + 
1 )  <_  U
)
194 flid 11145 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ZZ  ->  ( |_ `  m )  =  m )
195157, 194syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  ( |_ `  m )  =  m )
196195eqcomd 2394 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  m  =  ( |_ `  m ) )
197196oveq1d 6037 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  ( m  + 
1 )  =  ( ( |_ `  m
)  +  1 ) )
198 eqle 9111 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  RR  /\  ( m  +  1
)  =  ( ( |_ `  m )  +  1 ) )  ->  ( m  + 
1 )  <_  (
( |_ `  m
)  +  1 ) )
199169, 197, 198syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  ( m  + 
1 )  <_  (
( |_ `  m
)  +  1 ) )
2001, 11, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 28, 154, 155, 33, 167, 175, 177, 170, 193, 199dvfsumlem2 19780 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  ( ( H `
 ( m  + 
1 ) )  <_ 
( H `  m
)  /\  ( ( H `  m )  -  [_ m  /  x ]_ B )  <_  (
( H `  (
m  +  1 ) )  -  [_ (
m  +  1 )  /  x ]_ B
) ) )
201200simpld 446 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  ( H `  ( m  +  1
) )  <_  ( H `  m )
)
202129, 145, 201monoord2 11283 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( H `  ( |_ `  Y
) )  <_  ( H `  ( ( |_ `  X )  +  1 ) ) )
20371rexrd 9069 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( ( |_ `  X )  +  1 )  e.  RR* )
204203, 179, 104, 87, 191xrletrd 10686 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  U
)
20571leidd 9527 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  (
( |_ `  X
)  +  1 ) )
2061, 11, 97, 98, 99, 69, 100, 101, 102, 103, 28, 104, 105, 33, 95, 125, 106, 107, 204, 205dvfsumlem2 19780 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( ( H `  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  <_ 
( H `  X
)  /\  ( ( H `  X )  -  [_ X  /  x ]_ B )  <_  (
( H `  (
( |_ `  X
)  +  1 ) )  -  [_ (
( |_ `  X
)  +  1 )  /  x ]_ B
) ) )
207206simpld 446 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( H `  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  <_  ( H `  X )
)
20894, 126, 96, 202, 207letrd 9161 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( H `  ( |_ `  Y
) )  <_  ( H `  X )
)
20965, 94, 96, 120, 208letrd 9161 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( H `  Y )  <_  ( H `  X )
)
21049ralrimiva 2734 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  B  e.  RR )
211210adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  A. x  e.  S  B  e.  RR )
212 nfcsb1v 3228 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x [_ m  /  x ]_ B
213212nfel1 2535 . . . . . . . . 9  |-  F/ x [_ m  /  x ]_ B  e.  RR
214 csbeq1a 3204 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  m  ->  B  =  [_ m  /  x ]_ B )
215214eleq1d 2455 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  m  ->  ( B  e.  RR  <->  [_ m  /  x ]_ B  e.  RR ) )
216213, 215rspc 2991 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  S  ->  ( A. x  e.  S  B  e.  RR  ->  [_ m  /  x ]_ B  e.  RR )
)
217211, 216mpan9 456 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  S )  ->  [_ m  /  x ]_ B  e.  RR )
218217ralrimiva 2734 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  A. m  e.  S  [_ m  /  x ]_ B  e.  RR )
219 csbeq1 3199 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  X  ->  [_ m  /  x ]_ B  = 
[_ X  /  x ]_ B )
220219eleq1d 2455 . . . . . . 7  |-  ( m  =  X  ->  ( [_ m  /  x ]_ B  e.  RR  <->  [_ X  /  x ]_ B  e.  RR )
)
221220rspcv 2993 . . . . . 6  |-  ( X  e.  S  ->  ( A. m  e.  S  [_ m  /  x ]_ B  e.  RR  ->  [_ X  /  x ]_ B  e.  RR )
)
22295, 218, 221sylc 58 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  [_ X  /  x ]_ B  e.  RR )
22396, 222resubcld 9399 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( ( H `  X )  -  [_ X  /  x ]_ B )  e.  RR )
224 csbeq1 3199 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( |_ `  Y )  ->  [_ m  /  x ]_ B  = 
[_ ( |_ `  Y )  /  x ]_ B )
225224eleq1d 2455 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( |_ `  Y )  ->  ( [_ m  /  x ]_ B  e.  RR  <->  [_ ( |_ `  Y
)  /  x ]_ B  e.  RR )
)
226225rspcv 2993 . . . . . 6  |-  ( ( |_ `  Y )  e.  S  ->  ( A. m  e.  S  [_ m  /  x ]_ B  e.  RR  ->  [_ ( |_ `  Y
)  /  x ]_ B  e.  RR )
)
22793, 218, 226sylc 58 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  [_ ( |_
`  Y )  /  x ]_ B  e.  RR )
22894, 227resubcld 9399 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( ( H `  ( |_ `  Y ) )  -  [_ ( |_ `  Y
)  /  x ]_ B )  e.  RR )
229 csbeq1 3199 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  Y  ->  [_ m  /  x ]_ B  = 
[_ Y  /  x ]_ B )
230229eleq1d 2455 . . . . . . 7  |-  ( m  =  Y  ->  ( [_ m  /  x ]_ B  e.  RR  <->  [_ Y  /  x ]_ B  e.  RR )
)
231230rspcv 2993 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  S  ->  ( A. m  e.  S  [_ m  /  x ]_ B  e.  RR  ->  [_ Y  /  x ]_ B  e.  RR )
)
23264, 218, 231sylc 58 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  [_ Y  /  x ]_ B  e.  RR )
23365, 232resubcld 9399 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( ( H `  Y )  -  [_ Y  /  x ]_ B )  e.  RR )
234 csbeq1 3199 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( ( |_
`  X )  +  1 )  ->  [_ m  /  x ]_ B  = 
[_ ( ( |_
`  X )  +  1 )  /  x ]_ B )
235234eleq1d 2455 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( ( |_
`  X )  +  1 )  ->  ( [_ m  /  x ]_ B  e.  RR  <->  [_ ( ( |_ `  X )  +  1 )  /  x ]_ B  e.  RR )
)
236235rspcv 2993 . . . . . . 7  |-  ( ( ( |_ `  X
)  +  1 )  e.  S  ->  ( A. m  e.  S  [_ m  /  x ]_ B  e.  RR  ->  [_ ( ( |_ `  X )  +  1 )  /  x ]_ B  e.  RR )
)
237125, 218, 236sylc 58 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  [_ ( ( |_ `  X )  +  1 )  /  x ]_ B  e.  RR )
238126, 237resubcld 9399 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( ( H `  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  -  [_ ( ( |_ `  X )  +  1 )  /  x ]_ B )  e.  RR )
239206simprd 450 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( ( H `  X )  -  [_ X  /  x ]_ B )  <_  (
( H `  (
( |_ `  X
)  +  1 ) )  -  [_ (
( |_ `  X
)  +  1 )  /  x ]_ B
) )
240 vex 2904 . . . . . . . . 9  |-  m  e. 
_V
241 fveq2 5670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  m  ->  ( H `  y )  =  ( H `  m ) )
242 csbeq1 3199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  m  ->  [_ y  /  x ]_ B  = 
[_ m  /  x ]_ B )
243241, 242oveq12d 6040 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  m  ->  (
( H `  y
)  -  [_ y  /  x ]_ B )  =  ( ( H `
 m )  -  [_ m  /  x ]_ B ) )
244 eqid 2389 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  _V  |->  ( ( H `  y )  -  [_ y  /  x ]_ B ) )  =  ( y  e. 
_V  |->  ( ( H `
 y )  -  [_ y  /  x ]_ B ) )
245 ovex 6047 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H `  y )  -  [_ y  /  x ]_ B )  e. 
_V
246243, 244, 245fvmpt3i 5750 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  _V  ->  (
( y  e.  _V  |->  ( ( H `  y )  -  [_ y  /  x ]_ B
) ) `  m
)  =  ( ( H `  m )  -  [_ m  /  x ]_ B ) )
247240, 246ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  _V  |->  ( ( H `  y
)  -  [_ y  /  x ]_ B ) ) `  m )  =  ( ( H `
 m )  -  [_ m  /  x ]_ B )
248144, 217syldan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  [_ m  /  x ]_ B  e.  RR )
249145, 248resubcld 9399 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  ( ( H `
 m )  -  [_ m  /  x ]_ B )  e.  RR )
250247, 249syl5eqel 2473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  ( ( y  e.  _V  |->  ( ( H `  y )  -  [_ y  /  x ]_ B ) ) `
 m )  e.  RR )
251200simprd 450 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  ( ( H `
 m )  -  [_ m  /  x ]_ B )  <_  (
( H `  (
m  +  1 ) )  -  [_ (
m  +  1 )  /  x ]_ B
) )
252 ovex 6047 . . . . . . . . 9  |-  ( m  +  1 )  e. 
_V
253 fveq2 5670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( m  + 
1 )  ->  ( H `  y )  =  ( H `  ( m  +  1
) ) )
254 csbeq1 3199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( m  + 
1 )  ->  [_ y  /  x ]_ B  = 
[_ ( m  + 
1 )  /  x ]_ B )
255253, 254oveq12d 6040 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( H `  y
)  -  [_ y  /  x ]_ B )  =  ( ( H `
 ( m  + 
1 ) )  -  [_ ( m  +  1 )  /  x ]_ B ) )
256255, 244, 245fvmpt3i 5750 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  +  1 )  e.  _V  ->  (
( y  e.  _V  |->  ( ( H `  y )  -  [_ y  /  x ]_ B
) ) `  (
m  +  1 ) )  =  ( ( H `  ( m  +  1 ) )  -  [_ ( m  +  1 )  /  x ]_ B ) )
257252, 256ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  _V  |->  ( ( H `  y
)  -  [_ y  /  x ]_ B ) ) `  ( m  +  1 ) )  =  ( ( H `
 ( m  + 
1 ) )  -  [_ ( m  +  1 )  /  x ]_ B )
258251, 247, 2573brtr4g 4187 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  ( ( y  e.  _V  |->  ( ( H `  y )  -  [_ y  /  x ]_ B ) ) `
 m )  <_ 
( ( y  e. 
_V  |->  ( ( H `
 y )  -  [_ y  /  x ]_ B ) ) `  ( m  +  1
) ) )
259129, 250, 258monoord 11282 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( (
y  e.  _V  |->  ( ( H `  y
)  -  [_ y  /  x ]_ B ) ) `  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  <_  ( ( y  e.  _V  |->  ( ( H `  y )  -  [_ y  /  x ]_ B ) ) `
 ( |_ `  Y ) ) )
260 ovex 6047 . . . . . . 7  |-  ( ( |_ `  X )  +  1 )  e. 
_V
261 fveq2 5670 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( ( |_
`  X )  +  1 )  ->  ( H `  y )  =  ( H `  ( ( |_ `  X )  +  1 ) ) )
262 csbeq1 3199 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( ( |_
`  X )  +  1 )  ->  [_ y  /  x ]_ B  = 
[_ ( ( |_
`  X )  +  1 )  /  x ]_ B )
263261, 262oveq12d 6040 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( ( |_
`  X )  +  1 )  ->  (
( H `  y
)  -  [_ y  /  x ]_ B )  =  ( ( H `
 ( ( |_
`  X )  +  1 ) )  -  [_ ( ( |_ `  X )  +  1 )  /  x ]_ B ) )
264263, 244, 245fvmpt3i 5750 . . . . . . 7  |-  ( ( ( |_ `  X
)  +  1 )  e.  _V  ->  (
( y  e.  _V  |->  ( ( H `  y )  -  [_ y  /  x ]_ B
) ) `  (
( |_ `  X
)  +  1 ) )  =  ( ( H `  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  -  [_ ( ( |_ `  X )  +  1 )  /  x ]_ B ) )
265260, 264ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  _V  |->  ( ( H `  y
)  -  [_ y  /  x ]_ B ) ) `  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  =  ( ( H `
 ( ( |_
`  X )  +  1 ) )  -  [_ ( ( |_ `  X )  +  1 )  /  x ]_ B )
266 fvex 5684 . . . . . . 7  |-  ( |_
`  Y )  e. 
_V
267 fveq2 5670 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( |_ `  Y )  ->  ( H `  y )  =  ( H `  ( |_ `  Y ) ) )
268 csbeq1 3199 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( |_ `  Y )  ->  [_ y  /  x ]_ B  = 
[_ ( |_ `  Y )  /  x ]_ B )
269267, 268oveq12d 6040 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( |_ `  Y )  ->  (
( H `  y
)  -  [_ y  /  x ]_ B )  =  ( ( H `
 ( |_ `  Y ) )  -  [_ ( |_ `  Y
)  /  x ]_ B ) )
270269, 244, 245fvmpt3i 5750 . . . . . . 7  |-  ( ( |_ `  Y )  e.  _V  ->  (
( y  e.  _V  |->  ( ( H `  y )  -  [_ y  /  x ]_ B
) ) `  ( |_ `  Y ) )  =  ( ( H `
 ( |_ `  Y ) )  -  [_ ( |_ `  Y
)  /  x ]_ B ) )
271266, 270ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  _V  |->  ( ( H `  y
)  -  [_ y  /  x ]_ B ) ) `  ( |_
`  Y ) )  =  ( ( H `
 ( |_ `  Y ) )  -  [_ ( |_ `  Y
)  /  x ]_ B )
272259, 265, 2713brtr3g 4186 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( ( H `  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  -  [_ ( ( |_ `  X )  +  1 )  /  x ]_ B )  <_  (
( H `  ( |_ `  Y ) )  -  [_ ( |_
`  Y )  /  x ]_ B ) )
273223, 238, 228, 239, 272letrd 9161 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( ( H `  X )  -  [_ X  /  x ]_ B )  <_  (
( H `  ( |_ `  Y ) )  -  [_ ( |_
`  Y )  /  x ]_ B ) )
274119simprd 450 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( ( H `  ( |_ `  Y ) )  -  [_ ( |_ `  Y
)  /  x ]_ B )  <_  (
( H `  Y
)  -  [_ Y  /  x ]_ B ) )
275223, 228, 233, 273, 274letrd 9161 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( ( H `  X )  -  [_ X  /  x ]_ B )  <_  (
( H `  Y
)  -  [_ Y  /  x ]_ B ) )
276209, 275jca 519 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( ( H `  Y )  <_  ( H `  X
)  /\  ( ( H `  X )  -  [_ X  /  x ]_ B )  <_  (
( H `  Y
)  -  [_ Y  /  x ]_ B ) ) )
2775, 10, 43, 276lecasei 9114 1  |-  ( ph  ->  ( ( H `  Y )  <_  ( H `  X )  /\  ( ( H `  X )  -  [_ X  /  x ]_ B
)  <_  ( ( H `  Y )  -  [_ Y  /  x ]_ B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2651   _Vcvv 2901   [_csb 3196    C_ wss 3265   class class class wbr 4155    e. cmpt 4209   -->wf 5392   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   RRcr 8924   1c1 8926    + caddc 8928    x. cmul 8930    +oocpnf 9052   RR*cxr 9054    < clt 9055    <_ cle 9056    - cmin 9225   ZZcz 10216   ZZ>=cuz 10422   (,)cioo 10850   ...cfz 10977   |_cfl 11130   sum_csu 12408    _D cdv 19619
This theorem is referenced by:  dvfsumlem4  19782  dvfsum2  19787
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-inf2 7531  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002  ax-pre-sup 9003  ax-addf 9004  ax-mulf 9005
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-iin 4040  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-se 4485  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-isom 5405  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-of 6246  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-2o 6663  df-oadd 6666  df-er 6843  df-map 6958  df-pm 6959  df-ixp 7002  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-fi 7353  df-sup 7383  df-oi 7414  df-card 7761  df-cda 7983  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-4 9994  df-5 9995  df-6 9996  df-7 9997  df-8 9998  df-9 9999  df-10 10000  df-n0 10156  df-z 10217  df-dec 10317  df-uz 10423  df-q 10509  df-rp 10547  df-xneg 10644  df-xadd 10645  df-xmul 10646  df-ioo 10854  df-ico 10856  df-icc 10857  df-fz 10978  df-fzo 11068  df-fl 11131  df-seq 11253  df-exp 11312  df-hash 11548  df-cj 11833  df-re 11834  df-im 11835  df-sqr 11969  df-abs 11970  df-clim 12211  df-sum 12409  df-struct 13400  df-ndx 13401  df-slot 13402  df-base 13403  df-sets 13404  df-ress 13405  df-plusg 13471  df-mulr 13472  df-starv 13473  df-sca 13474  df-vsca 13475  df-tset 13477  df-ple 13478  df-ds 13480  df-unif 13481  df-hom 13482  df-cco 13483  df-rest 13579  df-topn 13580  df-topgen 13596  df-pt 13597  df-prds 13600  df-xrs 13655  df-0g 13656  df-gsum 13657  df-qtop 13662  df-imas 13663  df-xps 13665  df-mre 13740  df-mrc 13741  df-acs 13743  df-mnd 14619  df-submnd 14668  df-mulg 14744  df-cntz 15045  df-cmn 15343  df-xmet 16621  df-met 16622  df-bl 16623  df-mopn 16624  df-fbas 16625  df-fg 16626  df-cnfld 16629  df-top 16888  df-bases 16890  df-topon 16891  df-topsp 16892  df-cld 17008  df-ntr 17009  df-cls 17010  df-nei 17087  df-lp 17125  df-perf 17126  df-cn 17215  df-cnp 17216  df-haus 17303  df-cmp 17374  df-tx 17517  df-hmeo 17710  df-fil 17801  df-fm 17893  df-flim 17894  df-flf 17895  df-xms 18261  df-ms 18262  df-tms 18263  df-cncf 18781  df-limc 19622  df-dv 19623
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