Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvh2dim Unicode version

Theorem dvh2dim 32082
Description: There is a vector that is outside the span of another. (Contributed by NM, 25-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvh3dim.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dvh3dim.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dvh3dim.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
dvh3dim.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
dvh3dim.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
dvh3dim.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
Assertion
Ref Expression
dvh2dim  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )
Distinct variable groups:    z, N    z, U    z, V    z, X    ph, z
Allowed substitution hints:    H( z)    K( z)    W( z)

Proof of Theorem dvh2dim
StepHypRef Expression
1 dvh3dim.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 dvh3dim.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 dvh3dim.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
4 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( 0g
`  U )  =  ( 0g `  U
)
5 dvh3dim.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
61, 2, 3, 4, 5dvh1dim 32079 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  z  =/=  ( 0g `  U ) )
76adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  E. z  e.  V  z  =/=  ( 0g `  U ) )
8 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  X  =  ( 0g `  U ) )
98sneqd 3819 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  { X }  =  { ( 0g `  U ) } )
109fveq2d 5723 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { ( 0g `  U ) } ) )
111, 2, 5dvhlmod 31747 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
12 dvh3dim.n . . . . . . . . . . 11  |-  N  =  ( LSpan `  U )
134, 12lspsn0 16072 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  e.  LMod  ->  ( N `
 { ( 0g
`  U ) } )  =  { ( 0g `  U ) } )
1411, 13syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( 0g `  U
) } )  =  { ( 0g `  U ) } )
1514adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( N `  { ( 0g `  U ) } )  =  { ( 0g
`  U ) } )
1610, 15eqtrd 2467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( N `  { X } )  =  { ( 0g
`  U ) } )
1716eleq2d 2502 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( z  e.  ( N `  { X } )  <->  z  e.  { ( 0g `  U
) } ) )
18 elsn 3821 . . . . . 6  |-  ( z  e.  { ( 0g
`  U ) }  <-> 
z  =  ( 0g
`  U ) )
1917, 18syl6bb 253 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( z  e.  ( N `  { X } )  <->  z  =  ( 0g `  U ) ) )
2019necon3bbid 2632 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { X } )  <-> 
z  =/=  ( 0g
`  U ) ) )
2120rexbidv 2718 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X } )  <->  E. z  e.  V  z  =/=  ( 0g `  U ) ) )
227, 21mpbird 224 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )
235adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  ( 0g `  U ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
24 dvh3dim.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
2524adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  ( 0g `  U ) )  ->  X  e.  V )
26 simpr 448 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  ( 0g `  U ) )  ->  X  =/=  ( 0g `  U ) )
271, 2, 3, 12, 23, 25, 25, 4, 26, 26dvhdimlem 32081 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  ( 0g `  U ) )  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  X }
) )
28 dfsn2 3820 . . . . . . 7  |-  { X }  =  { X ,  X }
2928fveq2i 5722 . . . . . 6  |-  ( N `
 { X }
)  =  ( N `
 { X ,  X } )
3029eleq2i 2499 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( N `  { X } )  <->  z  e.  ( N `  { X ,  X } ) )
3130notbii 288 . . . 4  |-  ( -.  z  e.  ( N `
 { X }
)  <->  -.  z  e.  ( N `  { X ,  X } ) )
3231rexbii 2722 . . 3  |-  ( E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X } )  <->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  X } ) )
3327, 32sylibr 204 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  ( 0g `  U ) )  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )
3422, 33pm2.61dane 2676 1  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   E.wrex 2698   {csn 3806   {cpr 3807   ` cfv 5445   Basecbs 13457   0gc0g 13711   LModclmod 15938   LSpanclspn 16035   HLchlt 29987   LHypclh 30620   DVecHcdvh 31715
This theorem is referenced by:  dvh3dim  32083  dochsnnz  32087  hdmapevec  32475  hdmaprnlem15N  32501
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-fal 1329  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-tpos 6470  df-undef 6534  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-oadd 6719  df-er 6896  df-map 7011  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-fin 7104  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-4 10049  df-5 10050  df-6 10051  df-n0 10211  df-z 10272  df-uz 10478  df-fz 11033  df-struct 13459  df-ndx 13460  df-slot 13461  df-base 13462  df-sets 13463  df-ress 13464  df-plusg 13530  df-mulr 13531  df-sca 13533  df-vsca 13534  df-0g 13715  df-poset 14391  df-plt 14403  df-lub 14419  df-glb 14420  df-join 14421  df-meet 14422  df-p0 14456  df-p1 14457  df-lat 14463  df-clat 14525  df-mnd 14678  df-submnd 14727  df-grp 14800  df-minusg 14801  df-sbg 14802  df-subg 14929  df-cntz 15104  df-lsm 15258  df-cmn 15402  df-abl 15403  df-mgp 15637  df-rng 15651  df-ur 15653  df-oppr 15716  df-dvdsr 15734  df-unit 15735  df-invr 15765  df-dvr 15776  df-drng 15825  df-lmod 15940  df-lss 15997  df-lsp 16036  df-lvec 16163  df-lsatoms 29613  df-oposet 29813  df-ol 29815  df-oml 29816  df-covers 29903  df-ats 29904  df-atl 29935  df-cvlat 29959  df-hlat 29988  df-llines 30134  df-lplanes 30135  df-lvols 30136  df-lines 30137  df-psubsp 30139  df-pmap 30140  df-padd 30432  df-lhyp 30624  df-laut 30625  df-ldil 30740  df-ltrn 30741  df-trl 30795  df-tgrp 31379  df-tendo 31391  df-edring 31393  df-dveca 31639  df-disoa 31666  df-dvech 31716  df-dib 31776  df-dic 31810  df-dih 31866  df-doch 31985  df-djh 32032
  Copyright terms: Public domain W3C validator