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Theorem dvh3dim3N 32321
Description: There is a vector that is outside of 2 spans. TODO: decide to use either this or dvh3dim2 32320 everywhere. If this one is needed, make dvh3dim2 32320 into a lemma. (Contributed by NM, 21-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dvh3dim.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dvh3dim.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dvh3dim.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
dvh3dim.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
dvh3dim.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
dvh3dim.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
dvh3dim.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
dvh3dim2.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
dvh3dim3.t  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
Assertion
Ref Expression
dvh3dim3N  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) )
Distinct variable groups:    z, N    z, U    z, V    z, X    z, Y    z, Z    ph, z    z, T
Allowed substitution hints:    H( z)    K( z)    W( z)

Proof of Theorem dvh3dim3N
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
2 dvh3dim.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  U )
3 dvh3dim.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
4 dvh3dim.u . . . . . . 7  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
5 dvh3dim.k . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
63, 4, 5dvhlmod 31982 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
76adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  U  e.  LMod )
8 dvh3dim.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  U
)
9 dvh3dim2.z . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
10 dvh3dim3.t . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
118, 1, 2, 6, 9, 10lspprcl 16059 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z ,  T }
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
1211adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  ( N `  { Z ,  T }
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
13 simpr 449 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )
148, 2, 6, 9, 10lspprid2 16079 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  ( N `
 { Z ,  T } ) )
1514adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  T  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )
161, 2, 7, 12, 13, 15lspprss 16073 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  ( N `  { Y ,  T }
)  C_  ( N `  { Z ,  T } ) )
17 sspss 3448 . . . 4  |-  ( ( N `  { Y ,  T } )  C_  ( N `  { Z ,  T } )  <->  ( ( N `  { Y ,  T } )  C.  ( N `  { Z ,  T } )  \/  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { Z ,  T } ) ) )
1816, 17sylib 190 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  ( ( N `
 { Y ,  T } )  C.  ( N `  { Z ,  T } )  \/  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { Z ,  T } ) ) )
193, 4, 5dvhlvec 31981 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
2019adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { Y ,  T } )  C.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  U  e.  LVec )
21 dvh3dim.y . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
228, 1, 2, 6, 21, 10lspprcl 16059 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y ,  T }
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
2322adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { Y ,  T } )  C.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  ( N `  { Y ,  T }
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
249adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { Y ,  T } )  C.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  Z  e.  V
)
2510adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { Y ,  T } )  C.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  T  e.  V
)
26 simpr 449 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { Y ,  T } )  C.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  ( N `  { Y ,  T }
)  C.  ( N `  { Z ,  T } ) )
278, 1, 2, 20, 23, 24, 25, 26lspprat 16230 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { Y ,  T } )  C.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  E. w  e.  V  ( N `  { Y ,  T } )  =  ( N `  {
w } ) )
2853ad2ant1 979 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
29 simp2 959 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  w  e.  V )
30 dvh3dim.x . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
31303ad2ant1 979 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  X  e.  V )
3293ad2ant1 979 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  Z  e.  V )
333, 4, 8, 2, 28, 29, 31, 32dvh3dim2 32320 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { w ,  X } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { w ,  Z } ) ) )
3463ad2ant1 979 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  U  e.  LMod )
351lsssssubg 16039 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U  e.  LMod  ->  ( LSubSp `  U )  C_  (SubGrp `  U ) )
3634, 35syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  ( LSubSp `
 U )  C_  (SubGrp `  U ) )
378, 1, 2lspsncl 16058 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
386, 30, 37syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
39383ad2ant1 979 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
4036, 39sseldd 3351 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  ( N `  { X } )  e.  (SubGrp `  U ) )
418, 1, 2lspsncl 16058 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  w  e.  V )  ->  ( N `  { w } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
4234, 29, 41syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  ( N `  { w } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
4336, 42sseldd 3351 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  ( N `  { w } )  e.  (SubGrp `  U ) )
44 prssi 3956 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Y  e.  V  /\  T  e.  V )  ->  { Y ,  T }  C_  V )
4521, 10, 44syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  { Y ,  T }  C_  V )
46 snsspr1 3949 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { Y }  C_  { Y ,  T }
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  { Y }  C_  { Y ,  T }
)
488, 2lspss 16065 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  { Y ,  T }  C_  V  /\  { Y }  C_  { Y ,  T } )  ->  ( N `  { Y } )  C_  ( N `  { Y ,  T } ) )
496, 45, 47, 48syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  C_  ( N `  { Y ,  T } ) )
50493ad2ant1 979 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  ( N `  { Y } )  C_  ( N `  { Y ,  T } ) )
51 simp3 960 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  ( N `  { Y ,  T } )  =  ( N `  {
w } ) )
5250, 51sseqtrd 3386 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  ( N `  { Y } )  C_  ( N `  { w } ) )
53 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( LSSum `  U )  =  (
LSSum `  U )
5453lsmless2 15299 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N `  { X } )  e.  (SubGrp `  U )  /\  ( N `  { w } )  e.  (SubGrp `  U )  /\  ( N `  { Y } )  C_  ( N `  { w } ) )  -> 
( ( N `  { X } ) (
LSSum `  U ) ( N `  { Y } ) )  C_  ( ( N `  { X } ) (
LSSum `  U ) ( N `  { w } ) ) )
5540, 43, 52, 54syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  (
( N `  { X } ) ( LSSum `  U ) ( N `
 { Y }
) )  C_  (
( N `  { X } ) ( LSSum `  U ) ( N `
 { w }
) ) )
568, 2, 53, 6, 30, 21lsmpr 16166 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  =  ( ( N `  { X } ) ( LSSum `  U ) ( N `
 { Y }
) ) )
57563ad2ant1 979 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  ( N `  { X ,  Y } )  =  ( ( N `  { X } ) (
LSSum `  U ) ( N `  { Y } ) ) )
58 prcom 3884 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { w ,  X }  =  { X ,  w }
5958fveq2i 5734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N `
 { w ,  X } )  =  ( N `  { X ,  w }
)
608, 2, 53, 34, 31, 29lsmpr 16166 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  ( N `  { X ,  w } )  =  ( ( N `  { X } ) (
LSSum `  U ) ( N `  { w } ) ) )
6159, 60syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  ( N `  { w ,  X } )  =  ( ( N `  { X } ) (
LSSum `  U ) ( N `  { w } ) ) )
6255, 57, 613sstr4d 3393 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  ( N `  { X ,  Y } )  C_  ( N `  { w ,  X } ) )
6362ssneld 3352 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { w ,  X } )  ->  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } ) ) )
648, 1, 2lspsncl 16058 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  Z  e.  V )  ->  ( N `  { Z } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
656, 9, 64syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
66653ad2ant1 979 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  ( N `  { Z } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
6736, 66sseldd 3351 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  ( N `  { Z } )  e.  (SubGrp `  U ) )
68 snsspr2 3950 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { T }  C_  { Y ,  T }
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  { T }  C_  { Y ,  T }
)
708, 2lspss 16065 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  { Y ,  T }  C_  V  /\  { T }  C_  { Y ,  T } )  ->  ( N `  { T } )  C_  ( N `  { Y ,  T } ) )
716, 45, 69, 70syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( N `  { T } )  C_  ( N `  { Y ,  T } ) )
72713ad2ant1 979 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  ( N `  { T } )  C_  ( N `  { Y ,  T } ) )
7372, 51sseqtrd 3386 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  ( N `  { T } )  C_  ( N `  { w } ) )
7453lsmless2 15299 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N `  { Z } )  e.  (SubGrp `  U )  /\  ( N `  { w } )  e.  (SubGrp `  U )  /\  ( N `  { T } )  C_  ( N `  { w } ) )  -> 
( ( N `  { Z } ) (
LSSum `  U ) ( N `  { T } ) )  C_  ( ( N `  { Z } ) (
LSSum `  U ) ( N `  { w } ) ) )
7567, 43, 73, 74syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  (
( N `  { Z } ) ( LSSum `  U ) ( N `
 { T }
) )  C_  (
( N `  { Z } ) ( LSSum `  U ) ( N `
 { w }
) ) )
768, 2, 53, 6, 9, 10lsmpr 16166 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z ,  T }
)  =  ( ( N `  { Z } ) ( LSSum `  U ) ( N `
 { T }
) ) )
77763ad2ant1 979 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  ( N `  { Z ,  T } )  =  ( ( N `  { Z } ) (
LSSum `  U ) ( N `  { T } ) ) )
78 prcom 3884 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { w ,  Z }  =  { Z ,  w }
7978fveq2i 5734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N `
 { w ,  Z } )  =  ( N `  { Z ,  w }
)
808, 2, 53, 34, 32, 29lsmpr 16166 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  ( N `  { Z ,  w } )  =  ( ( N `  { Z } ) (
LSSum `  U ) ( N `  { w } ) ) )
8179, 80syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  ( N `  { w ,  Z } )  =  ( ( N `  { Z } ) (
LSSum `  U ) ( N `  { w } ) ) )
8275, 77, 813sstr4d 3393 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  ( N `  { Z ,  T } )  C_  ( N `  { w ,  Z } ) )
8382ssneld 3352 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { w ,  Z } )  ->  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) )
8463, 83anim12d 548 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  (
( -.  z  e.  ( N `  {
w ,  X }
)  /\  -.  z  e.  ( N `  {
w ,  Z }
) )  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) ) )
8584reximdv 2819 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  ( E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { w ,  X } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { w ,  Z } ) )  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) ) )
8633, 85mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) )
8786rexlimdv3a 2834 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. w  e.  V  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
)  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) ) )
8887adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { Y ,  T } )  C.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  ( E. w  e.  V  ( N `  { Y ,  T } )  =  ( N `  { w } )  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) ) )
8927, 88mpd 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { Y ,  T } )  C.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) )
903, 4, 8, 2, 5, 21, 30, 10dvh3dim2 32320 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { Y ,  X } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Y ,  T } ) ) )
9190adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { Y ,  T } )  =  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { Y ,  X } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Y ,  T } ) ) )
92 simpr 449 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { Y ,  T } )  =  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { Z ,  T } ) )
93 prcom 3884 . . . . . . . . . . . 12  |-  { Y ,  X }  =  { X ,  Y }
9493fveq2i 5734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N `
 { Y ,  X } )  =  ( N `  { X ,  Y } )
9594eleq2i 2502 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( N `  { Y ,  X }
)  <->  z  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
9695notbii 289 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  z  e.  ( N `
 { Y ,  X } )  <->  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )
9796a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( N `  { Y ,  T } )  =  ( N `  { Z ,  T }
)  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { Y ,  X } )  <->  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y }
) ) )
98 eleq2 2499 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N `  { Y ,  T } )  =  ( N `  { Z ,  T }
)  ->  ( z  e.  ( N `  { Y ,  T }
)  <->  z  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) )
9998notbid 287 . . . . . . . 8  |-  ( ( N `  { Y ,  T } )  =  ( N `  { Z ,  T }
)  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { Y ,  T } )  <->  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T }
) ) )
10097, 99anbi12d 693 . . . . . . 7  |-  ( ( N `  { Y ,  T } )  =  ( N `  { Z ,  T }
)  ->  ( ( -.  z  e.  ( N `  { Y ,  X } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )  <-> 
( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T }
) ) ) )
10192, 100syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { Y ,  T } )  =  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  ( ( -.  z  e.  ( N `
 { Y ,  X } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )  <->  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) ) )
102101rexbidv 2728 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { Y ,  T } )  =  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  ( E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { Y ,  X } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )  <->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) ) )
10391, 102mpbid 203 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { Y ,  T } )  =  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) )
10489, 103jaodan 762 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ( N `  { Y ,  T } )  C.  ( N `  { Z ,  T } )  \/  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { Z ,  T } ) ) )  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) )
10518, 104syldan 458 . 2  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) )
1063, 4, 8, 2, 5, 21, 30, 10dvh3dim2 32320 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. w  e.  V  ( -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  T } ) ) )
107106adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T }
) )  ->  E. w  e.  V  ( -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  T } ) ) )
108 simpl1l 1009 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  T }
) ) )  /\  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  ph )
109108, 6syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  T }
) ) )  /\  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  U  e.  LMod )
110 simpl2 962 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  T }
) ) )  /\  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  w  e.  V )
111108, 21syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  T }
) ) )  /\  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  Y  e.  V )
112 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  U )  =  ( +g  `  U )
1138, 112lmodvacl 15969 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  w  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
w ( +g  `  U
) Y )  e.  V )
114109, 110, 111, 113syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  T }
) ) )  /\  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  -> 
( w ( +g  `  U ) Y )  e.  V )
1158, 1, 2, 6, 30, 21lspprcl 16059 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
116108, 115syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  T }
) ) )  /\  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  -> 
( N `  { X ,  Y }
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
1178, 2, 6, 30, 21lspprid2 16079 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( N `
 { X ,  Y } ) )
118108, 117syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  T }
) ) )  /\  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  Y  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
119 simpl3l 1013 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  T }
) ) )  /\  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X } ) )
12094eleq2i 2502 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  ( N `  { Y ,  X }
)  <->  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
121119, 120sylnib 297 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  T }
) ) )  /\  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
1228, 112, 1, 109, 116, 118, 110, 121lssvancl2 16027 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  T }
) ) )  /\  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  -.  ( w ( +g  `  U ) Y )  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )
123108, 11syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  T }
) ) )  /\  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  -> 
( N `  { Z ,  T }
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
124 simpr 449 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  T }
) ) )  /\  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )
125 simpl1r 1010 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  T }
) ) )  /\  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )
1268, 112, 1, 109, 123, 124, 111, 125lssvancl1 16026 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  T }
) ) )  /\  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  -.  ( w ( +g  `  U ) Y )  e.  ( N `  { Z ,  T }
) )
127 eleq1 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( w ( +g  `  U ) Y )  ->  (
z  e.  ( N `
 { X ,  Y } )  <->  ( w
( +g  `  U ) Y )  e.  ( N `  { X ,  Y } ) ) )
128127notbid 287 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( w ( +g  `  U ) Y )  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  <->  -.  (
w ( +g  `  U
) Y )  e.  ( N `  { X ,  Y }
) ) )
129 eleq1 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( w ( +g  `  U ) Y )  ->  (
z  e.  ( N `
 { Z ,  T } )  <->  ( w
( +g  `  U ) Y )  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) )
130129notbid 287 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( w ( +g  `  U ) Y )  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T } )  <->  -.  (
w ( +g  `  U
) Y )  e.  ( N `  { Z ,  T }
) ) )
131128, 130anbi12d 693 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( w ( +g  `  U ) Y )  ->  (
( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T }
) )  <->  ( -.  ( w ( +g  `  U ) Y )  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  (
w ( +g  `  U
) Y )  e.  ( N `  { Z ,  T }
) ) ) )
132131rspcev 3054 . . . . . 6  |-  ( ( ( w ( +g  `  U ) Y )  e.  V  /\  ( -.  ( w ( +g  `  U ) Y )  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  (
w ( +g  `  U
) Y )  e.  ( N `  { Z ,  T }
) ) )  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) )
133114, 122, 126, 132syl12anc 1183 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  T }
) ) )  /\  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) )
134 simpl2 962 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  T }
) ) )  /\  -.  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  w  e.  V
)
135 simpl3l 1013 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  T }
) ) )  /\  -.  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X } ) )
136135, 120sylnib 297 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  T }
) ) )  /\  -.  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
137 simpr 449 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  T }
) ) )  /\  -.  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  -.  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )
138 eleq1 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  w  ->  (
z  e.  ( N `
 { X ,  Y } )  <->  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) ) )
139138notbid 287 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  w  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  <->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) ) )
140 eleq1 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  w  ->  (
z  e.  ( N `
 { Z ,  T } )  <->  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) )
141140notbid 287 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  w  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T } )  <->  -.  w  e.  ( N `  { Z ,  T }
) ) )
142139, 141anbi12d 693 . . . . . . 7  |-  ( z  =  w  ->  (
( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T }
) )  <->  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) ) )
143142rspcev 3054 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) )  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) )
144134, 136, 137, 143syl12anc 1183 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  T }
) ) )  /\  -.  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) )
145133, 144pm2.61dan 768 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  T } ) ) )  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) )
146145rexlimdv3a 2834 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T }
) )  ->  ( E. w  e.  V  ( -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) ) )
147107, 146mpd 15 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T }
) )  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) )
148105, 147pm2.61dan 768 1  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   E.wrex 2708    C_ wss 3322    C. wpss 3323   {csn 3816   {cpr 3817   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   Basecbs 13474   +g cplusg 13534  SubGrpcsubg 14943   LSSumclsm 15273   LModclmod 15955   LSubSpclss 16013   LSpanclspn 16052   LVecclvec 16179   HLchlt 30222   LHypclh 30855   DVecHcdvh 31950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-fal 1330  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-tpos 6482  df-undef 6546  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-0g 13732  df-poset 14408  df-plt 14420  df-lub 14436  df-glb 14437  df-join 14438  df-meet 14439  df-p0 14473  df-p1 14474  df-lat 14480  df-clat 14542  df-mnd 14695  df-submnd 14744  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-sbg 14819  df-subg 14946  df-cntz 15121  df-lsm 15275  df-cmn 15419  df-abl 15420  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-ur 15670  df-oppr 15733  df-dvdsr 15751  df-unit 15752  df-invr 15782  df-dvr 15793  df-drng 15842  df-lmod 15957  df-lss 16014  df-lsp 16053  df-lvec 16180  df-lsatoms 29848  df-oposet 30048  df-ol 30050  df-oml 30051  df-covers 30138  df-ats 30139  df-atl 30170  df-cvlat 30194  df-hlat 30223  df-llines 30369  df-lplanes 30370  df-lvols 30371  df-lines 30372  df-psubsp 30374  df-pmap 30375  df-padd 30667  df-lhyp 30859  df-laut 30860  df-ldil 30975  df-ltrn 30976  df-trl 31030  df-tgrp 31614  df-tendo 31626  df-edring 31628  df-dveca 31874  df-disoa 31901  df-dvech 31951  df-dib 32011  df-dic 32045  df-dih 32101  df-doch 32220  df-djh 32267
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