Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvheveccl Unicode version

Theorem dvheveccl 30103
Description: Properties of a unit vector that we will use later as a convenient reference vector. This vector is called "e" in the remark after Lemma M of [Crawley] p. 121. line 17. See also dvhopN 30107 and dihpN 30327. (Contributed by NM, 27-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvheveccl.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dvheveccl.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
dvheveccl.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
dvheveccl.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dvheveccl.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
dvheveccl.z  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
dvheveccl.e  |-  E  = 
<. (  _I  |`  B ) ,  (  _I  |`  T )
>.
dvheveccl.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
Assertion
Ref Expression
dvheveccl  |-  ( ph  ->  E  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )

Proof of Theorem dvheveccl
StepHypRef Expression
1 dvheveccl.e . 2  |-  E  = 
<. (  _I  |`  B ) ,  (  _I  |`  T )
>.
2 dvheveccl.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
3 dvheveccl.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  K
)
4 dvheveccl.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
5 dvheveccl.t . . . . . 6  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
63, 4, 5idltrn 29140 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  _I  |`  B )  e.  T )
72, 6syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  _I  |`  B )  e.  T )
8 eqid 2253 . . . . . 6  |-  ( (
TEndo `  K ) `  W )  =  ( ( TEndo `  K ) `  W )
94, 5, 8tendoidcl 29759 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  _I  |`  T )  e.  ( ( TEndo `  K ) `  W
) )
102, 9syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  _I  |`  T )  e.  ( ( TEndo `  K ) `  W
) )
11 dvheveccl.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
12 dvheveccl.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
134, 5, 8, 11, 12dvhelvbasei 30079 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( (  _I  |`  B )  e.  T  /\  (  _I  |`  T )  e.  ( ( TEndo `  K ) `  W
) ) )  ->  <. (  _I  |`  B ) ,  (  _I  |`  T )
>.  e.  V )
142, 7, 10, 13syl12anc 1185 . . 3  |-  ( ph  -> 
<. (  _I  |`  B ) ,  (  _I  |`  T )
>.  e.  V )
15 eqid 2253 . . . . . 6  |-  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )  =  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
163, 4, 5, 8, 15tendo1ne0 29818 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  _I  |`  T )  =/=  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) ) )
172, 16syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  _I  |`  T )  =/=  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) ) )
18 dvheveccl.z . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
193, 4, 5, 11, 18, 15dvh0g 30102 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  .0.  =  <. (  _I  |`  B ) ,  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) ) >. )
202, 19syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  .0.  =  <. (  _I  |`  B ) ,  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) ) >. )
21 eqtr 2270 . . . . . . 7  |-  ( (
<. (  _I  |`  B ) ,  (  _I  |`  T )
>.  =  .0.  /\  .0.  =  <. (  _I  |`  B ) ,  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) ) >. )  ->  <. (  _I  |`  B ) ,  (  _I  |`  T )
>.  =  <. (  _I  |`  B ) ,  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B )
) >. )
22 opthg 4139 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  _I  |`  B )  e.  T  /\  (  _I  |`  T )  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )
)  ->  ( <. (  _I  |`  B ) ,  (  _I  |`  T )
>.  =  <. (  _I  |`  B ) ,  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B )
) >. 
<->  ( (  _I  |`  B )  =  (  _I  |`  B )  /\  (  _I  |`  T )  =  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) ) ) ) )
237, 10, 22syl2anc 645 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( <. (  _I  |`  B ) ,  (  _I  |`  T )
>.  =  <. (  _I  |`  B ) ,  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B )
) >. 
<->  ( (  _I  |`  B )  =  (  _I  |`  B )  /\  (  _I  |`  T )  =  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) ) ) ) )
24 simpr 449 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  _I  |`  B )  =  (  _I  |`  B )  /\  (  _I  |`  T )  =  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) ) )  ->  (  _I  |`  T )  =  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) ) )
2523, 24syl6bi 221 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( <. (  _I  |`  B ) ,  (  _I  |`  T )
>.  =  <. (  _I  |`  B ) ,  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B )
) >.  ->  (  _I  |`  T )  =  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B )
) ) )
2621, 25syl5 30 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( <. (  _I  |`  B ) ,  (  _I  |`  T )
>.  =  .0.  /\  .0.  =  <. (  _I  |`  B ) ,  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) ) >. )  ->  (  _I  |`  T )  =  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) ) ) )
2720, 26mpan2d 658 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( <. (  _I  |`  B ) ,  (  _I  |`  T )
>.  =  .0.  ->  (  _I  |`  T )  =  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) ) ) )
2827necon3d 2450 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (  _I  |`  T )  =/=  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )  ->  <. (  _I  |`  B ) ,  (  _I  |`  T ) >.  =/=  .0.  ) )
2917, 28mpd 16 . . 3  |-  ( ph  -> 
<. (  _I  |`  B ) ,  (  _I  |`  T )
>.  =/=  .0.  )
30 eldifsn 3653 . . 3  |-  ( <.
(  _I  |`  B ) ,  (  _I  |`  T )
>.  e.  ( V  \  {  .0.  } )  <->  ( <. (  _I  |`  B ) ,  (  _I  |`  T )
>.  e.  V  /\  <. (  _I  |`  B ) ,  (  _I  |`  T )
>.  =/=  .0.  ) )
3114, 29, 30sylanbrc 648 . 2  |-  ( ph  -> 
<. (  _I  |`  B ) ,  (  _I  |`  T )
>.  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
321, 31syl5eqel 2337 1  |-  ( ph  ->  E  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2412    \ cdif 3075   {csn 3544   <.cop 3547    e. cmpt 3974    _I cid 4197    |` cres 4582   ` cfv 4592   Basecbs 13022   0gc0g 13274   HLchlt 28341   LHypclh 28974   LTrncltrn 29091   TEndoctendo 29742   DVecHcdvh 30069
This theorem is referenced by:  hdmapcl  30824  hdmapval2lem  30825  hdmapval0  30827  hdmapeveclem  30828  hdmapevec  30829  hdmapevec2  30830  hdmapval3lemN  30831  hdmapval3N  30832  hdmap10lem  30833  hdmap11lem1  30835  hdmap11lem2  30836  hdmapinvlem1  30912  hdmapinvlem2  30913  hdmapinvlem3  30914  hdmapinvlem4  30915  hdmapglem5  30916  hgmapvvlem3  30919  hdmapglem7a  30921  hdmapglem7b  30922  hdmapglem7  30923
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-fal 1316  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-iin 3806  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-tpos 6086  df-iota 6143  df-undef 6182  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-oadd 6369  df-er 6546  df-map 6660  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-4 9686  df-5 9687  df-6 9688  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-fz 10661  df-struct 13024  df-ndx 13025  df-slot 13026  df-base 13027  df-sets 13028  df-ress 13029  df-plusg 13095  df-mulr 13096  df-sca 13098  df-vsca 13099  df-0g 13278  df-poset 13924  df-plt 13936  df-lub 13952  df-glb 13953  df-join 13954  df-meet 13955  df-p0 13989  df-p1 13990  df-lat 13996  df-clat 14058  df-mnd 14202  df-grp 14324  df-minusg 14325  df-mgp 15161  df-ring 15175  df-ur 15177  df-oppr 15240  df-dvdsr 15258  df-unit 15259  df-invr 15289  df-dvr 15300  df-drng 15349  df-lmod 15464  df-lvec 15691  df-oposet 28167  df-ol 28169  df-oml 28170  df-covers 28257  df-ats 28258  df-atl 28289  df-cvlat 28313  df-hlat 28342  df-llines 28488  df-lplanes 28489  df-lvols 28490  df-lines 28491  df-psubsp 28493  df-pmap 28494  df-padd 28786  df-lhyp 28978  df-laut 28979  df-ldil 29094  df-ltrn 29095  df-trl 29149  df-tendo 29745  df-edring 29747  df-dvech 30070
  Copyright terms: Public domain W3C validator