MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvmptadd Unicode version

Theorem dvmptadd 19714
Description: Function-builder for derivative, addition rule. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptadd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvmptadd.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
dvmptadd.b  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  V )
dvmptadd.da  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
dvmptadd.c  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  C  e.  CC )
dvmptadd.d  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  D  e.  W )
dvmptadd.dc  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  C ) )  =  ( x  e.  X  |->  D ) )
Assertion
Ref Expression
dvmptadd  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  ( A  +  C ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( B  +  D ) ) )
Distinct variable groups:    ph, x    x, S    x, V    x, W    x, X
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)    C( x)    D( x)

Proof of Theorem dvmptadd
StepHypRef Expression
1 dvmptadd.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
2 dvmptadd.a . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
3 eqid 2388 . . . 4  |-  ( x  e.  X  |->  A )  =  ( x  e.  X  |->  A )
42, 3fmptd 5833 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> CC )
5 dvmptadd.c . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  C  e.  CC )
6 eqid 2388 . . . 4  |-  ( x  e.  X  |->  C )  =  ( x  e.  X  |->  C )
75, 6fmptd 5833 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  C ) : X --> CC )
8 dvmptadd.da . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
98dmeqd 5013 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  =  dom  ( x  e.  X  |->  B ) )
10 dvmptadd.b . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  V )
1110ralrimiva 2733 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  B  e.  V )
12 dmmptg 5308 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  X  B  e.  V  ->  dom  (
x  e.  X  |->  B )  =  X )
1311, 12syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  X  |->  B )  =  X )
149, 13eqtrd 2420 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  =  X )
15 dvmptadd.dc . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  C ) )  =  ( x  e.  X  |->  D ) )
1615dmeqd 5013 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  C ) )  =  dom  ( x  e.  X  |->  D ) )
17 dvmptadd.d . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  D  e.  W )
1817ralrimiva 2733 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  D  e.  W )
19 dmmptg 5308 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  X  D  e.  W  ->  dom  (
x  e.  X  |->  D )  =  X )
2018, 19syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  X  |->  D )  =  X )
2116, 20eqtrd 2420 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  C ) )  =  X )
221, 4, 7, 14, 21dvaddf 19696 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
( x  e.  X  |->  A )  o F  +  ( x  e.  X  |->  C ) ) )  =  ( ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  o F  +  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  C ) ) ) )
23 ovex 6046 . . . . . 6  |-  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  C ) )  e.  _V
2423dmex 5073 . . . . 5  |-  dom  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  C ) )  e.  _V
2521, 24syl6eqelr 2477 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
26 eqidd 2389 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  =  ( x  e.  X  |->  A ) )
27 eqidd 2389 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  C )  =  ( x  e.  X  |->  C ) )
2825, 2, 5, 26, 27offval2 6262 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  A )  o F  +  ( x  e.  X  |->  C ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( A  +  C ) ) )
2928oveq2d 6037 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
( x  e.  X  |->  A )  o F  +  ( x  e.  X  |->  C ) ) )  =  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  ( A  +  C ) ) ) )
3025, 10, 17, 8, 15offval2 6262 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  o F  +  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  C ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( B  +  D ) ) )
3122, 29, 303eqtr3d 2428 1  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  ( A  +  C ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( B  +  D ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2650   _Vcvv 2900   {cpr 3759    e. cmpt 4208   dom cdm 4819  (class class class)co 6021    o Fcof 6243   CCcc 8922   RRcr 8923    + caddc 8927    _D cdv 19618
This theorem is referenced by:  dvmptsub  19721  dvmptre  19723  dvmptfsum  19727  dvsincos  19733  dvlipcn  19746  advlogexp  20414  loglesqr  20510  dvatan  20643  log2sumbnd  21106  lgamgulmlem2  24594  dvreasin  25981  areacirclem2  25983
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002  ax-addf 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-iin 4039  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-of 6245  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-2o 6662  df-oadd 6665  df-er 6842  df-map 6957  df-pm 6958  df-ixp 7001  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-fi 7352  df-sup 7382  df-oi 7413  df-card 7760  df-cda 7982  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-7 9996  df-8 9997  df-9 9998  df-10 9999  df-n0 10155  df-z 10216  df-dec 10316  df-uz 10422  df-q 10508  df-rp 10546  df-xneg 10643  df-xadd 10644  df-xmul 10645  df-icc 10856  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-seq 11252  df-exp 11311  df-hash 11547  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969  df-struct 13399  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-ress 13404  df-plusg 13470  df-mulr 13471  df-starv 13472  df-sca 13473  df-vsca 13474  df-tset 13476  df-ple 13477  df-ds 13479  df-unif 13480  df-hom 13481  df-cco 13482  df-rest 13578  df-topn 13579  df-topgen 13595  df-pt 13596  df-prds 13599  df-xrs 13654  df-0g 13655  df-gsum 13656  df-qtop 13661  df-imas 13662  df-xps 13664  df-mre 13739  df-mrc 13740  df-acs 13742  df-mnd 14618  df-submnd 14667  df-mulg 14743  df-cntz 15044  df-cmn 15342  df-xmet 16620  df-met 16621  df-bl 16622  df-mopn 16623  df-fbas 16624  df-fg 16625  df-cnfld 16628  df-top 16887  df-bases 16889  df-topon 16890  df-topsp 16891  df-cld 17007  df-ntr 17008  df-cls 17009  df-nei 17086  df-lp 17124  df-perf 17125  df-cn 17214  df-cnp 17215  df-haus 17302  df-tx 17516  df-hmeo 17709  df-fil 17800  df-fm 17892  df-flim 17893  df-flf 17894  df-xms 18260  df-ms 18261  df-tms 18262  df-limc 19621  df-dv 19622
  Copyright terms: Public domain W3C validator