MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvmptntr Structured version   Unicode version

Theorem dvmptntr 19849
Description: Function-builder for derivative: expand the function from an open set to its closure. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptntr.s  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
dvmptntr.x  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
dvmptntr.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
dvmptntr.j  |-  J  =  ( Kt  S )
dvmptntr.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
dvmptntr.i  |-  ( ph  ->  ( ( int `  J
) `  X )  =  Y )
Assertion
Ref Expression
dvmptntr  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( S  _D  ( x  e.  Y  |->  A ) ) )
Distinct variable groups:    ph, x    x, X    x, Y
Allowed substitution hints:    A( x)    S( x)    J( x)    K( x)

Proof of Theorem dvmptntr
StepHypRef Expression
1 dvmptntr.j . . . . . . . . 9  |-  J  =  ( Kt  S )
2 dvmptntr.k . . . . . . . . . . 11  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
32cnfldtopon 18809 . . . . . . . . . 10  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
4 dvmptntr.s . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
5 resttopon 17217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  C_  CC )  ->  ( Kt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
63, 4, 5sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Kt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
71, 6syl5eqel 2519 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  S ) )
8 topontop 16983 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  S
)  ->  J  e.  Top )
97, 8syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
10 dvmptntr.x . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
11 toponuni 16984 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  (TopOn `  S
)  ->  S  =  U. J )
127, 11syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  =  U. J
)
1310, 12sseqtrd 3376 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  C_  U. J )
14 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
1514ntridm 17124 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  C_  U. J )  ->  ( ( int `  J ) `  (
( int `  J
) `  X )
)  =  ( ( int `  J ) `
 X ) )
169, 13, 15syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( int `  J
) `  ( ( int `  J ) `  X ) )  =  ( ( int `  J
) `  X )
)
17 dvmptntr.i . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( int `  J
) `  X )  =  Y )
1817fveq2d 5724 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( int `  J
) `  ( ( int `  J ) `  X ) )  =  ( ( int `  J
) `  Y )
)
1916, 18eqtr3d 2469 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( int `  J
) `  X )  =  ( ( int `  J ) `  Y
) )
2019reseq2d 5138 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  |`  ( ( int `  J
) `  X )
)  =  ( ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  |`  ( ( int `  J ) `  Y ) ) )
21 dvmptntr.a . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
22 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( x  e.  X  |->  A )  =  ( x  e.  X  |->  A )
2321, 22fmptd 5885 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> CC )
242, 1dvres 19790 . . . . 5  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> CC )  /\  ( X  C_  S  /\  X  C_  S ) )  -> 
( S  _D  (
( x  e.  X  |->  A )  |`  X ) )  =  ( ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  |`  ( ( int `  J ) `  X ) ) )
254, 23, 10, 10, 24syl22anc 1185 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
( x  e.  X  |->  A )  |`  X ) )  =  ( ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  |`  ( ( int `  J ) `  X ) ) )
2614ntrss2 17113 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  C_  U. J )  ->  ( ( int `  J ) `  X
)  C_  X )
279, 13, 26syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( int `  J
) `  X )  C_  X )
2817, 27eqsstr3d 3375 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
2928, 10sstrd 3350 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  C_  S )
302, 1dvres 19790 . . . . 5  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> CC )  /\  ( X  C_  S  /\  Y  C_  S ) )  -> 
( S  _D  (
( x  e.  X  |->  A )  |`  Y ) )  =  ( ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  |`  ( ( int `  J ) `  Y ) ) )
314, 23, 10, 29, 30syl22anc 1185 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
( x  e.  X  |->  A )  |`  Y ) )  =  ( ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  |`  ( ( int `  J ) `  Y ) ) )
3220, 25, 313eqtr4d 2477 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
( x  e.  X  |->  A )  |`  X ) )  =  ( S  _D  ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  Y ) ) )
33 ssid 3359 . . . . 5  |-  X  C_  X
34 resmpt 5183 . . . . 5  |-  ( X 
C_  X  ->  (
( x  e.  X  |->  A )  |`  X )  =  ( x  e.  X  |->  A ) )
3533, 34mp1i 12 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  X )  =  ( x  e.  X  |->  A ) )
3635oveq2d 6089 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
( x  e.  X  |->  A )  |`  X ) )  =  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) ) )
3732, 36eqtr3d 2469 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
( x  e.  X  |->  A )  |`  Y ) )  =  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) ) )
38 resmpt 5183 . . . 4  |-  ( Y 
C_  X  ->  (
( x  e.  X  |->  A )  |`  Y )  =  ( x  e.  Y  |->  A ) )
3928, 38syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  Y )  =  ( x  e.  Y  |->  A ) )
4039oveq2d 6089 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
( x  e.  X  |->  A )  |`  Y ) )  =  ( S  _D  ( x  e.  Y  |->  A ) ) )
4137, 40eqtr3d 2469 1  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( S  _D  ( x  e.  Y  |->  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    C_ wss 3312   U.cuni 4007    e. cmpt 4258    |` cres 4872   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   ↾t crest 13640   TopOpenctopn 13641  ℂfldccnfld 16695   Topctop 16950  TopOnctopon 16951   intcnt 17073    _D cdv 19742
This theorem is referenced by:  rolle  19866  cmvth  19867  dvlip  19869  dvlipcn  19870  dvle  19883  dvfsumabs  19899  ftc2  19920  itgparts  19923  itgsubstlem  19924  lgamgulmlem2  24806  areacirc  26278  itgsin0pilem1  27701
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-fz 11036  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-cnfld 16696  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-cnp 17284  df-xms 18342  df-ms 18343  df-limc 19745  df-dv 19746
  Copyright terms: Public domain W3C validator