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Theorem dvreslem 19753
Description: Lemma for dvres 19755. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvres.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
dvres.t  |-  T  =  ( Kt  S )
dvres.g  |-  G  =  ( z  e.  ( A  \  { x } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) )
dvres.s  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
dvres.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
dvres.a  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
dvres.b  |-  ( ph  ->  B  C_  S )
dvres.y  |-  ( ph  ->  y  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
dvreslem  |-  ( ph  ->  ( x ( S  _D  ( F  |`  B ) ) y  <-> 
( x ( S  _D  F ) y  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  B )
) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y, z    x, F, y, z    x, S, y, z    x, T, y, z    z, K    ph, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    G( x, y, z)    K( x, y)

Proof of Theorem dvreslem
StepHypRef Expression
1 difss 3438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  i^i  B ) 
\  { x }
)  C_  ( A  i^i  B )
2 inss2 3526 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  i^i  B )  C_  B
31, 2sstri 3321 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  i^i  B ) 
\  { x }
)  C_  B
4 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  /\  z  e.  ( ( A  i^i  B
)  \  { x } ) )  -> 
z  e.  ( ( A  i^i  B ) 
\  { x }
) )
53, 4sseldi 3310 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  /\  z  e.  ( ( A  i^i  B
)  \  { x } ) )  -> 
z  e.  B )
6 fvres 5708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  B  ->  (
( F  |`  B ) `
 z )  =  ( F `  z
) )
75, 6syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  /\  z  e.  ( ( A  i^i  B
)  \  { x } ) )  -> 
( ( F  |`  B ) `  z
)  =  ( F `
 z ) )
8 dvres.t . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  T  =  ( Kt  S )
9 dvres.k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
109cnfldtop 18775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  K  e. 
Top
11 dvres.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
12 cnex 9031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  CC  e.  _V
13 ssexg 4313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( S  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  S  e.  _V )
1411, 12, 13sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
15 resttop 17182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  Top  /\  S  e.  _V )  ->  ( Kt  S )  e.  Top )
1610, 14, 15sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( Kt  S )  e.  Top )
178, 16syl5eqel 2492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  T  e.  Top )
18 inss1 3525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  i^i  B )  C_  A
19 dvres.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
2018, 19syl5ss 3323 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  C_  S )
219cnfldtopon 18774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
22 resttopon 17183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  C_  CC )  ->  ( Kt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
2321, 11, 22sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( Kt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
248, 23syl5eqel 2492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  T  e.  (TopOn `  S ) )
25 toponuni 16951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( T  e.  (TopOn `  S
)  ->  S  =  U. T )
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  S  =  U. T
)
2720, 26sseqtrd 3348 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  C_  U. T )
28 eqid 2408 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U. T  =  U. T
2928ntrss2 17080 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( T  e.  Top  /\  ( A  i^i  B ) 
C_  U. T )  -> 
( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) )  C_  ( A  i^i  B ) )
3017, 27, 29syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) )  C_  ( A  i^i  B ) )
3130, 2syl6ss 3324 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) )  C_  B )
3231sselda 3312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  x  e.  B
)
33 fvres 5708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  B  ->  (
( F  |`  B ) `
 x )  =  ( F `  x
) )
3432, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( ( F  |`  B ) `  x
)  =  ( F `
 x ) )
3534adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  /\  z  e.  ( ( A  i^i  B
)  \  { x } ) )  -> 
( ( F  |`  B ) `  x
)  =  ( F `
 x ) )
367, 35oveq12d 6062 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  /\  z  e.  ( ( A  i^i  B
)  \  { x } ) )  -> 
( ( ( F  |`  B ) `  z
)  -  ( ( F  |`  B ) `  x ) )  =  ( ( F `  z )  -  ( F `  x )
) )
3736oveq1d 6059 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  /\  z  e.  ( ( A  i^i  B
)  \  { x } ) )  -> 
( ( ( ( F  |`  B ) `  z )  -  (
( F  |`  B ) `
 x ) )  /  ( z  -  x ) )  =  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) ) )
3837mpteq2dva 4259 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( z  e.  ( ( A  i^i  B )  \  { x } )  |->  ( ( ( ( F  |`  B ) `  z
)  -  ( ( F  |`  B ) `  x ) )  / 
( z  -  x
) ) )  =  ( z  e.  ( ( A  i^i  B
)  \  { x } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) )
39 dvres.g . . . . . . . . . . 11  |-  G  =  ( z  e.  ( A  \  { x } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) )
4039reseq1i 5105 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  |`  ( ( A  i^i  B )  \  { x } ) )  =  ( ( z  e.  ( A  \  {
x } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  x )
)  /  ( z  -  x ) ) )  |`  ( ( A  i^i  B )  \  { x } ) )
41 ssdif 3446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  i^i  B ) 
C_  A  ->  (
( A  i^i  B
)  \  { x } )  C_  ( A  \  { x }
) )
42 resmpt 5154 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  \  { x } )  C_  ( A  \  { x }
)  ->  ( (
z  e.  ( A 
\  { x }
)  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  x ) )  / 
( z  -  x
) ) )  |`  ( ( A  i^i  B )  \  { x } ) )  =  ( z  e.  ( ( A  i^i  B
)  \  { x } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) )
4318, 41, 42mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  { x }
)  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  x ) )  / 
( z  -  x
) ) )  |`  ( ( A  i^i  B )  \  { x } ) )  =  ( z  e.  ( ( A  i^i  B
)  \  { x } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) )
4440, 43eqtri 2428 . . . . . . . . 9  |-  ( G  |`  ( ( A  i^i  B )  \  { x } ) )  =  ( z  e.  ( ( A  i^i  B
)  \  { x } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) )
4538, 44syl6eqr 2458 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( z  e.  ( ( A  i^i  B )  \  { x } )  |->  ( ( ( ( F  |`  B ) `  z
)  -  ( ( F  |`  B ) `  x ) )  / 
( z  -  x
) ) )  =  ( G  |`  (
( A  i^i  B
)  \  { x } ) ) )
4645oveq1d 6059 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( ( z  e.  ( ( A  i^i  B )  \  { x } ) 
|->  ( ( ( ( F  |`  B ) `  z )  -  (
( F  |`  B ) `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim
CC  x )  =  ( ( G  |`  ( ( A  i^i  B )  \  { x } ) ) lim CC  x ) )
47 dvres.f . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
4847adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  F : A --> CC )
4919, 11sstrd 3322 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
5049adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  A  C_  CC )
5130, 18syl6ss 3324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) )  C_  A )
5251sselda 3312 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  x  e.  A
)
5348, 50, 52dvlem 19740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  /\  z  e.  ( A  \  { x } ) )  -> 
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) )  e.  CC )
5453, 39fmptd 5856 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  G : ( A  \  { x } ) --> CC )
5518, 41mp1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( ( A  i^i  B )  \  { x } ) 
C_  ( A  \  { x } ) )
56 difss 3438 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
\  { x }
)  C_  A
5756, 50syl5ss 3323 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( A  \  { x } ) 
C_  CC )
58 eqid 2408 . . . . . . . 8  |-  ( Kt  ( ( A  \  {
x } )  u. 
{ x } ) )  =  ( Kt  ( ( A  \  {
x } )  u. 
{ x } ) )
59 difssd 3439 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( U. T  \  A )  C_  U. T
)
6027, 59unssd 3487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  A ) ) 
C_  U. T )
61 ssun1 3474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  i^i  B )  C_  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  A ) )
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  C_  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  A ) ) )
6328ntrss 17078 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  Top  /\  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  A ) ) 
C_  U. T  /\  ( A  i^i  B )  C_  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  A ) ) )  ->  ( ( int `  T ) `  ( A  i^i  B ) )  C_  ( ( int `  T ) `  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  A ) ) ) )
6417, 60, 62, 63syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) )  C_  ( ( int `  T
) `  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  A ) ) ) )
6564, 51ssind 3529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) )  C_  ( ( ( int `  T ) `  (
( A  i^i  B
)  u.  ( U. T  \  A ) ) )  i^i  A ) )
6619, 26sseqtrd 3348 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  C_  U. T )
6718a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  C_  A )
68 eqid 2408 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Tt  A )  =  ( Tt  A )
6928, 68restntr 17204 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  Top  /\  A  C_  U. T  /\  ( A  i^i  B ) 
C_  A )  -> 
( ( int `  ( Tt  A ) ) `  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( ( int `  T
) `  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  A ) ) )  i^i  A ) )
7017, 66, 67, 69syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( Tt  A ) ) `  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( ( int `  T
) `  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  A ) ) )  i^i  A ) )
718oveq1i 6054 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Tt  A )  =  ( ( Kt  S )t  A )
7210a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
73 restabs 17187 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  Top  /\  A  C_  S  /\  S  e.  _V )  ->  (
( Kt  S )t  A )  =  ( Kt  A ) )
7472, 19, 14, 73syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( Kt  S )t  A )  =  ( Kt  A ) )
7571, 74syl5eq 2452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Tt  A )  =  ( Kt  A ) )
7675fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( int `  ( Tt  A ) )  =  ( int `  ( Kt  A ) ) )
7776fveq1d 5693 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( Tt  A ) ) `  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( int `  ( Kt  A ) ) `  ( A  i^i  B ) ) )
7870, 77eqtr3d 2442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( int `  T ) `  (
( A  i^i  B
)  u.  ( U. T  \  A ) ) )  i^i  A )  =  ( ( int `  ( Kt  A ) ) `  ( A  i^i  B ) ) )
7965, 78sseqtrd 3348 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) )  C_  ( ( int `  ( Kt  A ) ) `  ( A  i^i  B ) ) )
8079sselda 3312 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  x  e.  ( ( int `  ( Kt  A ) ) `  ( A  i^i  B ) ) )
81 undif1 3667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  \  { x } )  u.  {
x } )  =  ( A  u.  {
x } )
8230sselda 3312 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  x  e.  ( A  i^i  B ) )
8382snssd 3907 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  { x }  C_  ( A  i^i  B
) )
8483, 18syl6ss 3324 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  { x }  C_  A )
85 ssequn2 3484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { x }  C_  A  <->  ( A  u.  { x } )  =  A )
8684, 85sylib 189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( A  u.  { x } )  =  A )
8781, 86syl5eq 2452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( ( A 
\  { x }
)  u.  { x } )  =  A )
8887oveq2d 6060 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( Kt  ( ( A  \  { x } )  u.  {
x } ) )  =  ( Kt  A ) )
8988fveq2d 5695 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( int `  ( Kt  ( ( A  \  { x } )  u.  { x }
) ) )  =  ( int `  ( Kt  A ) ) )
90 undif1 3667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  \  { x } )  u.  {
x } )  =  ( ( A  i^i  B )  u.  { x } )
91 ssequn2 3484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { x }  C_  ( A  i^i  B )  <->  ( ( A  i^i  B )  u. 
{ x } )  =  ( A  i^i  B ) )
9283, 91sylib 189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( ( A  i^i  B )  u. 
{ x } )  =  ( A  i^i  B ) )
9390, 92syl5eq 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( ( ( A  i^i  B ) 
\  { x }
)  u.  { x } )  =  ( A  i^i  B ) )
9489, 93fveq12d 5697 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( ( int `  ( Kt  ( ( A 
\  { x }
)  u.  { x } ) ) ) `
 ( ( ( A  i^i  B ) 
\  { x }
)  u.  { x } ) )  =  ( ( int `  ( Kt  A ) ) `  ( A  i^i  B ) ) )
9580, 94eleqtrrd 2485 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  x  e.  ( ( int `  ( Kt  ( ( A  \  { x } )  u.  { x }
) ) ) `  ( ( ( A  i^i  B )  \  { x } )  u.  { x }
) ) )
9654, 55, 57, 9, 58, 95limcres 19730 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( ( G  |`  ( ( A  i^i  B )  \  { x } ) ) lim CC  x )  =  ( G lim CC  x ) )
9746, 96eqtrd 2440 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( ( z  e.  ( ( A  i^i  B )  \  { x } ) 
|->  ( ( ( ( F  |`  B ) `  z )  -  (
( F  |`  B ) `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim
CC  x )  =  ( G lim CC  x
) )
9897eleq2d 2475 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( y  e.  ( ( z  e.  ( ( A  i^i  B )  \  { x } )  |->  ( ( ( ( F  |`  B ) `  z
)  -  ( ( F  |`  B ) `  x ) )  / 
( z  -  x
) ) ) lim CC  x )  <->  y  e.  ( G lim CC  x ) ) )
9998pm5.32da 623 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) )  /\  y  e.  ( (
z  e.  ( ( A  i^i  B ) 
\  { x }
)  |->  ( ( ( ( F  |`  B ) `
 z )  -  ( ( F  |`  B ) `  x
) )  /  (
z  -  x ) ) ) lim CC  x
) )  <->  ( x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) )  /\  y  e.  ( G lim CC  x ) ) ) )
100 dvres.b . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  C_  S )
101100, 26sseqtrd 3348 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  C_  U. T )
10228ntrin 17084 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  Top  /\  A  C_  U. T  /\  B  C_  U. T )  ->  ( ( int `  T ) `  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( ( int `  T ) `
 A )  i^i  ( ( int `  T
) `  B )
) )
10317, 66, 101, 102syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( ( int `  T ) `  A
)  i^i  ( ( int `  T ) `  B ) ) )
104103eleq2d 2475 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) )  <->  x  e.  ( ( ( int `  T ) `  A
)  i^i  ( ( int `  T ) `  B ) ) ) )
105 elin 3494 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ( ( int `  T ) `
 A )  i^i  ( ( int `  T
) `  B )
)  <->  ( x  e.  ( ( int `  T
) `  A )  /\  x  e.  (
( int `  T
) `  B )
) )
106104, 105syl6bb 253 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) )  <->  ( x  e.  ( ( int `  T
) `  A )  /\  x  e.  (
( int `  T
) `  B )
) ) )
107106anbi1d 686 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) )  /\  y  e.  ( G lim CC  x ) )  <->  ( (
x  e.  ( ( int `  T ) `
 A )  /\  x  e.  ( ( int `  T ) `  B ) )  /\  y  e.  ( G lim CC  x ) ) ) )
10899, 107bitrd 245 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) )  /\  y  e.  ( (
z  e.  ( ( A  i^i  B ) 
\  { x }
)  |->  ( ( ( ( F  |`  B ) `
 z )  -  ( ( F  |`  B ) `  x
) )  /  (
z  -  x ) ) ) lim CC  x
) )  <->  ( (
x  e.  ( ( int `  T ) `
 A )  /\  x  e.  ( ( int `  T ) `  B ) )  /\  y  e.  ( G lim CC  x ) ) ) )
109 an32 774 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  ( ( int `  T
) `  A )  /\  x  e.  (
( int `  T
) `  B )
)  /\  y  e.  ( G lim CC  x ) )  <->  ( ( x  e.  ( ( int `  T ) `  A
)  /\  y  e.  ( G lim CC  x ) )  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  B )
) )
110108, 109syl6bb 253 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) )  /\  y  e.  ( (
z  e.  ( ( A  i^i  B ) 
\  { x }
)  |->  ( ( ( ( F  |`  B ) `
 z )  -  ( ( F  |`  B ) `  x
) )  /  (
z  -  x ) ) ) lim CC  x
) )  <->  ( (
x  e.  ( ( int `  T ) `
 A )  /\  y  e.  ( G lim CC  x ) )  /\  x  e.  ( ( int `  T ) `  B ) ) ) )
111 eqid 2408 . . 3  |-  ( z  e.  ( ( A  i^i  B )  \  { x } ) 
|->  ( ( ( ( F  |`  B ) `  z )  -  (
( F  |`  B ) `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) )  =  ( z  e.  ( ( A  i^i  B )  \  { x } )  |->  ( ( ( ( F  |`  B ) `  z
)  -  ( ( F  |`  B ) `  x ) )  / 
( z  -  x
) ) )
112 fresin 5575 . . . 4  |-  ( F : A --> CC  ->  ( F  |`  B ) : ( A  i^i  B ) --> CC )
11347, 112syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  |`  B ) : ( A  i^i  B ) --> CC )
1148, 9, 111, 11, 113, 20eldv 19742 . 2  |-  ( ph  ->  ( x ( S  _D  ( F  |`  B ) ) y  <-> 
( x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) )  /\  y  e.  ( (
z  e.  ( ( A  i^i  B ) 
\  { x }
)  |->  ( ( ( ( F  |`  B ) `
 z )  -  ( ( F  |`  B ) `  x
) )  /  (
z  -  x ) ) ) lim CC  x
) ) ) )
1158, 9, 39, 11, 47, 19eldv 19742 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x ( S  _D  F ) y  <-> 
( x  e.  ( ( int `  T
) `  A )  /\  y  e.  ( G lim CC  x ) ) ) )
116115anbi1d 686 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x ( S  _D  F ) y  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  B )
)  <->  ( ( x  e.  ( ( int `  T ) `  A
)  /\  y  e.  ( G lim CC  x ) )  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  B )
) ) )
117110, 114, 1163bitr4d 277 1  |-  ( ph  ->  ( x ( S  _D  ( F  |`  B ) ) y  <-> 
( x ( S  _D  F ) y  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  B )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2920    \ cdif 3281    u. cun 3282    i^i cin 3283    C_ wss 3284   {csn 3778   U.cuni 3979   class class class wbr 4176    e. cmpt 4230    |` cres 4843   -->wf 5413   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   CCcc 8948    - cmin 9251    / cdiv 9637   ↾t crest 13607   TopOpenctopn 13608  ℂfldccnfld 16662   Topctop 16917  TopOnctopon 16918   intcnt 17040   lim CC climc 19706    _D cdv 19707
This theorem is referenced by:  dvres  19755
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027  ax-pre-sup 9028
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-iin 4060  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6868  df-map 6983  df-pm 6984  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-fi 7378  df-sup 7408  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-4 10020  df-5 10021  df-6 10022  df-7 10023  df-8 10024  df-9 10025  df-10 10026  df-n0 10182  df-z 10243  df-dec 10343  df-uz 10449  df-q 10535  df-rp 10573  df-xneg 10670  df-xadd 10671  df-xmul 10672  df-fz 11004  df-seq 11283  df-exp 11342  df-cj 11863  df-re 11864  df-im 11865  df-sqr 11999  df-abs 12000  df-struct 13430  df-ndx 13431  df-slot 13432  df-base 13433  df-plusg 13501  df-mulr 13502  df-starv 13503  df-tset 13507  df-ple 13508  df-ds 13510  df-unif 13511  df-rest 13609  df-topn 13610  df-topgen 13626  df-psmet 16653  df-xmet 16654  df-met 16655  df-bl 16656  df-mopn 16657  df-cnfld 16663  df-top 16922  df-bases 16924  df-topon 16925  df-topsp 16926  df-cld 17042  df-ntr 17043  df-cls 17044  df-cnp 17250  df-xms 18307  df-ms 18308  df-limc 19710  df-dv 19711
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