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Theorem dvreslem 19827
Description: Lemma for dvres 19829. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvres.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
dvres.t  |-  T  =  ( Kt  S )
dvres.g  |-  G  =  ( z  e.  ( A  \  { x } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) )
dvres.s  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
dvres.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
dvres.a  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
dvres.b  |-  ( ph  ->  B  C_  S )
dvres.y  |-  ( ph  ->  y  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
dvreslem  |-  ( ph  ->  ( x ( S  _D  ( F  |`  B ) ) y  <-> 
( x ( S  _D  F ) y  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  B )
) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y, z    x, F, y, z    x, S, y, z    x, T, y, z    z, K    ph, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    G( x, y, z)    K( x, y)

Proof of Theorem dvreslem
StepHypRef Expression
1 difss 3460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  i^i  B ) 
\  { x }
)  C_  ( A  i^i  B )
2 inss2 3547 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  i^i  B )  C_  B
31, 2sstri 3343 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  i^i  B ) 
\  { x }
)  C_  B
4 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  /\  z  e.  ( ( A  i^i  B
)  \  { x } ) )  -> 
z  e.  ( ( A  i^i  B ) 
\  { x }
) )
53, 4sseldi 3332 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  /\  z  e.  ( ( A  i^i  B
)  \  { x } ) )  -> 
z  e.  B )
6 fvres 5774 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  B  ->  (
( F  |`  B ) `
 z )  =  ( F `  z
) )
75, 6syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  /\  z  e.  ( ( A  i^i  B
)  \  { x } ) )  -> 
( ( F  |`  B ) `  z
)  =  ( F `
 z ) )
8 dvres.t . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  T  =  ( Kt  S )
9 dvres.k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
109cnfldtop 18849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  K  e. 
Top
11 dvres.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
12 cnex 9102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  CC  e.  _V
13 ssexg 4378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( S  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  S  e.  _V )
1411, 12, 13sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
15 resttop 17255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  Top  /\  S  e.  _V )  ->  ( Kt  S )  e.  Top )
1610, 14, 15sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( Kt  S )  e.  Top )
178, 16syl5eqel 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  T  e.  Top )
18 inss1 3546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  i^i  B )  C_  A
19 dvres.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
2018, 19syl5ss 3345 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  C_  S )
219cnfldtopon 18848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
22 resttopon 17256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  C_  CC )  ->  ( Kt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
2321, 11, 22sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( Kt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
248, 23syl5eqel 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  T  e.  (TopOn `  S ) )
25 toponuni 17023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( T  e.  (TopOn `  S
)  ->  S  =  U. T )
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  S  =  U. T
)
2720, 26sseqtrd 3370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  C_  U. T )
28 eqid 2442 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U. T  =  U. T
2928ntrss2 17152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( T  e.  Top  /\  ( A  i^i  B ) 
C_  U. T )  -> 
( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) )  C_  ( A  i^i  B ) )
3017, 27, 29syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) )  C_  ( A  i^i  B ) )
3130, 2syl6ss 3346 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) )  C_  B )
3231sselda 3334 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  x  e.  B
)
33 fvres 5774 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  B  ->  (
( F  |`  B ) `
 x )  =  ( F `  x
) )
3432, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( ( F  |`  B ) `  x
)  =  ( F `
 x ) )
3534adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  /\  z  e.  ( ( A  i^i  B
)  \  { x } ) )  -> 
( ( F  |`  B ) `  x
)  =  ( F `
 x ) )
367, 35oveq12d 6128 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  /\  z  e.  ( ( A  i^i  B
)  \  { x } ) )  -> 
( ( ( F  |`  B ) `  z
)  -  ( ( F  |`  B ) `  x ) )  =  ( ( F `  z )  -  ( F `  x )
) )
3736oveq1d 6125 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  /\  z  e.  ( ( A  i^i  B
)  \  { x } ) )  -> 
( ( ( ( F  |`  B ) `  z )  -  (
( F  |`  B ) `
 x ) )  /  ( z  -  x ) )  =  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) ) )
3837mpteq2dva 4320 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( z  e.  ( ( A  i^i  B )  \  { x } )  |->  ( ( ( ( F  |`  B ) `  z
)  -  ( ( F  |`  B ) `  x ) )  / 
( z  -  x
) ) )  =  ( z  e.  ( ( A  i^i  B
)  \  { x } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) )
39 dvres.g . . . . . . . . . . 11  |-  G  =  ( z  e.  ( A  \  { x } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) )
4039reseq1i 5171 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  |`  ( ( A  i^i  B )  \  { x } ) )  =  ( ( z  e.  ( A  \  {
x } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  x )
)  /  ( z  -  x ) ) )  |`  ( ( A  i^i  B )  \  { x } ) )
41 ssdif 3468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  i^i  B ) 
C_  A  ->  (
( A  i^i  B
)  \  { x } )  C_  ( A  \  { x }
) )
42 resmpt 5220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  \  { x } )  C_  ( A  \  { x }
)  ->  ( (
z  e.  ( A 
\  { x }
)  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  x ) )  / 
( z  -  x
) ) )  |`  ( ( A  i^i  B )  \  { x } ) )  =  ( z  e.  ( ( A  i^i  B
)  \  { x } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) )
4318, 41, 42mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  { x }
)  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  x ) )  / 
( z  -  x
) ) )  |`  ( ( A  i^i  B )  \  { x } ) )  =  ( z  e.  ( ( A  i^i  B
)  \  { x } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) )
4440, 43eqtri 2462 . . . . . . . . 9  |-  ( G  |`  ( ( A  i^i  B )  \  { x } ) )  =  ( z  e.  ( ( A  i^i  B
)  \  { x } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) )
4538, 44syl6eqr 2492 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( z  e.  ( ( A  i^i  B )  \  { x } )  |->  ( ( ( ( F  |`  B ) `  z
)  -  ( ( F  |`  B ) `  x ) )  / 
( z  -  x
) ) )  =  ( G  |`  (
( A  i^i  B
)  \  { x } ) ) )
4645oveq1d 6125 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( ( z  e.  ( ( A  i^i  B )  \  { x } ) 
|->  ( ( ( ( F  |`  B ) `  z )  -  (
( F  |`  B ) `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim
CC  x )  =  ( ( G  |`  ( ( A  i^i  B )  \  { x } ) ) lim CC  x ) )
47 dvres.f . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
4847adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  F : A --> CC )
4919, 11sstrd 3344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
5049adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  A  C_  CC )
5130, 18syl6ss 3346 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) )  C_  A )
5251sselda 3334 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  x  e.  A
)
5348, 50, 52dvlem 19814 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  /\  z  e.  ( A  \  { x } ) )  -> 
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) )  e.  CC )
5453, 39fmptd 5922 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  G : ( A  \  { x } ) --> CC )
5518, 41mp1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( ( A  i^i  B )  \  { x } ) 
C_  ( A  \  { x } ) )
56 difss 3460 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
\  { x }
)  C_  A
5756, 50syl5ss 3345 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( A  \  { x } ) 
C_  CC )
58 eqid 2442 . . . . . . . 8  |-  ( Kt  ( ( A  \  {
x } )  u. 
{ x } ) )  =  ( Kt  ( ( A  \  {
x } )  u. 
{ x } ) )
59 difssd 3461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( U. T  \  A )  C_  U. T
)
6027, 59unssd 3509 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  A ) ) 
C_  U. T )
61 ssun1 3496 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  i^i  B )  C_  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  A ) )
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  C_  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  A ) ) )
6328ntrss 17150 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  Top  /\  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  A ) ) 
C_  U. T  /\  ( A  i^i  B )  C_  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  A ) ) )  ->  ( ( int `  T ) `  ( A  i^i  B ) )  C_  ( ( int `  T ) `  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  A ) ) ) )
6417, 60, 62, 63syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) )  C_  ( ( int `  T
) `  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  A ) ) ) )
6564, 51ssind 3550 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) )  C_  ( ( ( int `  T ) `  (
( A  i^i  B
)  u.  ( U. T  \  A ) ) )  i^i  A ) )
6619, 26sseqtrd 3370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  C_  U. T )
6718a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  C_  A )
68 eqid 2442 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Tt  A )  =  ( Tt  A )
6928, 68restntr 17277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  Top  /\  A  C_  U. T  /\  ( A  i^i  B ) 
C_  A )  -> 
( ( int `  ( Tt  A ) ) `  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( ( int `  T
) `  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  A ) ) )  i^i  A ) )
7017, 66, 67, 69syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( Tt  A ) ) `  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( ( int `  T
) `  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  A ) ) )  i^i  A ) )
718oveq1i 6120 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Tt  A )  =  ( ( Kt  S )t  A )
7210a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
73 restabs 17260 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  Top  /\  A  C_  S  /\  S  e.  _V )  ->  (
( Kt  S )t  A )  =  ( Kt  A ) )
7472, 19, 14, 73syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( Kt  S )t  A )  =  ( Kt  A ) )
7571, 74syl5eq 2486 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Tt  A )  =  ( Kt  A ) )
7675fveq2d 5761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( int `  ( Tt  A ) )  =  ( int `  ( Kt  A ) ) )
7776fveq1d 5759 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( Tt  A ) ) `  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( int `  ( Kt  A ) ) `  ( A  i^i  B ) ) )
7870, 77eqtr3d 2476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( int `  T ) `  (
( A  i^i  B
)  u.  ( U. T  \  A ) ) )  i^i  A )  =  ( ( int `  ( Kt  A ) ) `  ( A  i^i  B ) ) )
7965, 78sseqtrd 3370 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) )  C_  ( ( int `  ( Kt  A ) ) `  ( A  i^i  B ) ) )
8079sselda 3334 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  x  e.  ( ( int `  ( Kt  A ) ) `  ( A  i^i  B ) ) )
81 undif1 3727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  \  { x } )  u.  {
x } )  =  ( A  u.  {
x } )
8230sselda 3334 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  x  e.  ( A  i^i  B ) )
8382snssd 3967 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  { x }  C_  ( A  i^i  B
) )
8483, 18syl6ss 3346 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  { x }  C_  A )
85 ssequn2 3506 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { x }  C_  A  <->  ( A  u.  { x } )  =  A )
8684, 85sylib 190 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( A  u.  { x } )  =  A )
8781, 86syl5eq 2486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( ( A 
\  { x }
)  u.  { x } )  =  A )
8887oveq2d 6126 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( Kt  ( ( A  \  { x } )  u.  {
x } ) )  =  ( Kt  A ) )
8988fveq2d 5761 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( int `  ( Kt  ( ( A  \  { x } )  u.  { x }
) ) )  =  ( int `  ( Kt  A ) ) )
90 undif1 3727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  \  { x } )  u.  {
x } )  =  ( ( A  i^i  B )  u.  { x } )
91 ssequn2 3506 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { x }  C_  ( A  i^i  B )  <->  ( ( A  i^i  B )  u. 
{ x } )  =  ( A  i^i  B ) )
9283, 91sylib 190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( ( A  i^i  B )  u. 
{ x } )  =  ( A  i^i  B ) )
9390, 92syl5eq 2486 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( ( ( A  i^i  B ) 
\  { x }
)  u.  { x } )  =  ( A  i^i  B ) )
9489, 93fveq12d 5763 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( ( int `  ( Kt  ( ( A 
\  { x }
)  u.  { x } ) ) ) `
 ( ( ( A  i^i  B ) 
\  { x }
)  u.  { x } ) )  =  ( ( int `  ( Kt  A ) ) `  ( A  i^i  B ) ) )
9580, 94eleqtrrd 2519 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  x  e.  ( ( int `  ( Kt  ( ( A  \  { x } )  u.  { x }
) ) ) `  ( ( ( A  i^i  B )  \  { x } )  u.  { x }
) ) )
9654, 55, 57, 9, 58, 95limcres 19804 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( ( G  |`  ( ( A  i^i  B )  \  { x } ) ) lim CC  x )  =  ( G lim CC  x ) )
9746, 96eqtrd 2474 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( ( z  e.  ( ( A  i^i  B )  \  { x } ) 
|->  ( ( ( ( F  |`  B ) `  z )  -  (
( F  |`  B ) `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim
CC  x )  =  ( G lim CC  x
) )
9897eleq2d 2509 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( y  e.  ( ( z  e.  ( ( A  i^i  B )  \  { x } )  |->  ( ( ( ( F  |`  B ) `  z
)  -  ( ( F  |`  B ) `  x ) )  / 
( z  -  x
) ) ) lim CC  x )  <->  y  e.  ( G lim CC  x ) ) )
9998pm5.32da 624 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) )  /\  y  e.  ( (
z  e.  ( ( A  i^i  B ) 
\  { x }
)  |->  ( ( ( ( F  |`  B ) `
 z )  -  ( ( F  |`  B ) `  x
) )  /  (
z  -  x ) ) ) lim CC  x
) )  <->  ( x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) )  /\  y  e.  ( G lim CC  x ) ) ) )
100 dvres.b . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  C_  S )
101100, 26sseqtrd 3370 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  C_  U. T )
10228ntrin 17156 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  Top  /\  A  C_  U. T  /\  B  C_  U. T )  ->  ( ( int `  T ) `  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( ( int `  T ) `
 A )  i^i  ( ( int `  T
) `  B )
) )
10317, 66, 101, 102syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( ( int `  T ) `  A
)  i^i  ( ( int `  T ) `  B ) ) )
104103eleq2d 2509 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) )  <->  x  e.  ( ( ( int `  T ) `  A
)  i^i  ( ( int `  T ) `  B ) ) ) )
105 elin 3516 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ( ( int `  T ) `
 A )  i^i  ( ( int `  T
) `  B )
)  <->  ( x  e.  ( ( int `  T
) `  A )  /\  x  e.  (
( int `  T
) `  B )
) )
106104, 105syl6bb 254 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) )  <->  ( x  e.  ( ( int `  T
) `  A )  /\  x  e.  (
( int `  T
) `  B )
) ) )
107106anbi1d 687 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) )  /\  y  e.  ( G lim CC  x ) )  <->  ( (
x  e.  ( ( int `  T ) `
 A )  /\  x  e.  ( ( int `  T ) `  B ) )  /\  y  e.  ( G lim CC  x ) ) ) )
10899, 107bitrd 246 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) )  /\  y  e.  ( (
z  e.  ( ( A  i^i  B ) 
\  { x }
)  |->  ( ( ( ( F  |`  B ) `
 z )  -  ( ( F  |`  B ) `  x
) )  /  (
z  -  x ) ) ) lim CC  x
) )  <->  ( (
x  e.  ( ( int `  T ) `
 A )  /\  x  e.  ( ( int `  T ) `  B ) )  /\  y  e.  ( G lim CC  x ) ) ) )
109 an32 775 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  ( ( int `  T
) `  A )  /\  x  e.  (
( int `  T
) `  B )
)  /\  y  e.  ( G lim CC  x ) )  <->  ( ( x  e.  ( ( int `  T ) `  A
)  /\  y  e.  ( G lim CC  x ) )  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  B )
) )
110108, 109syl6bb 254 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) )  /\  y  e.  ( (
z  e.  ( ( A  i^i  B ) 
\  { x }
)  |->  ( ( ( ( F  |`  B ) `
 z )  -  ( ( F  |`  B ) `  x
) )  /  (
z  -  x ) ) ) lim CC  x
) )  <->  ( (
x  e.  ( ( int `  T ) `
 A )  /\  y  e.  ( G lim CC  x ) )  /\  x  e.  ( ( int `  T ) `  B ) ) ) )
111 eqid 2442 . . 3  |-  ( z  e.  ( ( A  i^i  B )  \  { x } ) 
|->  ( ( ( ( F  |`  B ) `  z )  -  (
( F  |`  B ) `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) )  =  ( z  e.  ( ( A  i^i  B )  \  { x } )  |->  ( ( ( ( F  |`  B ) `  z
)  -  ( ( F  |`  B ) `  x ) )  / 
( z  -  x
) ) )
112 fresin 5641 . . . 4  |-  ( F : A --> CC  ->  ( F  |`  B ) : ( A  i^i  B ) --> CC )
11347, 112syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  |`  B ) : ( A  i^i  B ) --> CC )
1148, 9, 111, 11, 113, 20eldv 19816 . 2  |-  ( ph  ->  ( x ( S  _D  ( F  |`  B ) ) y  <-> 
( x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) )  /\  y  e.  ( (
z  e.  ( ( A  i^i  B ) 
\  { x }
)  |->  ( ( ( ( F  |`  B ) `
 z )  -  ( ( F  |`  B ) `  x
) )  /  (
z  -  x ) ) ) lim CC  x
) ) ) )
1158, 9, 39, 11, 47, 19eldv 19816 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x ( S  _D  F ) y  <-> 
( x  e.  ( ( int `  T
) `  A )  /\  y  e.  ( G lim CC  x ) ) ) )
116115anbi1d 687 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x ( S  _D  F ) y  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  B )
)  <->  ( ( x  e.  ( ( int `  T ) `  A
)  /\  y  e.  ( G lim CC  x ) )  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  B )
) ) )
117110, 114, 1163bitr4d 278 1  |-  ( ph  ->  ( x ( S  _D  ( F  |`  B ) ) y  <-> 
( x ( S  _D  F ) y  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  B )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1727   _Vcvv 2962    \ cdif 3303    u. cun 3304    i^i cin 3305    C_ wss 3306   {csn 3838   U.cuni 4039   class class class wbr 4237    e. cmpt 4291    |` cres 4909   -->wf 5479   ` cfv 5483  (class class class)co 6110   CCcc 9019    - cmin 9322    / cdiv 9708   ↾t crest 13679   TopOpenctopn 13680  ℂfldccnfld 16734   Topctop 16989  TopOnctopon 16990   intcnt 17112   lim CC climc 19780    _D cdv 19781
This theorem is referenced by:  dvres  19829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098  ax-pre-sup 9099
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-iin 4120  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-oadd 6757  df-er 6934  df-map 7049  df-pm 7050  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-fi 7445  df-sup 7475  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-div 9709  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-4 10091  df-5 10092  df-6 10093  df-7 10094  df-8 10095  df-9 10096  df-10 10097  df-n0 10253  df-z 10314  df-dec 10414  df-uz 10520  df-q 10606  df-rp 10644  df-xneg 10741  df-xadd 10742  df-xmul 10743  df-fz 11075  df-seq 11355  df-exp 11414  df-cj 11935  df-re 11936  df-im 11937  df-sqr 12071  df-abs 12072  df-struct 13502  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-plusg 13573  df-mulr 13574  df-starv 13575  df-tset 13579  df-ple 13580  df-ds 13582  df-unif 13583  df-rest 13681  df-topn 13682  df-topgen 13698  df-psmet 16725  df-xmet 16726  df-met 16727  df-bl 16728  df-mopn 16729  df-cnfld 16735  df-top 16994  df-bases 16996  df-topon 16997  df-topsp 16998  df-cld 17114  df-ntr 17115  df-cls 17116  df-cnp 17323  df-xms 18381  df-ms 18382  df-limc 19784  df-dv 19785
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