MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvreslem Unicode version

Theorem dvreslem 19357
Description: Lemma for dvres 19359. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvres.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
dvres.t  |-  T  =  ( Kt  S )
dvres.g  |-  G  =  ( z  e.  ( A  \  { x } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) )
dvres.s  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
dvres.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
dvres.a  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
dvres.b  |-  ( ph  ->  B  C_  S )
dvres.y  |-  ( ph  ->  y  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
dvreslem  |-  ( ph  ->  ( x ( S  _D  ( F  |`  B ) ) y  <-> 
( x ( S  _D  F ) y  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  B )
) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y, z    x, F, y, z    x, S, y, z    x, T, y, z    z, K    ph, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    G( x, y, z)    K( x, y)

Proof of Theorem dvreslem
StepHypRef Expression
1 difss 3379 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  i^i  B ) 
\  { x }
)  C_  ( A  i^i  B )
2 inss2 3466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  i^i  B )  C_  B
31, 2sstri 3264 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  i^i  B ) 
\  { x }
)  C_  B
4 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  /\  z  e.  ( ( A  i^i  B
)  \  { x } ) )  -> 
z  e.  ( ( A  i^i  B ) 
\  { x }
) )
53, 4sseldi 3254 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  /\  z  e.  ( ( A  i^i  B
)  \  { x } ) )  -> 
z  e.  B )
6 fvres 5622 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  B  ->  (
( F  |`  B ) `
 z )  =  ( F `  z
) )
75, 6syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  /\  z  e.  ( ( A  i^i  B
)  \  { x } ) )  -> 
( ( F  |`  B ) `  z
)  =  ( F `
 z ) )
8 dvres.t . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  T  =  ( Kt  S )
9 dvres.k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
109cnfldtop 18389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  K  e. 
Top
11 dvres.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
12 cnex 8905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  CC  e.  _V
13 ssexg 4239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( S  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  S  e.  _V )
1411, 12, 13sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
15 resttop 16991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  Top  /\  S  e.  _V )  ->  ( Kt  S )  e.  Top )
1610, 14, 15sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( Kt  S )  e.  Top )
178, 16syl5eqel 2442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  T  e.  Top )
18 inss1 3465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  i^i  B )  C_  A
19 dvres.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
2018, 19syl5ss 3266 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  C_  S )
219cnfldtopon 18388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
22 resttopon 16992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  C_  CC )  ->  ( Kt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
2321, 11, 22sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( Kt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
248, 23syl5eqel 2442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  T  e.  (TopOn `  S ) )
25 toponuni 16765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( T  e.  (TopOn `  S
)  ->  S  =  U. T )
2624, 25syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  S  =  U. T
)
2720, 26sseqtrd 3290 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  C_  U. T )
28 eqid 2358 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U. T  =  U. T
2928ntrss2 16894 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( T  e.  Top  /\  ( A  i^i  B ) 
C_  U. T )  -> 
( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) )  C_  ( A  i^i  B ) )
3017, 27, 29syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) )  C_  ( A  i^i  B ) )
3130, 2syl6ss 3267 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) )  C_  B )
3231sselda 3256 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  x  e.  B
)
33 fvres 5622 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  B  ->  (
( F  |`  B ) `
 x )  =  ( F `  x
) )
3432, 33syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( ( F  |`  B ) `  x
)  =  ( F `
 x ) )
3534adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  /\  z  e.  ( ( A  i^i  B
)  \  { x } ) )  -> 
( ( F  |`  B ) `  x
)  =  ( F `
 x ) )
367, 35oveq12d 5960 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  /\  z  e.  ( ( A  i^i  B
)  \  { x } ) )  -> 
( ( ( F  |`  B ) `  z
)  -  ( ( F  |`  B ) `  x ) )  =  ( ( F `  z )  -  ( F `  x )
) )
3736oveq1d 5957 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  /\  z  e.  ( ( A  i^i  B
)  \  { x } ) )  -> 
( ( ( ( F  |`  B ) `  z )  -  (
( F  |`  B ) `
 x ) )  /  ( z  -  x ) )  =  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) ) )
3837mpteq2dva 4185 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( z  e.  ( ( A  i^i  B )  \  { x } )  |->  ( ( ( ( F  |`  B ) `  z
)  -  ( ( F  |`  B ) `  x ) )  / 
( z  -  x
) ) )  =  ( z  e.  ( ( A  i^i  B
)  \  { x } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) )
39 dvres.g . . . . . . . . . . 11  |-  G  =  ( z  e.  ( A  \  { x } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) )
4039reseq1i 5030 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  |`  ( ( A  i^i  B )  \  { x } ) )  =  ( ( z  e.  ( A  \  {
x } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  x )
)  /  ( z  -  x ) ) )  |`  ( ( A  i^i  B )  \  { x } ) )
41 ssdif 3387 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  i^i  B ) 
C_  A  ->  (
( A  i^i  B
)  \  { x } )  C_  ( A  \  { x }
) )
42 resmpt 5079 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  \  { x } )  C_  ( A  \  { x }
)  ->  ( (
z  e.  ( A 
\  { x }
)  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  x ) )  / 
( z  -  x
) ) )  |`  ( ( A  i^i  B )  \  { x } ) )  =  ( z  e.  ( ( A  i^i  B
)  \  { x } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) )
4318, 41, 42mp2b 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  { x }
)  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  x ) )  / 
( z  -  x
) ) )  |`  ( ( A  i^i  B )  \  { x } ) )  =  ( z  e.  ( ( A  i^i  B
)  \  { x } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) )
4440, 43eqtri 2378 . . . . . . . . 9  |-  ( G  |`  ( ( A  i^i  B )  \  { x } ) )  =  ( z  e.  ( ( A  i^i  B
)  \  { x } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) )
4538, 44syl6eqr 2408 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( z  e.  ( ( A  i^i  B )  \  { x } )  |->  ( ( ( ( F  |`  B ) `  z
)  -  ( ( F  |`  B ) `  x ) )  / 
( z  -  x
) ) )  =  ( G  |`  (
( A  i^i  B
)  \  { x } ) ) )
4645oveq1d 5957 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( ( z  e.  ( ( A  i^i  B )  \  { x } ) 
|->  ( ( ( ( F  |`  B ) `  z )  -  (
( F  |`  B ) `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim
CC  x )  =  ( ( G  |`  ( ( A  i^i  B )  \  { x } ) ) lim CC  x ) )
47 dvres.f . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
4847adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  F : A --> CC )
4919, 11sstrd 3265 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
5049adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  A  C_  CC )
5130, 18syl6ss 3267 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) )  C_  A )
5251sselda 3256 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  x  e.  A
)
5348, 50, 52dvlem 19344 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  /\  z  e.  ( A  \  { x } ) )  -> 
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) )  e.  CC )
5453, 39fmptd 5764 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  G : ( A  \  { x } ) --> CC )
5518, 41mp1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( ( A  i^i  B )  \  { x } ) 
C_  ( A  \  { x } ) )
56 difss 3379 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
\  { x }
)  C_  A
5756, 50syl5ss 3266 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( A  \  { x } ) 
C_  CC )
58 eqid 2358 . . . . . . . 8  |-  ( Kt  ( ( A  \  {
x } )  u. 
{ x } ) )  =  ( Kt  ( ( A  \  {
x } )  u. 
{ x } ) )
59 difss 3379 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U. T  \  A )  C_  U. T
6059a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( U. T  \  A )  C_  U. T
)
6127, 60unssd 3427 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  A ) ) 
C_  U. T )
62 ssun1 3414 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  i^i  B )  C_  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  A ) )
6362a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  C_  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  A ) ) )
6428ntrss 16892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  Top  /\  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  A ) ) 
C_  U. T  /\  ( A  i^i  B )  C_  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  A ) ) )  ->  ( ( int `  T ) `  ( A  i^i  B ) )  C_  ( ( int `  T ) `  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  A ) ) ) )
6517, 61, 63, 64syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) )  C_  ( ( int `  T
) `  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  A ) ) ) )
6665, 51ssind 3469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) )  C_  ( ( ( int `  T ) `  (
( A  i^i  B
)  u.  ( U. T  \  A ) ) )  i^i  A ) )
6719, 26sseqtrd 3290 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  C_  U. T )
6818a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  C_  A )
69 eqid 2358 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Tt  A )  =  ( Tt  A )
7028, 69restntr 17012 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  Top  /\  A  C_  U. T  /\  ( A  i^i  B ) 
C_  A )  -> 
( ( int `  ( Tt  A ) ) `  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( ( int `  T
) `  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  A ) ) )  i^i  A ) )
7117, 67, 68, 70syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( Tt  A ) ) `  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( ( int `  T
) `  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  A ) ) )  i^i  A ) )
728oveq1i 5952 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Tt  A )  =  ( ( Kt  S )t  A )
7310a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
74 restabs 16996 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  Top  /\  A  C_  S  /\  S  e.  _V )  ->  (
( Kt  S )t  A )  =  ( Kt  A ) )
7573, 19, 14, 74syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( Kt  S )t  A )  =  ( Kt  A ) )
7672, 75syl5eq 2402 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Tt  A )  =  ( Kt  A ) )
7776fveq2d 5609 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( int `  ( Tt  A ) )  =  ( int `  ( Kt  A ) ) )
7877fveq1d 5607 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( Tt  A ) ) `  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( int `  ( Kt  A ) ) `  ( A  i^i  B ) ) )
7971, 78eqtr3d 2392 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( int `  T ) `  (
( A  i^i  B
)  u.  ( U. T  \  A ) ) )  i^i  A )  =  ( ( int `  ( Kt  A ) ) `  ( A  i^i  B ) ) )
8066, 79sseqtrd 3290 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) )  C_  ( ( int `  ( Kt  A ) ) `  ( A  i^i  B ) ) )
8180sselda 3256 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  x  e.  ( ( int `  ( Kt  A ) ) `  ( A  i^i  B ) ) )
82 undif1 3605 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  \  { x } )  u.  {
x } )  =  ( A  u.  {
x } )
8330sselda 3256 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  x  e.  ( A  i^i  B ) )
8483snssd 3839 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  { x }  C_  ( A  i^i  B
) )
8584, 18syl6ss 3267 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  { x }  C_  A )
86 ssequn2 3424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { x }  C_  A  <->  ( A  u.  { x } )  =  A )
8785, 86sylib 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( A  u.  { x } )  =  A )
8882, 87syl5eq 2402 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( ( A 
\  { x }
)  u.  { x } )  =  A )
8988oveq2d 5958 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( Kt  ( ( A  \  { x } )  u.  {
x } ) )  =  ( Kt  A ) )
9089fveq2d 5609 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( int `  ( Kt  ( ( A  \  { x } )  u.  { x }
) ) )  =  ( int `  ( Kt  A ) ) )
91 undif1 3605 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  \  { x } )  u.  {
x } )  =  ( ( A  i^i  B )  u.  { x } )
92 ssequn2 3424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { x }  C_  ( A  i^i  B )  <->  ( ( A  i^i  B )  u. 
{ x } )  =  ( A  i^i  B ) )
9384, 92sylib 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( ( A  i^i  B )  u. 
{ x } )  =  ( A  i^i  B ) )
9491, 93syl5eq 2402 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( ( ( A  i^i  B ) 
\  { x }
)  u.  { x } )  =  ( A  i^i  B ) )
9590, 94fveq12d 5611 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( ( int `  ( Kt  ( ( A 
\  { x }
)  u.  { x } ) ) ) `
 ( ( ( A  i^i  B ) 
\  { x }
)  u.  { x } ) )  =  ( ( int `  ( Kt  A ) ) `  ( A  i^i  B ) ) )
9681, 95eleqtrrd 2435 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  x  e.  ( ( int `  ( Kt  ( ( A  \  { x } )  u.  { x }
) ) ) `  ( ( ( A  i^i  B )  \  { x } )  u.  { x }
) ) )
9754, 55, 57, 9, 58, 96limcres 19334 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( ( G  |`  ( ( A  i^i  B )  \  { x } ) ) lim CC  x )  =  ( G lim CC  x ) )
9846, 97eqtrd 2390 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( ( z  e.  ( ( A  i^i  B )  \  { x } ) 
|->  ( ( ( ( F  |`  B ) `  z )  -  (
( F  |`  B ) `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim
CC  x )  =  ( G lim CC  x
) )
9998eleq2d 2425 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( y  e.  ( ( z  e.  ( ( A  i^i  B )  \  { x } )  |->  ( ( ( ( F  |`  B ) `  z
)  -  ( ( F  |`  B ) `  x ) )  / 
( z  -  x
) ) ) lim CC  x )  <->  y  e.  ( G lim CC  x ) ) )
10099pm5.32da 622 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) )  /\  y  e.  ( (
z  e.  ( ( A  i^i  B ) 
\  { x }
)  |->  ( ( ( ( F  |`  B ) `
 z )  -  ( ( F  |`  B ) `  x
) )  /  (
z  -  x ) ) ) lim CC  x
) )  <->  ( x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) )  /\  y  e.  ( G lim CC  x ) ) ) )
101 dvres.b . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  C_  S )
102101, 26sseqtrd 3290 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  C_  U. T )
10328ntrin 16898 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  Top  /\  A  C_  U. T  /\  B  C_  U. T )  ->  ( ( int `  T ) `  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( ( int `  T ) `
 A )  i^i  ( ( int `  T
) `  B )
) )
10417, 67, 102, 103syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( ( int `  T ) `  A
)  i^i  ( ( int `  T ) `  B ) ) )
105104eleq2d 2425 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) )  <->  x  e.  ( ( ( int `  T ) `  A
)  i^i  ( ( int `  T ) `  B ) ) ) )
106 elin 3434 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ( ( int `  T ) `
 A )  i^i  ( ( int `  T
) `  B )
)  <->  ( x  e.  ( ( int `  T
) `  A )  /\  x  e.  (
( int `  T
) `  B )
) )
107105, 106syl6bb 252 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) )  <->  ( x  e.  ( ( int `  T
) `  A )  /\  x  e.  (
( int `  T
) `  B )
) ) )
108107anbi1d 685 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) )  /\  y  e.  ( G lim CC  x ) )  <->  ( (
x  e.  ( ( int `  T ) `
 A )  /\  x  e.  ( ( int `  T ) `  B ) )  /\  y  e.  ( G lim CC  x ) ) ) )
109100, 108bitrd 244 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) )  /\  y  e.  ( (
z  e.  ( ( A  i^i  B ) 
\  { x }
)  |->  ( ( ( ( F  |`  B ) `
 z )  -  ( ( F  |`  B ) `  x
) )  /  (
z  -  x ) ) ) lim CC  x
) )  <->  ( (
x  e.  ( ( int `  T ) `
 A )  /\  x  e.  ( ( int `  T ) `  B ) )  /\  y  e.  ( G lim CC  x ) ) ) )
110 an32 773 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  ( ( int `  T
) `  A )  /\  x  e.  (
( int `  T
) `  B )
)  /\  y  e.  ( G lim CC  x ) )  <->  ( ( x  e.  ( ( int `  T ) `  A
)  /\  y  e.  ( G lim CC  x ) )  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  B )
) )
111109, 110syl6bb 252 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) )  /\  y  e.  ( (
z  e.  ( ( A  i^i  B ) 
\  { x }
)  |->  ( ( ( ( F  |`  B ) `
 z )  -  ( ( F  |`  B ) `  x
) )  /  (
z  -  x ) ) ) lim CC  x
) )  <->  ( (
x  e.  ( ( int `  T ) `
 A )  /\  y  e.  ( G lim CC  x ) )  /\  x  e.  ( ( int `  T ) `  B ) ) ) )
112 eqid 2358 . . 3  |-  ( z  e.  ( ( A  i^i  B )  \  { x } ) 
|->  ( ( ( ( F  |`  B ) `  z )  -  (
( F  |`  B ) `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) )  =  ( z  e.  ( ( A  i^i  B )  \  { x } )  |->  ( ( ( ( F  |`  B ) `  z
)  -  ( ( F  |`  B ) `  x ) )  / 
( z  -  x
) ) )
113 fresin 5490 . . . 4  |-  ( F : A --> CC  ->  ( F  |`  B ) : ( A  i^i  B ) --> CC )
11447, 113syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  |`  B ) : ( A  i^i  B ) --> CC )
1158, 9, 112, 11, 114, 20eldv 19346 . 2  |-  ( ph  ->  ( x ( S  _D  ( F  |`  B ) ) y  <-> 
( x  e.  ( ( int `  T
) `  ( A  i^i  B ) )  /\  y  e.  ( (
z  e.  ( ( A  i^i  B ) 
\  { x }
)  |->  ( ( ( ( F  |`  B ) `
 z )  -  ( ( F  |`  B ) `  x
) )  /  (
z  -  x ) ) ) lim CC  x
) ) ) )
1168, 9, 39, 11, 47, 19eldv 19346 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x ( S  _D  F ) y  <-> 
( x  e.  ( ( int `  T
) `  A )  /\  y  e.  ( G lim CC  x ) ) ) )
117116anbi1d 685 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x ( S  _D  F ) y  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  B )
)  <->  ( ( x  e.  ( ( int `  T ) `  A
)  /\  y  e.  ( G lim CC  x ) )  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  B )
) ) )
118111, 115, 1173bitr4d 276 1  |-  ( ph  ->  ( x ( S  _D  ( F  |`  B ) ) y  <-> 
( x ( S  _D  F ) y  /\  x  e.  ( ( int `  T
) `  B )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   _Vcvv 2864    \ cdif 3225    u. cun 3226    i^i cin 3227    C_ wss 3228   {csn 3716   U.cuni 3906   class class class wbr 4102    e. cmpt 4156    |` cres 4770   -->wf 5330   ` cfv 5334  (class class class)co 5942   CCcc 8822    - cmin 9124    / cdiv 9510   ↾t crest 13418   TopOpenctopn 13419  ℂfldccnfld 16476   Topctop 16731  TopOnctopon 16732   intcnt 16854   lim CC climc 19310    _D cdv 19311
This theorem is referenced by:  dvres  19359
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901  ax-pre-sup 8902
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-int 3942  df-iun 3986  df-iin 3987  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-1o 6563  df-oadd 6567  df-er 6744  df-map 6859  df-pm 6860  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-fin 6952  df-fi 7252  df-sup 7281  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-div 9511  df-nn 9834  df-2 9891  df-3 9892  df-4 9893  df-5 9894  df-6 9895  df-7 9896  df-8 9897  df-9 9898  df-10 9899  df-n0 10055  df-z 10114  df-dec 10214  df-uz 10320  df-q 10406  df-rp 10444  df-xneg 10541  df-xadd 10542  df-xmul 10543  df-fz 10872  df-seq 11136  df-exp 11195  df-cj 11674  df-re 11675  df-im 11676  df-sqr 11810  df-abs 11811  df-struct 13241  df-ndx 13242  df-slot 13243  df-base 13244  df-plusg 13312  df-mulr 13313  df-starv 13314  df-tset 13318  df-ple 13319  df-ds 13321  df-unif 13322  df-rest 13420  df-topn 13421  df-topgen 13437  df-xmet 16469  df-met 16470  df-bl 16471  df-mopn 16472  df-cnfld 16477  df-top 16736  df-bases 16738  df-topon 16739  df-topsp 16740  df-cld 16856  df-ntr 16857  df-cls 16858  df-cnp 17058  df-xms 17981  df-ms 17982  df-limc 19314  df-dv 19315
  Copyright terms: Public domain W3C validator