Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvsinexp Structured version   Unicode version

Theorem dvsinexp 27671
Description: The derivative of sin^N . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
dvsinexp.5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
dvsinexp  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, N    ph, x

Proof of Theorem dvsinexp
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnex 9061 . . . 4  |-  CC  e.  _V
21prid2 3905 . . 3  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
32a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  CC  e.  { RR ,  CC } )
4 sinf 12715 . . . 4  |-  sin : CC
--> CC
54a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  sin : CC --> CC )
65ffvelrnda 5862 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
7 cosf 12716 . . . 4  |-  cos : CC
--> CC
87a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  cos : CC --> CC )
98ffvelrnda 5862 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
10 simpr 448 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  y  e.  CC )
11 dvsinexp.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
1211nnnn0d 10264 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
1312adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  N  e. 
NN0 )
1410, 13expcld 11513 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( y ^ N )  e.  CC )
1511nncnd 10006 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
1615adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  N  e.  CC )
17 nnm1nn0 10251 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
1811, 17syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
1918adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( N  -  1 )  e. 
NN0 )
2010, 19expcld 11513 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( y ^ ( N  - 
1 ) )  e.  CC )
2116, 20mulcld 9098 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( N  x.  ( y ^
( N  -  1 ) ) )  e.  CC )
22 dvsin 19856 . . 3  |-  ( CC 
_D  sin )  =  cos
235feqmptd 5771 . . . 4  |-  ( ph  ->  sin  =  ( x  e.  CC  |->  ( sin `  x ) ) )
2423oveq2d 6089 . . 3  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  sin )  =  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( sin `  x ) ) ) )
258feqmptd 5771 . . 3  |-  ( ph  ->  cos  =  ( x  e.  CC  |->  ( cos `  x ) ) )
2622, 24, 253eqtr3a 2491 . 2  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( sin `  x ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( cos `  x ) ) )
27 dvexp 19829 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( y ^ N ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( N  x.  ( y ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
2811, 27syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  ( y ^ N ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( N  x.  ( y ^ ( N  - 
1 ) ) ) ) )
29 oveq1 6080 . 2  |-  ( y  =  ( sin `  x
)  ->  ( y ^ N )  =  ( ( sin `  x
) ^ N ) )
30 oveq1 6080 . . 3  |-  ( y  =  ( sin `  x
)  ->  ( y ^ ( N  - 
1 ) )  =  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )
3130oveq2d 6089 . 2  |-  ( y  =  ( sin `  x
)  ->  ( N  x.  ( y ^ ( N  -  1 ) ) )  =  ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) )
323, 3, 6, 9, 14, 21, 26, 28, 29, 31dvmptco 19848 1  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cpr 3807    e. cmpt 4258   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8978   RRcr 8979   1c1 8981    x. cmul 8985    - cmin 9281   NNcn 9990   NN0cn0 10211   ^cexp 11372   sincsin 12656   cosccos 12657    _D cdv 19740
This theorem is referenced by:  itgsinexplem1  27679
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7586  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057  ax-pre-sup 9058  ax-addf 9059  ax-mulf 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7469  df-card 7816  df-cda 8038  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-4 10050  df-5 10051  df-6 10052  df-7 10053  df-8 10054  df-9 10055  df-10 10056  df-n0 10212  df-z 10273  df-dec 10373  df-uz 10479  df-q 10565  df-rp 10603  df-xneg 10700  df-xadd 10701  df-xmul 10702  df-ico 10912  df-icc 10913  df-fz 11034  df-fzo 11126  df-fl 11192  df-seq 11314  df-exp 11373  df-fac 11557  df-bc 11584  df-hash 11609  df-shft 11872  df-cj 11894  df-re 11895  df-im 11896  df-sqr 12030  df-abs 12031  df-limsup 12255  df-clim 12272  df-rlim 12273  df-sum 12470  df-ef 12660  df-sin 12662  df-cos 12663  df-struct 13461  df-ndx 13462  df-slot 13463  df-base 13464  df-sets 13465  df-ress 13466  df-plusg 13532  df-mulr 13533  df-starv 13534  df-sca 13535  df-vsca 13536  df-tset 13538  df-ple 13539  df-ds 13541  df-unif 13542  df-hom 13543  df-cco 13544  df-rest 13640  df-topn 13641  df-topgen 13657  df-pt 13658  df-prds 13661  df-xrs 13716  df-0g 13717  df-gsum 13718  df-qtop 13723  df-imas 13724  df-xps 13726  df-mre 13801  df-mrc 13802  df-acs 13804  df-mnd 14680  df-submnd 14729  df-mulg 14805  df-cntz 15106  df-cmn 15404  df-psmet 16684  df-xmet 16685  df-met 16686  df-bl 16687  df-mopn 16688  df-fbas 16689  df-fg 16690  df-cnfld 16694  df-top 16953  df-bases 16955  df-topon 16956  df-topsp 16957  df-cld 17073  df-ntr 17074  df-cls 17075  df-nei 17152  df-lp 17190  df-perf 17191  df-cn 17281  df-cnp 17282  df-haus 17369  df-tx 17584  df-hmeo 17777  df-fil 17868  df-fm 17960  df-flim 17961  df-flf 17962  df-xms 18340  df-ms 18341  df-tms 18342  df-cncf 18898  df-limc 19743  df-dv 19744
  Copyright terms: Public domain W3C validator